广东省台山市华侨中学2020届高三数学10月模考试题 文（含解析）

1 广东省台山市华侨中学广东省台山市华侨中学 20202020 届高三数学届高三数学 1010 月模考试题月模考试题 文 含解析 文 含解析 一 选择题 一 选择题 1 已知向量 若与共线 则实数 3 1a 3 b a b a b 1c d 3 1 3 答案 a 解析 分析 利用向量共线的坐标表示得出 解出即可 330 详解 解 解得 故选 a ab 330 1 点睛 本小题主要考查平面向量共线的坐标表示 熟练掌握向量共线定理是解题的关键 属于基础题 2 设i为虚数单位 复数是纯虚数 是 的 mr 1m mi 1m a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充要条件d 既不充分又不必要条件 答案 b 解析 分析 先求得 复数是纯虚数 时的值 再根据充分 必要条件的判断依据 判断 1m mi m 出正确选项 详解 解 复数是纯虚数 则或 1m mi 0m 1m 所以 复数是纯虚数 不是 的充分条件 1m mi 1m 当时 复数为 是纯虚数 复数是纯虚数 是 的必要条件 1m i 1m mi 1m 所以 复数是纯虚数 是 的必要不充分条件 1m mi 1m 故选 b 2 点睛 本题考查复数的基本概念 属于基础题 直接利用复数的基本概念以及充要条件判断 即可 3 设集合 集合 则等于 1 ax yx 2 20bxxx r c ab a b c d 0 2 1 2 0 1 2 答案 c 解析 分析 化简集合和 根据补集与交集的定义写出即可 ab r c ab 详解 集合 集合 1 10 1 ax yxx xx x 则 2 0 20 02 2 bxx x xxxxx 1 r c ax x 01 0 1 r c abxx 故选 c 点睛 本题考查了集合的化简与运算问题 是基础题目 4 已知向量与向量满足 则与的夹角为 a b 3a 2b 22 13ab a b a b c d 6 4 2 3 3 答案 d 解析 分析 设与的夹角为 由条件利用向量模的运算列式 求得的值 可得的值 a b cos 详解 解 设与的夹角为 a b 3a 2b 22 13ab 22 444 13aa bb 即 4 94 3 244 13cos 3 求得 1 cos 2 3 故选 d 点睛 本题主要考查用向量模的运算 考查向量数量积的运算 属于基础题 5 一个半径为的扇形的面积为 则这个扇形的中心角的弧度数为 2cm 2 8cm a 1b 2c 3d 4 答案 d 解析 分析 直接利用扇形面积计算公式列方程求解即可 详解 设这个扇形的中心角的弧度数为 因为扇形的半径为 面积为 2cm 2 8cm 所以 解得 故选 d 2 1 28 2 4 点睛 本题考查了扇形面积计算公式 属于基础题 扇形的面积公式为 1 2 1 2 slr 2 1 2 sr 6 sin345 a b c d 26 4 62 4 62 4 62 4 答案 a 解析 分析 直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出 4 详解 sin345sin 36015sin15sin 4530 故选 a 232126 22224 点睛 本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用 7 已知数列满足递推关系 则 n a 1 1 n n n a a a 1 1 2 a 2020 a a b c d 1 2019 1 2020 1 2021 1 2022 答案 c 解析 分析 利用数列递推关系 结合等差数列的定义得数列是首项为 公差为 的等差数列 再利 1 n a 21 用等差数列的通项公式计算即可 详解 解 1 1 n n n a a a 1 11 1 nn aa 又 数列是首项为 公差为 的等差数列 即 1 1 2 a 1 n a 21 1 1 n n a 2020 1 220192021 a 即 2020 1 2021 a 故选 c 点睛 本题考查了数列递推关系 等差数列的概念和等差数列的通项公式 属于基础题 5 8 若 且 则的终边在 sin0 t an0 2 a 第一象限b 第二象限c 第一象限或第三象限d 第三象限 或第四象限 答案 c 解析 由 且 知为二象限角 即 sin0 tan0 2 2 2 kkkz 则 242 kkkz 当为偶数时 的终边在第一象限 k2 当为奇数时 的终边在第三象限 k2 故选 c 9 函数的部分图像如图所示 则 a 2sin 2 6 yx b 2sin 2 3 yx c 2sin 6 yx 6 d 2sin 