大学物理教案--机械振动与机械波

简谐振动 1 教学目标 1 掌握简谐振动的定义 表达方式 简谐振动的合成方法 了解自由 阻尼 强 迫等各类简谐振动的特点和规律 2 掌握振动和波的关系 波的相干条件 叠加原理 驻波的形成条件 驻波的振 幅 相位和能量的空间分布 半波损失 3 学会建立波动方程 教学难点 多自由体系的小振动 第十一章 机械振动 振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动 例子 物体位置 电流强度 电 压 电场强度 磁场强度等 物体或系统质点数是无穷的 自由度数也是无穷的 因此存在空间分布和时间分布 需要用偏微分方程描述 如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数 或未知函数与几个 变量有关 而且未知函数对应几个变量的导数 那么这种微分方程就是偏微分方程 例如 弦包含很多的质点 不能用质点力学的定律研究 但是可以将其细分成若干个极小的小段 每小段可以抽象成一个质点 用微分的方法研究质点的位移 其是这点所在的位置和时间 变量的函数 根据张力 就可以建立起弦振动的偏微分方程 一 简谐振动 单自由度体系无阻尼自由小振动 虽然多质点的振动要用偏微分方程描述 但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小 段 那么就成为单质点单自由度 只需一个坐标变量 的振动 振幅 初相位 都是积分常数 为倔强系数 2 22 22 22 22 0 cos 0 ii t Fkk Fkx ax mmm d xd x ax ax dtdt xAtAe e i 令 特征方程 特征根 A k 在微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶 形如的方程为线性方程 其特点是它关于未知函数及其导数都是 dx P t xQ x dt x dx dt 一次的 若 则称为齐次的线性方程 0Q x 0 dx P t x dt 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 12 1212 1212 1 212 cossin tt t t xc ec e xcc t e ixectct 由cos sin xAtvAt 按周期定义 同时满足以上两方程的 cos cos sin sin AtAtT AtAtT 简谐振动 2 的最小值应为 所以 于是 称为圆频率或角频率 不像T 2p w 2 T p w 1 2 T nwpn w 由初始条件决定 由固有参量和决定 与初始条件无关 故称为振子的固A wkm 有频率 简谐振动的状态的物理量位置和速度随时间变化 但只要相同 振动的 t 状态就相同 所以是决定振动状态的物理量 称为位相 是位相的变化速率 t w 单位是弧度 秒 由于复数平面上任一点对应一个矢量 还可以用一个旋转矢量来描述简谐振动 在相空间中 简谐振动由一条椭圆曲线所描述 位移和动量 cos sin xAtpmvm At 满足椭圆方程 22 22 1 xp Am A 举例 单摆的摆动 弹簧振子和单摆都是在弹性力或准弹性力作用下作简谐振动的保守系统 称为谐振子 由 于弹性力是保守力 简谐振动中机械能是守恒的 于是 222 2 2222 2 11 cos sin 22 1 sin 22 1 2 p k pk EkxkAtpm At pk EmAt mm EEEkA 振动的合成与分解 同方向 同频率的两简谐振动的合成 矢量法 312 123123 iiii t xxxxAeA eA ee I 则 即当两分振动的相位差为的偶数倍时 21 2 0 1 2 kkjjp 12 AAA p 合振动的振幅为两分振动振幅之和 II 则 即当两分振动的相位差为的奇 21 21 0 1 2 kkjjp 12 AAA p 数倍时 合振动的振幅为两分振动振幅之差 III 为一般值 则 21 jj 1212 AAAAA 同方向 不同频率的两简谐振动的合成 三角函数法 参见拍 简谐振动 3 振动方向垂直的两谐振动的合成 三角法 计算机法 单自由度体系的小振动 4 21212 1 12121 2 2121 12 22 2222 211221 22 1212 21 1 coscoscoscossinsincos coscoscoscossinsincos coscossinsin coscos2coscossinsin sincoscossi x tt A y tt A