2011年高考数学二轮复习 64推理与证明精品学案 新人教版

1 专题六 概率与统计 推理与证明 算法初步 复数专题六 概率与统计 推理与证明 算法初步 复数第四讲第四讲 推理与证明推理与证明 最新考纲透析最新考纲透析 1 合情推理与演绎推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作 用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 2 直接证明与间接证明 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 3 数学归纳法 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 核心要点突破核心要点突破 要点考向要点考向 1 1 合情推理 合情推理 考情聚焦 考情聚焦 1 1 合情推理能够考查学生的观察 分析 比较 联想的能力 在高考中越来越受到重视 2 2 呈现方式金榜经 属中档题 考向链接 考向链接 1 1 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 在进行归纳时 要先根据已知的部 分个体 把它们适当变形 找出它们之间的联系 从而归纳出一般结论 2 2 类比推理是由特殊到特殊的推理 是两类类似的对象之间的推理 其中一个对象具有某个性质 则另一个对象也具有类似的性质 在进行类比时 要充分考虑已知对象性质的推理过程 然后类比推导 类比对象的性质 例 1 2010 2010 福建高考文科福建高考文科 观察下列等式 cos2a 2 2 cos a 1 cos4a 8 4 cos a 8 2 cos a 1 cos6a 32 6 cos a 48 4 cos a 18 2 cos a 1 cos8a 128 8 cos a 256 6 cos a 160 4 cos a 32 2 cos a 1 cos10a m 10 cos a 1280 8 cos a 1120 6 cos a n 4 cos a p 2 cos a 1 可以推测 m n p 命题立意 本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解 思路点拨 根据归纳推理可得 规范解答 观察得 式子中所有项的系数和为 1 m 1280 1120np 11 mnp162 又 9 p10 550 m2512 n400 mnp962 答案 962 要点考向要点考向 2 2 演绎推理 演绎推理 2 考情聚焦 考情聚焦 1 1 近几年高考 证明题逐渐升温 而其证明主要是通过演绎推理来进行的 2 2 主要以解答题的形式呈现 属中 高档题 考向链接 考向链接 演绎推理是由一般到特殊的推理 数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的 只要采 用的演绎推理的大前提 小前提和推理形式是正确的 其结论一定是正确 一定要注意推理过程的正确 性与完备性 例例 2 2 2010 2010 浙江高考理科浙江高考理科 1414 设 11 2 2 3 23 nn nnNxx 2 012 n n aa xa xa x 将 0 k akn 的最小值记为 n T 则 2345 3355 1111 0 0 2323 n TTTTT 其中 n T 命题立意 本题考查合情推理与演绎推理的相关知识 熟练掌握相关的推理规则是关键 思路点拨 观察 n T的奇数项与偶数项的特点 规范解答 观察 n T 表达式的特点可以看出 24 0 0TT 当n为偶数时 0 n T 3 33 11 23 T 5 55 11 23 T 当n为奇数时 11 23 n nn T 答案 0 11 23 n nn n T n 当为偶数时 当为奇数时 要点考向要点考向 3 3 直接证明与间接证明 直接证明与间接证明 考情聚焦 考情聚焦 1 1 直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式 考查了学生的逻辑思维能力 近几 年高考对此部分的考查有所加强 2 2 以解答题的形式呈现 属中档题目 例例 3 3 2010 2010 北京高考文科北京高考文科 2020 已知集合 2 2 1 1 0 21 nnixxxxXXS inn 对于 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 定义 A 与 B 的差为 1122 nn ABababab A 与 B 之间的距离为 n i ii baBAd 1 当 n 5 时 设 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 AB 求AB d A B 证明 nn A B CSABS 有 且 d AC BCd A B 证明 n A B CSd A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 命题立意 本题属于创新题 