四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三数学下学期第一次在线月考试题 理

1 四川省宜宾市叙州区第一中学校四川省宜宾市叙州区第一中学校 20202020 届高三数学下学期第一次在线届高三数学下学期第一次在线 月考试题月考试题 理理 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 已知集合 则 0 1 2 3 a ln1 bxnx ab a b c d 0 1 1 2 0 1 2 0 1 2 3 2 已知复数 z 满足为虚数单位 则 z 1 2 1 z i i z a 2 b 2 c 2 d 2 iiii 3 在正三角形 abc 中 ab 2 且 ad 与 be 相交于点 o 则 1 2 bddc aeec oa ob a a b c d 4 5 3 4 2 3 1 2 4 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查 人数如表所示 不喜欢喜欢 男性青年观众 3010 女性青年观众 3050 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取人做进一步的调研 若在 不喜欢的 n 男性青年观众 的人中抽取了 6 人 则n a 12b 16c 24d 32 2 5 函数的大致图像为 f x x 1 x a b c d 6 已知曲线 的一条渐近线经过点 则该双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0b 2 6 的离心率为 a 2b c 3d 23 7 设 则 a b c 的大小关系是 a 20 1 b ln1 2 c log32 a b c d a b ca c bb a cb c a 8 已知函数 将其图象向左平移 0 个单位长度后 sin2sin 2 3 f xxx 得到的函数为偶函数 则的最小值是 a b c d 12 6 3 5 6 9 赵爽是我国古代数学家 天文学家大约在公元 222 年赵爽为 周碑算经 一书作序时 介绍了 勾股圆方图 亦称 赵爽弦图 以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角 三角形再加上中间的一个小正方形组成的 类比 赵爽弦图 赵爽弦图可类似地构造如图 所示的图形 它是由个 3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边 三角形 设df 2af 若在大等边三角形中随机取一点 则此点取自小等边三角形的概率是 a b c d 2 13 13 4 13 2 7 7 10 满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是 f x ln mx 3 1 a b c d 4 m 2 3 m 0 4 m 0 3 m 0f x 5 ii 若函数有两个极值点 证明 f x x1x2 f x1 f x2 ln2 2 3 4 21 12 分 已知抛物线 的焦点是椭圆 c 2 2ypx 0p m 22 22 1 xy ab 的右焦点 且两曲线有公共点 0ab 22 6 33 i 求椭圆的方程 m ii 椭圆的左 右顶点分别为 若过点且斜率不为零的直线 与椭 m 1 a 2 a 4 0b l 圆交于 两点 已知直线与相较于点 试判断点是否在一定直线 mp q 1 ap 2 a q gg 上 若在 请求出定直线的方程 若不在 请说明理由 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 已知平面直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 以坐标 xoy c 23cos 1 3sin x y 原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ox 求曲线的极坐标方程 c 过点的直线 与曲线交于 两点 且 求直线 的方程 2 1 lca b 2ab l 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 函数 0a 0b 0c f xcaxxb 6 i 当时 求不等式的解集 1abc 3f x ii 当的最小值为时 求的值 并求的最小值 f x 3abc 111 abc 20202020 年春四川省叙州区第一中学高三第一学月考试年春四川省叙州区第一中学高三第一学月考试 理科数学参考答案理科数学参考答案 1 b2 a3 b4 c5 d6 a7 b8 b9 b10 d 11 a12 c 13 514 15 16 1840 3 5 3 17 1 222 bca2sincsina bcsinb 由得 abc sinasinbsinc 222 cabac 222 cab1 cosb 2ac2 0b b 3 2 由 1 得 b 3 abc 13 sacsinbac3 24 ac4 22 bac2accosb 22 ac42ac4 2 7 ac2 ac4 对上述两个不等式 当且仅当时等号成立 ac2 此时周长取最小值 abc6 18 解 用分层抽样方法 每个人抽中的概率是 参与到班级宣传的志愿者被抽中的有 20 2 人 参与整理 打包衣物者被抽中的有 30 3 人 故 至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者 的概率为 p 1 解 女生志愿者人数 x 0 1 