xy t AA xyxy t AAA A x t A jwjjwjj jwjjwjj jjwjj jjjjwjj jwj 212 12121 2 2121 12 22 2222 211221 22 1212 22 2 2121 22 1212 nsinsinsin sincoscossinsinsinsin sinsincossin coscos2sinsincossin 2cos sin t y tt A xy t AA xyxy t AAA A xyxy AAA A jwjj jwjjwjj jjwjj jjjjwjj jjjj 若频率比为简单整数比 则合成曲线是稳定的封闭的 运动也具有周期性 其轨迹称为李 萨如图形 I 若 则 21 0jj 2 1 A yx A II 若 2 21 1 A yx A jjp III 若 22 21 22 12 1 2 xy y AA p jj IV 若 22 21 22 12 3 1 2 xy y AA p jj 二 单自由度体系的小振动 单自由度指只需要一个坐标就可以确定系统的位置 1 自由振动 势能在平衡位置附近展开得 V q 0 qq 00 2 2 000 2 1 2 qq dVd V V qV qqqqq dqdq 1122 1122 12 cos cos coscossinsin coscossinsin xAtyAt xy tttt AA wjwj wjwjwjwj 单自由度体系的小振动 5 第一项为常数 可取为势能的零点 因在稳定平衡位置势能取驻值 导数为 0 的点称为函数 的驻点 在驻点取得的函数值为驻值 而极值点是指函数在邻域 内 0 x 00 xx 是函数的最大值或最小值 第 2 项中的一阶导数为零 记 0 f x 0 2 2 1 2 q d V k dq 0 xqq 得 2 1 2 Vkx 考虑到对稳定约束 根据 可得动能0 t r ii i q qt rr r 2 2 22 0 11 22 1 2 11 22 iiiiii iii iii i i i Tmqmq qmq qtqqqt m t Ta q qmxma q rrrrrr r 于是拉氏函数 代入拉氏方程得 22 11 22 LTVmxkx 2 00mxkxxx 其中为振动频率 上述方程有自由振动解 为振幅 k m cosxAt A 为初相位 附注 拉格朗日方程 1 1 1 2 222222222 1111 1 1 2 111 222 iiiiiiiii N NNNNiii i m xm yY m zZ iN Tm xyzmxyzm xyz 如果讨论是 保守力系 指力学系统中的力所作之功 仅与起末位置有关 而与具体路径 无关 具有此性质的力场 一定可以引入一位置函数 而此力所作之功为 V x y z 按功与路径无关的性质 应为一全微分 xyz F dxF dyF dzdV dV 两式比较得 由此得 VVV dVdxdydz xyz iii iii VVV YZ xyz iii iii i d m xd xdT mm x dtxdtdt 单自由度体系的小振动 6 到 1 6 于是 由 1 1 得 0 0 0 iiiiii dTVdTVdTV dtxxdtyydtzz 引入拉格朗日函数 可将 111111 NNNNNN LL x y zxyzx y zxyzTV 1 6 式写成 1 7 将方程 1 7 的直角坐标换成广义坐标 即得描述具有个自由度系统的拉氏方程 x y zs 0 1 2 ii dLL is dtqq 2 阻尼振动 当速度不大时 阻力与速度的一次方成正比 方向相反 即 b R x 运动方程变为 即m kb xx x 1 8 2 0 xx x 其中 令 代入 1 8 得 解出 其中 b m t xAe 22 0 2 i 因为阻尼系数通常很小 于是 2 2 2 1 9 2 cos t xAet 当存在阻尼时 解是随时间减小的 3 受迫振动 若系统除存在阻尼外 还有固有性外力 策动力 则运动方程变为 cosF tFt cos bkFt xx x 即 1 10 2 cos ft xx x 其中 式 1 10 的通解可写成一个特解与相应的齐次方程的通解 1 9 之和 后者随 F f m 时间衰减 逐渐趋向于零 其特解试探形式为 cosxAt 代入 1 10 得 可解得 22 22 cossin sincos0 Af 0 1 2 ii dLL iN dtxx 单自由度体系的小振动 7 2 22 4 22 2 2 2 2 2 2 222222 22 22 2222222222 2 222 22 222 