考查了学生运用新知识的能力 本题情景是全新的 对学生的 学习能 力 提出了较高要求 要求教师真正的重视学生的探究性学习 更加注重学生 学习能力 创新能力 的培养 3 思路点拨 I 直接按定义证明即可 至少 问题可采用反证法证明 规范解答 0 1 1 1 0 1 00 1 0 AB 1 0 1 0 1 0 11 10 1001 0d A B 3 设 121212 nnnn Aa aaBb bbCc ccS 因为 11 0 1 a b 所以 11 0 1 1 2 abin 从而 1122 nnn ABabababS 由题意知 0 1 1 2 iii a b cin 当 0 i c 时 iiiiii acbcab 当 1 i c 时 1 1 iiiiiiii acbcabab 所以 1 n ii i d AC BCabd A B 证明 设 121212 nnnn Aa aaBb bbCc ccS d A Bk d A Cl d B Ch 记0 0 0 0 n S 由 可知 0 0 d A Bd AA BAdBAk d A Cd AA CAdCAl d B Cd BA CAh 所以 1 2 ii bain 中 1 的个数为 k 1 2 ii cain 中 1 的个数为l 设t是使 1 iiii baca 成立的i的个数 则 2hlkt 由此可知 k l h 三个数不可能都是奇数 即 d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 注 1 有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可 2 综合法和分析法是直接证明常用的两个方法 我们常用分析法寻找解决问题的突破口 然后用综合 法来写出证明过程 有时候 分析法和综合法交替使用 要点考向要点考向 4 4 数学归纳法 数学归纳法 考情聚焦 考情聚焦 1 1 新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势 望能引起足够的重视 2 以解答题的形式呈现 属中档题 4 例 4 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 2 2 log1 nn banN 证明 对任意的nN 不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解析 因为对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数的图像上 所 以得 n n Sbr 当1n 时 11 aSbr 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 n a 为等比数列 所以1r 公比为 b 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 1 22 2 log1 2 log 21 2 n nn ban 则 121 2 n n bn bn 所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn 下面用数学归纳法证明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 成立 当1n 时 左边 3 2 右边 2 因为 3 2 2 所以不等式成立 假设当nk 时不等式成立 即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 成立 则当 1nk 时 左边 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23 23 4 1 4 1 11 1 1 1 1 1 224 1 4 1 4 1 kkkk kkk kkkk 所以当1nk 时 不等式也成立 由 可得不等式恒成立 注 注 1 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式 命题关键在于 先看项 弄清等式两边的 构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与 n 的取值是否有关 由 n k 到 n k 1 时等式的两边会增 加多少项 增加怎样的项 2 在本例证明过程中 考虑 n 取第一个值的命题形式 时 需认真对待 一般情况是把第一 个值供稿通项 判断命题的真假 在由 n k 到 n k 1 的递推过程中 必须用归纳假设 不用归纳假设 的证明就不是数学归纳法 3 在用数学归纳法证明的第 2 个步骤中 突出了两个凑字 一 凑 假设 二 凑 结论 关键 5 是明确 n k 1 时证明的目标 充分考虑由 n k 到 n k 1 时 命题形式之间的区别和联系 高考真题探究高考真题探究 1 2010 2010 山东高考文科山东高考文科 观察 2 2xx 4 3 4xx cos sinxx 由归纳推理可得 若定义在R上的函数 f x满足 fxf x 记 