2 则 x 的分布列为 x 的数学期望 ex 考点 离散型随机变量的期望与方差 古典概型及其概率计算公式 19 1 证明 连接 由四边形为菱形可知 acabcdacbd 平面平面 且交线为 bed abcdbd 8 平面 ac bedaced 又 afdeafac 平面 afad acada af abcd 平面 cd abcdafcd 2 解 设 过点作的平行线 acbdo odeog 由 1 可知两两互相垂直 oa ob og 则可建立如图所示的空间直角坐标系 oxyz 设 则 1 20 2 afadeda a 3 0 0 0 0 3 0 2 0 4aabafaaeaa 所以 3 0 0 0 2 0 2 4 3 2aba aafabeaabfaaa 设平面的法向量为 则 即 abf mx y z 0 0 m ab m af 30 20 xy z 取 则为平面的一个法向量 3y 1 3 0m abf 同理可得为平面的一个法向量 0 2 1n fbe 则 2 315 cos 525 m n 又二面角的平面角为钝角 则其余弦值为 afbe 15 5 20 1 f x 1 2x 2 x alnx x 0 f x x 1 a x x2 x a x x 0 当 即时 1 4a 0 a 1 4f x 0 所以在单调递增 y f x 0 9 当 即时 1 4a 0 0 a 0 x2 0 当时 x 0 1 1 4a 2 1 1 4a 2 f x 0 当时 x 1 1 4a 2 1 1 4a 2 f x 0 单调递增区间为 y f x 0 1 1 4a 2 1 1 4a 2 单调递减区间为 1 1 4a 2 1 1 4a 2 综上所述 当时 在单调递增 a 1 4y f x 0 时 在区间 单调递增 在区间 0 a 0 函数有两个极值点 f x x1x2 方程有两个根 x2 x a 0 x1x2 且 解得 x1 x2 1 x1 x 2 a 1 4a 0 0 a 1 4 由题意得 f x1 f x2 1 2x 2 1 x1 alnx1 1 2x 2 2 x2 alnx2 1 2 x 2 1 x 2 2 x1 x2 aln x1 x 2 1 2 x1 x2 2 x1 x 2 x1 x2 aln x1 x 2 10 1 2 a 1 alna alna a 1 2 令 h a alna a 1 2 0 a 1 4 则 h a lna h 1 4 ln2 2 3 4 f x1 f x2 ln2 2 3 4 21 1 将代入抛物线得 22 6 33 2 2c ypx 2p 抛物线的焦点为 则椭圆中 1 0 m1c 又点在椭圆上 解得 2 2 6 33 m 22 22 1 424 1 99 ab ab 22 4 3ab 椭圆的方程为 m 22 1 43 xy 2 方法一 当点为椭圆的上顶点时 直线 的方程为 此时点 pl 344 30 xy 0 3p 则直线和直线 联立 8 3 3 55 q 1 322 30 a p lxy 2 3 326 30 a q lxy 解得 322 30 3 326 30 xy xy 3 3 1 2 g 当点为椭圆的下顶点时 由对称性知 p 3 3 1 2 g 猜想点在直线上 证明如下 g1x 11 由条件可得直线的斜率存在 设直线 pq 40pq yk xk 联立方程 22 4 34120 yk x xy 消得 有两个不等的实根 y 2222 343264120kxk xk 24222 324 4 3416316 9 140kkkk 2 1 0 4 k 设 则 1122 p x yq xy 2 12 2 32 34 k xx k 2 12 2 6412 34 k xx k 则直线与直线 1 1 1 2 2 a p y lyx x 2 2 2 2 2 a q y lyx x 联立两直线方程得 其中为点横坐标 12 12 22 22 yy xx xx xg 将代入上述方程中可得 1x 12 12 3 22 yy xx 即 1221 34242k xxk xx 即证 1212 410160 x xxx 将代入上式可得 2 2 22 46412 10 32 16 3434 k k kk 此式成立 222 2 16 1632034 0 34 kkk k 点在定直线上 g1x 方法二 由条件可得直线的斜率存在 设直线 pq 40pq yk xk 联立方程 22 4 34120 yk x xy 消得 有两个不等的实根 y 2222 343264120kxk xk 24222 324 4 3416316 9 140kkkk 2 1 0 4 k 12 设 则 112233 p x yq xyg xy 2 12 2 32 34 k xx k 2 12 2 6412 34 k xx k 2 2 121212 2 12 1 4 4 34 k xxxxx x k 由 三点共线 有 1 a pg 31 13 22 yy xx 由 三点共线 有 2 aq g 32 32 22 yy xx 上两式相比得 2121 3 31212 2422 2242 yxk xxx xyxk xx 121221 121212 38 3 38 x xxxxx x xxxxx 解得 3 1x 点在定直线上 g1x 22 或 2 4 cos2 sin40 10 xy 30 xy 消去参数 可得曲线的普通方程为 c 22 2 1 9xy 由 22 4240 xyxy cos sin x y rq rq 所以曲线的极坐标方程为 c 2 4 cos2 sin40 显然直线 的斜率存在 否则无交点 l 设直线 的方程为 即 l 1 2 yk x 210kxyk 而 则圆心到直线 的距离 2ab l 2 2 9