3 yx 答案 a 解析 试题分析 由题图知 最小正周期 所以 所以 2a 2 36 t 2 2 因为图象过点 所以 所以 2sin 2 yx 2 3 22sin 2 3 2 sin 1 3 所以 令 得 所以 故选 a 2 2 32 kkz 0k 6 2sin 2 6 yx 考点 三角函数的图像与性质 名师点睛 根据图像求解析式问题的一般方法是 先根据函数图像的 sin y axh 最高点 最低点确定 a h 的值 由函数的周期确定 的值 再根据函数图像上的一个特殊 点确定 值 10 已知函数在处有极值 10 则等于 32 f xxaxbx 1x 2 f a 1b 2c 2d 1 答案 b 解析 32 f xxaxbx 2 32fxxaxb 函数 在处有极值为 10 32 f xxaxbx 1x 解得 320 110 ab ab 12 21 a b 经检验知 符合题意 12 21ab 7 32 1221f xxxx 选b 32 2212 221 22f 点睛 由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件 故在求出导函数的零点后还要判断在该 零点两侧导函数的值的符号是否发生变化 然后才能作出判断 同样在已知函数的极值点 求参数的值时 根据求得参数的值后应要进行检验 判断所求参数是否符合题 0 x 0 0fx 意 最终作出取舍 11 在等差数列中 其前项和为 若 则 n a 1 2015a nn s 1012 2 1210 ss 2018 s a 2018b 2018c 4036d 4036 答案 c 解析 分析 先证明是等差数列 由此求得数列的首项和公差 由此求得的值 进而 n s n n s n 2018 2018 s 求得的值 2018 s 详解 设等差数列的前项和为 则 n a n 2 n sanbn n s an b n 所以是等差数列 因为 n s n 1012 2 1210 ss 所以的公差为 又 n s n 1 11 2015 11 sa 所以是以为首项 为公差的等差数列 n s n 2015 1 所以 所以 故选 c 2018 20152017 12 2018 s 2018 4036s 8 点睛 本小题主要考查等差数列前项和公式的理解和运用 考查等差数列基本量的计算 n 属于基础题 12 是边长为 1 的等边三角形 点分别是边的中点 连接并延长到 abc d e ab bc de 点 使得 则的值为 f2deef af bc a a b c d 5 8 1 8 1 4 11 8 答案 b 解析 试题分析 设 baa bcb 11 22 deacba 33 24 dfdeba 1353 2444 afaddfabaab 2 53531 44848 af bca bb 考点 向量数量积 名师点睛 研究向量的数量积问题 一般有两个思路 一是建立直角坐标系 利用坐标研 究向量数量积 二是利用一组基底表示所有向量 两种实质相同 坐标法更易理解和化简 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言 坐标语言 实质是将 形 化为 数 向量的坐标运算 使得向量的线性运算都可用坐标来进行 实现了向量运算完全代 数化 将数与形紧密结合起来 二 填空题 二 填空题 13 向量在向量方向上的投影为 2 3a 3 4b 答案 6 5 解析 9 分析 根据投影的定义 应用公式在方向上的投影为求解 a b cos aa b a b b 详解 解 根据投影的定义可得 在方向上的投影为 a b 2 33 46 cos 59 16 a b aa b b 故答案为 6 5 点睛 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法 公式与定义两者要灵活运用 解答关 键在于要求熟练应用公式 14 函数的单调递减区间是 2 2lnf xxx 答案 0 1 解析 分析 求出导函数 在上解不等式可得 的单调减区间 fx 0 0fx f x 详解 其中 2 21 2 2 x yx xx 0 x 令 则 故函数的单调减区间为 填 0y 0 1x 2 2lnyxx 0 1 0 1 点睛 一般地 若在区间上可导 且 则在上为单调 f x a b 0fx f x a b 减函数 反之 若在区间上可导且为减函数 则 注意求单调区间前 f x a b 0fx 先确定函数的定义域 15 已知向量 其中 若 则 8 2 x a b 1x 0 x 22abab a x 答案 4 解析 分析 10 根据平面向量的坐标运算公式求出向量与 然后根据平面向量共线 平行 的 2ab 2ab 充要条件建立等式 