g x为 f x的导函数 则 gx A f x B f x C g x D g x 命题立意 本题考查归纳推理的有关知识 考查了考生的观察问题 分析问题解决问题的能力 思路点拨 观察所给的结论 通过归纳类比联想 得出结论 规范解答 选 D 通过观察所给的结论可知 若 f x是偶函数 则导函数 g x是奇函数 故选 D 2 2010 2010 陕西高考理科陕西高考理科 观察下列等式 332 123 3332 1236 33332 123410 根据上述规律 第五个等式为 命题立意 本题考查归纳推理 属送分题 思路点拨 找出等式两边底数的规律是解题的关键 规范解答 由所给等式可得 等式两边的幂式指数规律明显 底数关系如下 1 23 1 236 1 23410 即左边底数的和等于右边的底数 故第五个等式为 33333322 123456 1 23456 21 答案 3333332 12345621 3 2010 2010 北京高考理科北京高考理科 2020 已知集合 2 2 1 1 0 21 nnixxxxXXS inn 对于 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 定义 A 与 B 的差为 1122 nn ABababab A 与 B 之间的距离为 n i ii baBAd 1 证明 nn A B CSABS 有 且 d AC BCd A B 证明 n A B CSd A B d A C d B C 三个数中至少有一 个是偶数 设 P n S P 中有 m m 2 个元素 记 P 中所有两元素间距离的平均值为d P 证明 d P 2 1 mn m 命题立意 本题属于创新题 考查了学生运用新知识的能力 考查了反证法 不等式证明等知识 本 题情景是全新的 对学生的 学习能力 提出了较高要求 要求教师真正的重视学生的探究性学习 更 加注重学生 学习能力 创新能力 的培养 6 思路点拨 I 直接按定义证明即可 至少 问题可采用反证法证明 把 A B P d A B 表 示出来 再利用均值不等式证明 规范解答 I 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S 因为 i a 0 1 i b 所以 0 1 ii ab 1 2 in 从而 1122 nnn ABabababS 又 1 n iiii i d AC BCacbc 由题意知 i a i b i c 0 1 1 2 in 当 0 i c 时 iiiiii a cbcab 当 1 i c 时 1 1 iiiiiiii a cbcabab 所以 1 n ii i d AC BCabd A B II 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc n S d A Bk d A Cl d B Ch 记 0 0 0 n OS 由 I 可知 d A Bd O BAk d A Cd O CAl d B Cd BA CAh 所以 1 2 ii bain 中 1 的个数为k 1 2 ii cain 中 1 的 个数为l 设t是使 1 iiii baca 成立的i的个数 则 2hlkt 由此可知 k l h 三个数不可能都是奇数 即 d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 III 2 1 A B P m d Pd A B C 其中 A B P d A B 表示P中所有两个元素间距离的总和 设P中所有元素的第i个位置的数字中共有 i t 个 1 i mt 个 0 7 则 A B P d A B 1 n ii i t mt 由于 i t i mt 2 1 2 4 m in 所以 A B P d A B 2 4 nm 从而 2 22 1 42 1 A B P mm nmmn d Pd A B CCm 方法技巧 1 证明 至少有一个 的时 一般采用反证法 2 证明不等式时要多观察形式 适当变形转化为基本不等式 4 2010 江苏高考 23 已知 ABC 的三边长都是有理数 1 求证 cosA 是有理数 2 求证 对任意正整数 n cosnA 是有理数 命题立意 本题主要考查余弦定理 数学归纳法等基础知识 考查推理论证的能力与分析问题 解决 问题的能力 思路点拨 1 利用余弦定理表示 cosA 由三边 a b c是有理数 求得结论 2 可利用数学归纳法 证明 规范解答 方法一 1 设三边长分别为 a b c 222 cos 2 bca A bc a b c是有理数 222 bca 是有理数 分母2bc为正有理数 又有理数集对于除法的具有封闭性 222 2 bca bc 必为有理数 cosA 是有理数 2 当1n 时 显然 cosA 是有理数 当2n 时 2 cos22cos1AA 因为 cosA 是有理数 cos2A也是有理数 假设当 2 nk k 时 结论成立 即 coskA cos 1 kA 均是有理数 当1nk 时 cos 1 coscossinsinkAkAAkAA 1 cos 1 coscos