2012年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解(名师指导)-(2)

数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 数学 理工农医类 专家推荐 选择题 本小题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 函数 sin cosf xxx 最小值是 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 1 答案 B 解析 1 sin2 2 f xx min 1 2 f x 故选 B 2 已知全集 U R 集合 2 20 Ax xx 则 UA 等于 A x 0 x 2 B x 0 x 2 C x x2 D x x 0 或 x 2 2 答案 A 解析 计算可得 0Ax x 或 2x 02CuAxx 故选 A 3 等差数列 n a 的前 n 项和为 n S 且 3 S 6 1 a 4 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 3 答案 C 解析 313 3 6 2 Saa 且 311 2 4 d 2aad a 故选 C 4 2 2 1 cos x dx 等于 A B 2 C 2 D 2 4 答案 D 解析 2 sin sin sin 2 2222 2 x xx x 原式 故选 D 5 下列函数 f x 中 满足 对任意 1 x 2 x 0 当1 x 2 f x 的是 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 A f x 1 x B f x 2 1 x C f x x e D ln 1 f xx 5 答案 A 解析 依题意可得函数应在 0 x 上单调递减 故由选项可得 A 正确 6 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的结果是 w w w k s 5 u c o m A 2 B 4 C 8 D 16 6 答案 C 解析 由算法程序图可知 在 n 4 前均执行 否 命令 故 n 2 4 8 故选C 7 设 m n 是平面 内的两条不同直线 1 l 2 l 是平面 内的两条相交 直线 则 的一个充分而不必要条件是 w w w k s 5 u c o m A m 且 l B m l 且 n l2 C m 且 n D m 且 n l2 7 答案 B 解析 若 1212 ml nl mn 则可得 若 则存在 1221 ml nl 8 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40 现采用随机模拟的方法估计该运动 员三次投篮恰有两次命中的概率 先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数 指定 1 2 3 4 表示命中 5 6 7 8 9 0 表示不命中 再以每三个随机数为一组 代表三次投篮的结果 经随机模拟产生了 20 组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A 0 35 B 0 25 C 0 20 D 0 15 8 答案 B 解析 由随机数可估算出每次投篮命中的概率 242 605 p 则三次投篮命中两次为 22 3 1 CPP 0 25 故选 B 9 设 a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满足 a 与 b 不共线 a c a c 则 b c 的值一定等于 w w w k s 5 u c o m A 以 a b 为两边的三角形面积 B 以 b c 为两边的三角形面积 C 以 a b 为邻边的平行四边形的面积 D 以 b c 为邻边的平行四边形的面积 9 答案 C 解析 依题意可得 cos sin b cbcb cbaa cS A 故选 C 10 函数 2 0 f xaxbxc a 的图象关于直线 2 b x a 对称 据此可推测 对任意的非零实数 a b c m n p 关于 x 的方程 2 0m f xnf xp 的解集都不可能是 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 A 1 2 B 1 4 C 1 2 3 4 D 1 4 16 64 10 答案 D 解析 本题用特例法解决简洁快速 对方程 2 0m f xnf xP 中 m n p 分别赋值求出 f x 代入 0f x 求出检验即得 第二卷 非选择题共 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 若 2 1 abi i i 为虚数单位 a bR 则a b w w w k s 5 u c o m 11 答案 2 解析 由 22 1 1 1 1 1 i abii iii 所以 1 1 ab 故 2ab 12 某校开展 爱我海西 爱我家乡 摄影比赛 9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示 记分员在去 掉一个最高分和一个最低分后 算的平均分为 91 复核员在复核时 发现有一个数字 茎叶图中的 x 无法看清 若记分员计算无误 则数字x应该是 12 答案 1 解析 观察茎叶图 可知有 8889899293909291 94 911 9 x x 13 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则 p w w w k s 5 u c o m 13 答案 2 解析 由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx 联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 又 2 22 1 1 3 482 4 p ABpp 14 若曲线 3 lnf xaxx 存在垂直于 y 轴的切线 则实数a取值范围是 14 答案 0 解析 由题意可知 2 1 2fxax x 又因为存在垂直于 y 轴的切线 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 所以 2 3 11 20 0 0 2 axaxa xx 15 五位同学围成一圈依序循环报数 规定 第一位同学首次报出的数为 1 第二位同学首次报出的数也为 1 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报 