22 22222 2 22 cos sin cos sin cos 2 sinsin cossin sinsin cossin ff A 22 22 1 2222 4 2 1 122 22 2 cos sin0 1 1 coscos sin0sin tan ij ijij Af AA A is AM transpose A Aff AAA f f 222 arctan f 当时 发生共振 振幅为 f A 举例 1 弦振动方程 弦上取一段微元 在任一时刻 这一段弦所受诸力应当平衡 即张力 惯性 x xx t 力 外力 0 惯性力 22 22 xx x u x tu x t dxx tt 外力 xx x f x t dxf x tx 均为中的点 x x x xx 张力 惯性力和外力均垂直于轴 故张力在方向的投影的代数和为零 xx 是张力的方向与水平方向的夹角 21 1 22 1 2 22 2 cos cos0 11 cos 1 1tan 1 11 cos 1 1tan 1 x xx T xxT x u x u x 1 T x 多自由度体系的小振动 8 张力在轴方向的分量为u 21 11 22 2 2 sinsin sintan sintan x xx FTT u x u x u xx tu x tu FTTx tx xx xx xxx 于是 22 22 0 u x tu xTx txf x tx tx 两端除以 并令 即得 0 x 22 22 22 uuT af x ta tx 举例 2 平面电磁波的波动方程 麦克斯韦方程组及电流连续性方程 v v t 0 t B E t D HJ D B J 同理 第一个方程指时变磁场激发感应电场和自由电荷激发库仑电场 第二个方程指磁场强 度沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流 传导电流的代数和 对静态场HI 它化为安培环路定律 此方程也表明磁场存在着漩涡源 第三个方程的包0 t D JD 括库仑电场 也包括感应电场 感应电场不是起源于电荷 取 从而得 0 0 D 是无散场 三 多自由度体系的小振动 自由振动 2 0 0 1 0 2 VV V qVqq q qqq 2 2 2 2 2 2 ttt tttt tt mm mmm e r m em e EEE B EHH DJE J EJ E 2 2 2 t m e H HJ 多自由度体系的小振动 9 2 0 1 2 1 2 1 2 V kk qq Vk q q Taq q q 将在平衡位置展开 只保留零阶项 并记 aq 1 0 2 mamTm q q 于是体系的拉氏函数为 1 2 LTVm q qk q q 代入拉氏方程 得0 1 2 ii dLL is dtqq 因为是相互作用的 0m qk q qq 写成矩阵形式为 1 11 11121111211 21222212222 1212 0 ss ss sssssssss MqKq mmmkkkq mmmkkkq MKq mmmkkkq 设 1 11 有形式解 代入式 1 11 得 即 1 2 i ti t s A A qAee A 2 0MK A 1 12 222 1 1111121211 222 2 2121222222 222 1122 0 ss ss s ssssssss Amkmkmk Amkmkmk Amkmkmk 这是一个关于的线性齐次方程组 称为本证方程 它具有非零解的条件是系数 1 s AA 行列式为零 即 多自由度体系的小振动 10 1 13 2 det 0mk 该方程称为本证值方程 从它可解出个 可以证明它们全是正的 s 2 对每个 存在两个频率值 所以解可写成 2 或 i ti t qAee cos qAt 考虑方程 1 13 解得个非负值就行了 将它们依次记为 并称之为简正频率 s 1 s 对每一个简正频率 可从方程 1 12 解出一组振幅 它们对应于一组广 l 1 lsl AA 义坐标的解 11 22 cos ll ll ll slsl qA qA t qA 或简记为 1 14 cos ll ll qAt 如果把看作是维笛卡尔坐标空间中的矢量 则可以引入它们以 或 为 1 l Als s M K 度规矩阵的内积 lmlm AAA MA 和矢量的长度 l A lll AAA 与对应的单位矢量为 l A l l l A a A 可以证明 总可适当选取矢量 使它们彼此正交 即 l A lm llm AA 相应的单位矢量是正交归一的 即 lm lm aa 其中为克龙尼克 Kroneck 记号 lm 