cos cos 2 kAkAAkAAkAA 11 cos 1 coscoscos 1 cos 1 22 kAkAAkAkA 解得 cos 1 2coscoscos 1 kAkAAkA cosA coskA cos 1 kA 均是有理数 2coscoscos 1 kAAkA 是有理数 8 cos 1 kA 是有理数 即当1nk 时 结论成立 综上所述 对于任意正整数 n cosnA 是有理数 方法二 1 由 AB BC AC 为有理数及余弦定理知 222 cos 2 ABACBC A AB AC 是有理数 2 用数学归纳法证明 cosnA 和sinsinAnA 都是有理数 当1n 时 由 1 知cos A是有理数 从而有 2 sinsin1 cosAAA 也是有理数 假设当 1 nk k 时 coskA和sinsinAkA 都是有理数 当1nk 时 由cos 1 coscossinsinkAAkAAkA sinsin 1 sin sincoscossin sinsin cos sinsin cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA 及 和归纳假设 知cos 1 kA 和sinsin 1 AkA 都是有理数 即当1nk 时 结论成立 综合 可知 对任意正整数 n cosnA 是有理数 5 20092009 江苏高考 设江苏高考 设a b 0 0 求证 求证 33 32ab 22 32a bab 解析解析 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法 考查代数式的变形能力 满分本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法 考查代数式的变形能力 满分 1010 分 分 证明 证明 33222222 32 32 3 2 32 aba babaabb baabab 因为因为a b 0 0 所以所以ab 0 0 22 32ab 0 0 从而从而 22 32 abab 0 0 即即 33 32ab 22 32a bab 6 20082008 安徽高考 设数列安徽高考 设数列 n a满足满足 3 11 0 1 nn aacac cNc 其中 为实数为实数 证明 证明 0 1 n a 对任意对任意 nN 成立的充分必要条件是成立的充分必要条件是 0 1 c 设 设 1 0 3 c 证明 证明 1 1 3 n n acnN 设 设 1 0 3 c 证明 证明 222 12 2 1 13 n aaannN c 解析解析 必要性 必要性 12 0 1aac 又 又 2 0 1 a 011c 即 即 0 1 c 充分性 设充分性 设 0 1 c 对任意 对任意 nN 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 0 1 n a 9 当当1n 时 时 1 0 01 a 假设当假设当nk 时 时 0 1 1 k ak 则 则 3 1 111 kk acaccc 且 且 3 1 110 kk acacc 1 0 1 k a 由数学归纳法知 由数学归纳法知 0 1 n a 对任意对任意 nN 成立成立 设设 1 0 3 c 当 当1n 时 时 1 0a 结论成立 结论成立 当当2n 时 时 3 1 1 nn acac 32 1111 1 1 1 1 nnnnn acacaaa 1 0 3 c 由 由 知 知 1 0 1 n a 2 11 13 nn aa 且且10 n a 211 121 13 1 3 1 3 1 3 nn nnn acacacac 1 13 n n acnN 设设 1 0 3 c 当当1n 时 时 2 1 2 02 13 a c 结论成立 结论成立 当当2n 时 由时 由 知知 1 130 n n ac 21 212 1 1 1 3 12 3 3 12 3 nnnn n acccc 2222221 122 12 3 3 3 n nn aaaaanccc 2 1 3 2 11 1313 n c nn cc 跟踪模拟训练跟踪模拟训练 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 6 6 分 共分 共 3636 分 分 1 已知p是q的充分不必要条件 则q 是p 的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 2 设 a b c 都是正数 则 1 a b 1 b c 1 c a 三个数 A 都大于 2 B 至少有一个大于 2 C 至少有一个不大于 2 D 至少有一个不小于 2 3 在 ABC中 A B C所对的边分别为 a b c 且 coscos ab AB 则 ABC一定是 10 等腰三角形 直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 4 5 已知函数 yf x 的定义域为D 若对于任意的 1212 xxD xx 都有 1212 22 xxf xf x