出的数之和 若报出的数为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数 当五位同学依序循环报到第 100 个数时 甲同学拍手的总次数为 15 答案 5 解析 由题意可设第n次报数 第 1n 次报数 第 2n 次报数分别为 n a 1n a 2n a 所以有 12nnn aaa 又 12 1 1 aa 由此可得在报到第 100 个数时 甲同学拍手 5 次 三解答题 w w w k s 5 u c o m 16 13 分 从集合 1 2 3 4 5 的所有非空子集中 等可能地取出一个 记性质 r 集合中的所有元素之和为 10 求所取出的非空子集满足性质 r 的概率 记所取出的非空子集的元素个数为 求 的分布列和数学期望 E 16 解 1 记 所取出的非空子集满足性质 r 为事件 A 基本事件总数 n 123 555 CCC 45 55 CC 31 事件 A 包含的基本事件是 1 4 5 2 3 5 1 2 3 4 事件 A 包含的基本事件数 m 3 所以 3 31 m p A n II 依题意 的所有可能取值为 1 2 3 4 5 又 1 5 5 1 3131 C p 2 5 10 2 3131 C p 3 5 10 3 3131 C p 4 5 5 4 3131 C p 5 5 1 5 3131 C p 故 的分布列为 12 3 4 5 P 5 31 10 31 10 31 5 31 1 31 从而 E 1 5 31 2 10 31 3 10 31 4 5 31 5 180 3131 17 13 分 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 如图 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 MD ABCD 平面 NBABCD 平面 且 MD NB 1 E 为 BC 的中点 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 在线段 AN 上是否存在点 S 使得 ES 平面 AMN 若存在 求线段 AS 的长 若不 存在 请说明理由 w w w k s 5 u c o m 17 解析 1 在如图 以 D 为坐标原点 建立空间直角坐标 Dxyz 依题意 得 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 2 DAMCBNE 1 0 1 1 0 1 2 NEAM 10 cos 10 NE AM NE AM NEAM A 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 10 10 A 2 假设在线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 0 1 1 AN 可设 0 ASAN 又 11 1 0 1 22 EAESEAAS 由ES 平面AMN 得 0 0 ES AM ES AN A A 即 1 0 2 1 0 故 1 2 此时 1 12 0 2 22 ASAS 经检验 当 2 2 AS 时 ES 平面AMN 故线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 此时 2 2 AS 18 本小题满分 13 分 如图 某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道 赛道的前一部分为曲线段 OSM 该曲线段为函数 y Asin x A 0 0 x 0 4 的图象 且图象的最高点为 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 S 3 2 3 赛道的后一部分为折线段 MNP 为保证参赛 运动员的安全 限定 MNP 120 o I 求 A 的值和 M P 两点间的距离 II 应如何设计 才能使折线段赛道 MNP 最长 w w w k s 5 u c o m 18 本小题主要考查三角函数的图象与性质 解三角形等基础知识 考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解 决实际问题的能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 解法一 依题意 有 2 3A 3 4 T 又 2 T 6 2 3sin 6 yx 当 4x 是 2 2 3sin3 3 y 4 3 M 又 8 3 p 22 435MP 在 MNP 中 MNP 120 MP 5 设 PMN 则 0 60 由正弦定理得 00 sinsin120sin 60 MPNPMN 10 3 sin 3 NP 0 10 3 sin 60 3 MN 故 0 10 310 310 3 13 sinsin 60 sincos 33323 NPMN 0 10 3 sin 60 3 0 0 与 x 轴 的左 右两个交点 直线l过点 B 且与x轴垂直 S 为l上 异于点 B 的一点 连结 AS 交曲线 C 于点 T 1 若曲 线 C 为半圆 点 T 为圆弧 A AB的三等分点 试求出点 S 的坐标 II 如图 点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点 试问 是否存 在a 使得 O M S 三点共线 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理由 w w w k s 5 u c o m 19 解析 解法一 当曲线 C 为半圆时 1 a 如图 由点 T 为圆弧 A AB的三等分点得 BOT 60 或 120 1 当 BOT 60 时 SAE 30 又 AB 2 故在 SAE 中 有 tan30 SBABs t 2 当 BOT 120 时 同理可求得点 S 的坐标为 1 2 3 综上 2 3 1 3 S或S 1 2 3 假设存在 0 a a 使得 O M S 三点共线 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上 故BT OS 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222422 2 1 1 20 x y a kxa k xa ka a yk xa 得 设点 222 22 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k 从而 