机械波 11 方程 3 11 的通解为各频率成分 3 14 的线性叠加 即 1 15 cos ll llll ll qC qA Ct 引入简正坐标 cos 1 llll Ctls 每个简正坐标以单一的简正频率振荡 于是方程 1 15 可写成矩阵形式 11111211 222212222 12 s lss sssssss qAAA qAAA AAA qAAA 可简记为 即广义坐标与简正坐标相差一线性变换 1 qAA q 可以证明矩阵使矩阵和同时对角化 A M K T T A MA A KA 根据以上两式 体系的动能和势能可分别写成 2 2 1111 2222 1111 2222 TTTT ll l TTTT ll l Tq MqA MA Vq KqA KA 于是拉氏函数 22 11 22 llll ll LTV 代入拉氏方程 得 2 00 lllllll 其中 为简正频率 上面的方程表明若一开始就采用简正坐标 则运动方程是退 l l l 耦的 第十二章 机械波 声波需要介质才能传播 真空中不能传播声波 电磁波却可以在真空中传播 光即具 有粒子性也有波动性 虽然各种类型的波有其特殊性 但也有普遍的共性 即它们都有类 似的波动方程 机械振动在弹性介质中的传播称为机械波 波分为横波 transverse wave 和 longitudinal wave 声波是纵波 又称疏密波 琴弦波 电磁波 电场 磁场和波的传播 方向互相垂直 是横波 机械波 12 横波和纵波的形成条件 振源 弹性介质 1 沿直线传播的简谐波 对于质点很多的多自由度体系 或者单质点多自由度 未知函数是多个变量的函数 需要用偏微分方程来描述波动方程 沿轴正方向传播的平面简谐波 如图所示 x 在原点处有一质点作简谐振动 方程为O cos yAt 沿轴正方向上取一点 它距点的距离为 xPOx 当振动从点传播到点时 点在 时刻的位移为OPPt cos cos cos xx yAtAtoryAtkx u cos 2 cos 2 txx oryAoryAt T 2 平面波和球面简谐波 若在空间的任一方向传播的平面波 则 平面波的等相位面是k cossAt k r 一个平面 故称平面波 等相位面又称波阵面 波阵面上任一点处的相位应与点的相rP 位相同 而点与点的相位差为 球面波可表示为PO k r cos A st r k r 它的振幅随球面半径增大而减小 3 简谐波的波动方程 1 沿直线传播的波动方程 分别对关于 和的偏导数cos yAtkx tx 2 222 2 22 2 222 2 22 2 2 2 cos cos yyy Atkx yy ttkx v tx y kAktkx vx 2 平面简谐波波动方程 2222 22222 1ssss vtxyz 4 叠加原理 设有两列波 一个沿轴 1111 2222 cos cos xAtk z xAtk y z 传播 一个沿轴传播 它们在某点相遇 波的叠加原理y 指出 1 除相遇外 各点的振动仍由上式给出 机械波 13 2 在相遇点 几列波互不影响 各自给出自己的一份贡献 使该点作合成运动 若对几列波给予一定的条件 可使得叠加结果简单 几列简谐波在相遇点合成仍为谐振 动 稳定 相遇点的振幅不随时间变化 叠加原理并不是普遍成立的 只有当波的强度较 小时 它才正确 这些条件是 几列波振动方向相同 几列波的频率相同 几个波源的相位差恒定 上述特殊条件下的叠加称为 相干叠加 或 干涉 对于以上参与合成的几列波所加的条 件称为 相干条件 令 1110122202 cos cosxAtkrxAtkr 1211012202 coscosxxxAtkrAtkr 11011012202 20211012202 11012202 coscossinsin coscos sinsin coscoscos sinsinsin xAtkrtkrAtkr tkrt AkrAkr t AkrAkr 令 110122020 coscosAkrAkrAcos 110122020 sinsinAkrAkrAsin 22 1212201021 11012202 0 11012202 2cos coscos sinsin AAAA Ak rr AkrAkr tg AkrAkr 201021 k rr 可以通过矢量的加法来求得 A 2 2 22 11221122 2222 11221212 2222 112 2 121 21212 22 121 21 21212 2 coscossinsin coscos2coscos sinsin2sinsin 2coscossins