因式分解分解的方法

因式分解技巧因式分解技巧 王洪王洪 442500 2015 年年 1 月月 5 日湖北省十堰市郧阳区城关镇第一初级中学日湖北省十堰市郧阳区城关镇第一初级中学 中小学数学杂志社中学版中小学数学杂志社中学版 635228216 因式分解是初中数学的一个重要内容 它放在八年级上学期 前一 章是整式的乘除 后一章是分式 这三章可以说紧密相连 又呈现知识 的前后关系 整式的乘法是从积到多项式的变化过程 而因式分解则是 从多项式到整式积的变化过程 从这个变化过程可以看出整式乘法运算 对因式分解熟练程度的重要性 分式借助分式的性质约分 分式的加减 无不渗透因式分解的知识 甚至可以统领分式 好多学生在学了这三章 后 尤其是前两章知识后相互混淆 觉得学的特别困难 下面结合教学 实际和同行浅谈一下分解因式的数学思想方法 一 先变式再分解 有些多项式在分解前需要作适当的变式 这里主要对含有乘方且底 数互为相反数的项的变式 一般来说变偶次方比变奇次方好些 它不涉 及符号问题 例 1 18 a b 2 12b b a 2 2 3ab x y 3 6a2b y x 2 解 1 18 a b 2 12b b a 2 18 a b 2 12b a b 2 6 a b 2 3a 5b 2 3ab x y 3 6a2b y x 2 3ab x y 2 x y 2a 二 先化简再分解 存在这样的多项式 常规的方法无从分解 特点是含有括号 这时 先化简再确定方法无疑柳暗花明 例 2 1 4x x y y2 2 p 4 p 1 3p 3 2a b 2 8ab 解 1 4x x y y2 4x2 4xy y2 2x y 2 2 p 4 p 1 3p p2 4 p 2 p 2 3 2a b 2 8ab 2a b 2 三 先分解再分解 某些多项式初看有一定的方法分解 这时就先分解 不要再考虑其 它方法了 但务必记住要分解彻底 因此再分解首当其冲 例 3 1 a2 4b2 2 16a2b2 2 2 m n 2 32 3 x2 4 2 16x2 4 16m4 8m2 1 5 x2 5 2 16x2 6 x2 x 2 1 2 x2 x 16 7 16m4 8m2 1 解 1 a2 4b2 2 16a2b2 a2 4ab 4b2 a2 4ab 4b2 a 2b 2 a 2b 2 2 2 m n 2 32 2 m n 2 42 2 m n 4 m n 4 3 x2 4 2 16x2 x2 4 4x x2 4 4x x 2 2 x 2 2 4 16m4 8m2 1 4m2 1 2 2m 1 2 2m 1 2 5 x2 5 2 16x2 x2 4x 5 x2 4x 5 x 5 x 1 x 4 x 1 6 x2 x 2 1 2 x2 x 1 16 x2 x 1 4 2 x 1 2 4 7 16m4 8m2 1 4m2 1 2 2m 1 2 2m 1 2 四 整体统筹法 存在部分多项式既有括号也沉长 但有个因式至少两次出现 这时 就要把这个因式看作一个整体千万不要分开 再考虑适当的分解方法 例 4 1 m n 2 4 m n 1 2 a b 2 12 a b 36 3 a b 2 12a 12b 36 4 a 1 2 a2 a 2 解 1 m n 2 4 m n 1 m n 2 4 m n 4 m n 2 2 2 a b 2 12 a b 36 a b 6 2 3 a b 2 12a 12b 36 a b 2 12 a b 36 a b 6 2 4 a 1 2 a2 a 2 a 1 2 a2 a 1 2 1 a2 a 1 2 五 先分组再分解 对于四项式以上的多项式分解 先分组再分解无需犹豫 分组分解 有两种形式 一三分组和二二分组 一三中三大多是个完全平方式 最 后一三是平方差的 形式 二二中每个二各自分解 二二之间一定要出现 新的 公因式 否则分组是无效的 再重新分组 例 5 1 x2 2x 4y2 4y 2 a2 1 2ab b2 3 ac bc a2 ab 4 x2 y2 ax ay 解 1 x2 2x 4y2 4y x2 4y2 2x 4y x 2y x 2y 2 x 2y x 2y x 2y 2 2 a2 1 2ab b2 a2 2ab b2 1 a b 2 1 a b 1 a b 1 3 ac bc a2 ab ac bc a2 ab c a b a a b c a a b 4 x2 y2 ax ay x2 y2 ax ay x y x y a x y x y x y a 六 先提取再分解 对于一个多项式 只要有公因式总是先提取公因式 然后再考虑其 它方法 例 6 1 4xy2 4x2y y3 2 4a3 4a2 a 3 xy3 2x2y2 x3y 解 1 4xy2 4x2y y3 y 4xy 4x2 y2 y 2x y 2 2 4a3 4a2 a a 4a2 4a 1 a 2a 1 2 3 xy3 2x2y2 x3y xy y2 2xy x2 xy y x 2 七 添 拆项法分解 很少的多项式以上方法都无法进行 这时适当考虑把其中一项拆或 添项 再考虑适当的方法分解 例 7 分解因式 x3 9x 8 解法 一 x3 9x 1 9 x3 1 9x 9 x 1 x2 x 1 9 x 1 x 1 x2 2x 8 x 1 x 4 x 2 解法二 x3 9x 8 x3 x 8x 8 x x2 1 8 x 1 x x 1 x 1 8 x 1 x 1 x2 解法三 x3 9x 8 9x3 8x3 9x 8 9x x2 1 8 x2 1 解法四 x3 9x 8 x3 9x 8 x2 x2 x3 x2 x2 9x 8 由此题可看出 用拆项 添项的方法分解因式式 要拆那些项 添 什么项并无一定之规 主要的是要依靠对题目特点的观察 灵活变换 因此拆项 添项是因式分解诸方法中技巧性最强的一种 八 十字相乘法分解 对于形如二次三项式的多项式若常数项分解为两个因数的积 二次 项的系数也分解为两个因数的积 画上十字交叉线 二次项 系数的两 个因数排在左边 常数项的两个因数排在右边 多次尝试若每条线上两 个数的积的和刚好等于一次项的系数 则可用此方法分解 1 x2 8x 9 x 1 x 9 2 6x2 5x 4 2x 1 3x 4 3 6x2 7xy 2y2 2x y 3x 2 一般来说二项式可考虑提公因式和平方差