解之即可 详解 向量 1 8 1 2 axbx 1 282 2 216 1 2 abxxabx x 2 2abab 1 8211620 2 xxxx 即 又 故答案为 4 2 5 400 2 x 0 4xx 点睛 利用向量的位置关系求参数是出题的热点 主要命题方式有两个 1 两向量平 行 利用解答 2 两向量垂直 利用解答 1221 0 x yx y 1212 0 x xy y 16 利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法 可求得 2 21 x f x x n 122020 202120212021 fff 答案 2020 解析 分析 先证得 利用倒序相加法求得表达式的值 12f xfx 详解 解 由题意可知 2 12 212 1 2 212 1 121 xxx f xfx xxx 令s 122020 202120212021 fff 则s 202020191 202120212021 fff 11 两式相加得 2 2020 2s 2020s 故填 2020 点睛 本题考查借助倒序相加求函数值的和 属于中档题 解题关键是找到 的规律 12f xfx 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知向量 1 cosa 1 sin 3 b 0 1 若 求的值 ab sin2 2 若 求的值 ab sincos sincos 答案 1 2 2 2 3 解析 分析 1 根据两个向量垂直的坐标运算列式 化简后求得的值 2 根据两个向量共线 sin2 的知识列方程 求得的值 然后将所求表达式转化为只含的式子 由此求得表 tan tan 达式的值 详解 解 1 由得 ab 1 sin0 3 a bcos 1 sin sin2 3 cos 2 3 sin2 2 3 2 由得 ab 11 sincos tan 33 14 1 sincostan1 33 2 12 sincostan1 1 33 点睛 本题主要考查的是向量的数量积及坐标运算 三角函数的二倍角公式及同角三角函 12 数的基本关系等 18 已知数列的前 n 项和为 n a n s 1 2a 2 n snn 1 求数列的通项公式 n a 2 设的前项和为 求证 1 n s n n t1 n t 答案 1 2 证明见解析 2 n an nn 解析 分析 1 利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出结果 2 根据题意可得 然后利用裂项求和即可得出 进而即可证得结论 2 11111 11 n snnn nnn n t 详解 解 1 2 n snn 当时 2n 22 1 1 12 nnn assnnnnn 又满足上式 1 2a 2 n an nn 2 证明 2 1 n snnn n 1111 11 n sn nnn 111111 11 22311 n t nnn nn 1 0 1n 1 n t 点睛 本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式 裂项求和 考查了推理能力与 计算能力 培养了学生分析问题与解决问题的能力 属于中档题 13 19 已知直线 为参数 曲线 为参数 l 1 1 2 3 2 xt yt t1 c cos sin x y 1 设 与相交于两点 求 l1 c a bab 2 若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍 纵坐标压缩为原来的倍 得到曲线 1 c 1 2 3 2 设点p是曲线上的一个动点 求它到直线 的距离的最大值 2 c 2 c l 答案 1 2 1 36 24 解析 分析 1 消去直线 参数方程的参数 求得直线 的普通方程 消去曲线参数方程的参数 ltl1 c 求得曲线的普通方程 联立直线 和曲线的方程求得交点的坐标 再根据两点间 1 c l1 c a b 的距离公式求得 2 根据坐标变换求得曲线的参数方程 由此设出点坐标 利 ab 2 c p 用点到直线距离公式列式 结合三角函数最值的求法 求得到直线 的距离的最大值 pl 详解 1 的普通方程为 的普通方程为 l 31yx 1 c 22 1xy 联立方程组 解得交点为 22 3 1 1 yx xy 13 1 0 22 ab 所以 ab 22 13 1 0 1 22 2 曲线 为参数 设所求的点为 2 c 1 cos 2 3 sin 2 x y 13 cos sin 22 p 则到直线 的距离 pl 33 cossin3 22 3 1 d 16 cos 3 224 14 当时 