22 2 1 TT ak yk xa a k 亦即 22 2222 2 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 0 11 a kak B aBT a ka k 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 由 xa yk xa 得 2 2 s aakOSaak 由BT OS 可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0 0 2kaa 经检验 当 2a 时 O M S 三点共线 故存在 2a 使得 O M S 三点共线 解法二 同解法一 假设存在 a 使得 O M S 三点共线 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上 故SM BT 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 K 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222222 2 1 1 20 x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点 TT T xy 则有 422 22 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 2 2 1 0 T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 xa yk xa 得S a 2ak 所直线 SM 的方程为 2 2 yaka k xa O S M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上 即 2 2 aka ka 0 0 2aKa 故存在 2a 使得 O M S 三点共线 20 本小题满分 14 分 已知函数 32 1 3 f xxaxbx 且 1 0f w w w k s 5 u c o m 1 试用含a的代数式表示 b 并求 f x 的单调区间 2 令 1a 设函数 f x 在 1212 x x xx 处取得极值 记点 M 1 x 1 f x N 2 x 2 f x P m f m 12 xmx 请仔细观察曲线 f x 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势 并解释以下问题 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 I 若对任意的 m 1 x x2 线段 MP 与曲线 f x 均有异于 M P 的公共点 试确定 t 的最小值 并证明你的结 论 II 若存在点 Q n f n x n1 时 1 21a 当 x 变化时 fx 与 f x 的变化情况如下表 x 1 2 a 1 2 1 a 1 fx f x单调递增单调递减单调递增 由此得 函数 f x 的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 当 1a 时 1 2 1a 此时有 0fx 恒成立 且仅在 1x 处 0fx 故函数 f x 的单调增区间为 R 当 1a 时 1 2 1a 同理可得 函数 f x 的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间为 1 1 2 a 综上 当 1a 时 函数 f x 的单调增区间为 1 2 a 和 1 单调减区间为 1 2 1 a 当 1a 时 函数 f x 的单调增区间为 R 当 1a 时 函数 f x 的单调增区间为 1 和 1 2 a 单调减区间为 1 1 2 a 由 1a 得 32 1 3 3 f xxxx 令 2 230f xxx 得 12 1 3xx 由 1 得 f x 增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数 f x 在处 12 1 3xx 取得极 值 故 M 5 1 3 N 3 9 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 观察 f x 的图象 有如下现象 当 m 从 1 不含 1 变化到 3 时 线段 MP 的斜率与曲线 f x 在点 P 处切线的斜率 f x 之差 Kmp fm 的值 由正连续变为负 线段 MP 与曲线是否有异于 H P 的公共点与 Kmp fm 的 m 正负有着密切的关联 Kmp fm 0 对应的位置可能是临界点 故推测 满足 Kmp fm 的 m 就是所求的 t 最小值 下面给出证 明并确定的 t 最小值 曲线 f x 在点 P m f m 处的切线斜率 2 23fmmm 线段 MP 的斜率 Kmp 2 45 3 mm 当 Kmp fm 0 时 解得 12mm 或 直线 MP 的方程为 22 454 33 mmmm yx 令 22 454 33 mmmm g xf xx 当 2m 时 2 2g xxx 在 1 2 上只有一个零点 0 x 可判断 f x 函数在 1 0 上单调递增 在 0 2 上单调递减 又 1 2 0gg 所以 g x 在 1 2 上没有零点 即线段 MP 与曲线 f x 没有异于 M P 的公共点 当 2 3m 时 2 4 0 0 3 mm g 2 2 2 0gm 所以存在 0 2m 使得 0g 即当 2 3 m 时 MP 与曲线 f x 有异于 M P 的公共点 综上 t 的最小值为 2 2 类似 1 于中的观察 可得 m 的取值范围为 1 3 解法二 1 同解法一 2 由 1a 得 32 1 3 3 f xxxx 令 2 230fxxx 得 12 1 3xx 由 1 得的 f x 单调增区间为 1 和 3 单调减区间为 1 3 所以函数在处取得极值 故 M 数学题 数学网 数学题 数学网 课件 教案 试卷 全免费下载 5 1 3 N 3 9 直线 MP 的方程为 22 454 33 mmmm yx 由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得 3222 3 44 40 xxmmxmm 线段 MP 与曲线 f x 有异于 M P 的公共点等价于上述方程在 1 m 上有根 即函数 3222 3 44 4g xxxmmxmm 在 1 m 上有零点 因为函数 g x 为三次函数 所以 g x 至多有三个零点 两个极值点 又 1 0gg m 因此 g x 在 1 m 上有零点等价于 g x 在 1