取得最大值 cos 1 4 p q d 36 24 点睛 本小题主要考查参数方程化为普通方程 考查直线和圆相交所得弦长的求法 考查 坐标变换以及点到直线距离公式 还考查了三角函数最值的求法 属于中档题 20 在中 内角所对的边分别为 已知 abc abc a b c 2bca 3 sin4 sincbac 求的值 cosb 求的值 sin 2 6 b 答案 1 4 3 57 16 解析 分析 由题意结合正弦定理得到的比例关系 然后利用余弦定理可得的值 a b c cosb 利用二倍角公式首先求得的值 然后利用两角和的正弦公式可得 sin2 cos2bb 的值 sin 2 6 b 详解 在中 由正弦定理得 abc sinsin bc bc sinsinbccb 又由 得 即 3 sin4 sincbac 3 sin4 sinbcac 34ba 又因为 得到 2bca 4 3 ba 2 3 ca 由余弦定理可得 222 cos 2 acb b ac 222 416 1 99 2 4 2 3 aaa aa 15 由 可得 2 15 sin1 cos 4 bb 从而 15 sin22sincos 8 bbb 22 7 cos2cossin 8 bbb 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 bbb 点睛 本题主要考查同角三角函数的基本关系 两角和的正弦公式 二倍角的正弦与余弦 公式 以及正弦定理 余弦定理等基础知识 考查计算求解能力 21 如图 正三角形abe与菱形abcd所在的平面互相垂直 m是ab的 2ab 60abc 中点 n是ce的中点 1 求证 emad 2 求证 平面ade mn a 3 求点a到平面bce的距离 答案 1 证明见解析 2 证明见解析 3 2 15 5 解析 分析 1 推导出 从而平面 由此能证明 2 取的 emab em abcdemad de 中点 连接 推导出四边形是平行四边形 从而 由此能证明 f af nf amnf mnaf 平面 3 设点到平面的距离为 由 能求出点 mnadeabceda bcee abc vv 到平面的距离 abce 详解 证明 1 m是ab的中点 eaeb emab 16 平面平面abcd 平面平面 平面abe abe abe abcdab em 平面abcd em 平面abcd ad q emad 2 取de的中点f 连接af nf 是ce的中点 nq 1 2 nfcd 是ab的中点 m 1 2 amcd nfam 四边形amnf是平行四边形 mnaf a 平面ade 平面ade mn af 平面ade mn a 3 设点到平面bce的距离为 ad 由 1 知平面 abc me 2bcbe 3mcme 则 6ce 22 10 2 bnbeen 115 22 bce sce bn a 17 1 sin603 2 abc sba bc a bcee abc vv 即 11 33 bceabc sdsme aa 解得 故点a到平面bce的距离为 2 15 5 d 2 15 5 点睛 本题考查线线垂直 线面平行的证明 考查点到平面的距离的求法 涉及到空间中线 线 线面 面面间的位置关系等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 数据处理能 力 考查数形结合思想 是中档题 22 已知曲线的参数方程为 为参数在以坐标原点为极点 轴的正半轴为极 1 c 1 1 2 3 2 xt yt t 轴的极坐标系中 曲线 2 c 2 2 12 3sin 1 求曲线的普通方程和的直角坐标方程 1 c 2 c 2 若与相交于两点 设点 求 的值 1 c 2 c a b 1 0f 11 fafb 答案 1 的普通方程为 的直角坐标方程为 2 1 c3 1 yx 2 c 22 1 43 xy 4 3 解析 试题分析 消参后得到曲线的普通方程 根据 1 c 得到曲线的直角坐标方程 将直线的参数方 222 cos sinxyxy 2 c 程代入曲线的直角坐标方程 得到关于 的一元二次方程 而 2 c t12 1111 fafbtt 18 代入根与系数的关系得到结果 试题解析 i 为参数 1 1 2 3 2 xt yt t 22 2 3 3 tx ty 330 xy 所以曲线的普通方程为 1 c 31yx 222222222 2 12 3sin123123412 3sin xyyxy 所以的直角坐标方程为 2 c 22 1 43 xy 由题意可设 与两点对应的参数分别为 ab 12 t t 将的参数方程代入的直角坐标方程 1 c 2 c 22 1 43 xy 化简整理得 所以 2 5