f 则称 yf x 为D上的凹函数 由此可得下列函数中的凹函数为 2 logyx B yx C 2 yx D 3 yx 5 给定正整数 n n 2 按下图方式构成三角形数表 第一行依次写上数 1 2 3 n 在下面一行的 每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和 得到上面一行的数 比下一行少一个数 依次类推 最 后一行 第 n 行 只有一个数 例如 n 6 时数表如图所示 则当 n 2 007 时最后一行的数是 A 251 22 007 B 2 007 22 006 C 251 22 008 D 2 007 22 005 6 如图 坐标纸上的每个单元格的边长为 1 由下往上的六个点 1 2 3 4 5 6 的横 纵坐标分别 对应数列 an n N 的前 12 项 即横坐标为奇数项 纵坐标为偶数项 按如此规律下去 则 a2 009 a2 010 a2 011等于 A 1 003 B 1 005 C 1 006 D 2 011 11 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 6 6 分 共分 共 1818 分 分 7 对于等差数列 n a有如下命题 若 n a是等差数列 0 1 a ts 是互不相等的正整数 则有 011 st atas 类比此命题 给出等比数列 n b相应的一个正确命题是 8 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则 A1B1C1是 三角形 A2B2C2是 三角形 用 锐角 钝角 或 直角 填空 9 2010 汉沽模拟 在直角三角形ABC中 两直角边分别为ab 设h为斜边上的高 则 222 111 hab 由此类比 三棱锥SABC 的三个侧棱SBSCSA 两两垂直 且长分别为ab c 设棱锥底面ABC上的高为h 则 三 解答题 三 解答题 1010 1111 题每题题每题 1515 分 分 1212 题题 1616 分 共分 共 4646 分 分 10 观察下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 问 1 此表第 n 行的最后一个数是多少 2 此表第 n 行的各个数之和是多少 3 2010 是第几行的第几个数 4 是否存在 n N 使得第 n 行起的连续 10 行的所有数之和为 227 213 120 若存在 求出 n 的值 若不存在 请说明理由 11 已知数列 n a 1 1a 2 2a 3 ar 3 2 nn aa n是正整数 与数列 n b 1 1b 2 0b 3 1b 4 0b 4nn bb n是正整数 记 1 12233nnn Tbab ab ab a 1 若 12312 64aaaa 求r的值 2 求证 当n是正整数时 12 4 n Tn 3 已知0r 且存在正整数m 使得在 121m T 122m T 1212m T 中有 4 项为 100 求r的值 并 指出哪 4 项为 100 12 已知数列 n a 0 n a 0 1 a 1 2 1 2 1 Nnaaa nnn 记 nn aaaS 21 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21211n n aaaaaa T 求证 当 Nn时 1 nn aa 2 nSn 3 n T 参考答案参考答案 一 选择题 1 解析 选 反证法的原理 原命题 与 逆否命题 同真假 即 若pq 则qp 2 解析 选 D 3 解析 选 A coscos ab AB sinsin coscos AB AB tantanAB 又因为 0 A B AB 4 解析 选 C 可以根据图像直观观察 对于 C 证明如下 欲证 1212 22 xxf xf x f 即 证 2 22 1212 22 xxxx 即证 2 22 1212 22xxxx 即证 2 12 0 xx 显然 这个不等式是成 立的 且每一步可逆 故原不等式得证 5 解析 选 C 由题意知 112 7 24 48 6 23 20 5 22 故 n 行时 最后一行数为 n 1 2n 2 所以当 n 2 007 时 最后一行数为 2 008 22 005 251 22 008 二 填空题 6 解析 选 B 观察点坐标的规律可知 偶数项的值等于其序号的一半 a4n 3 n a4n 1 n 又 2 009 4 503 3 2 011 4 503 1 a2 009 503 a2 011 503 a2 010 1 005 a2 009 a2 010 a2 011 1 005 13 7 解析 这是一个从等差数列到等比数列的平行类比 等差数列中 类比到等比数列经常 是 n n 类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的 相似 相似 是类比的基础 1 1 1 1 11 1 1 1 s t s t tt s s b q b b b q 答案 若 n b是等比数列 1 1 b ts 是互不相等的正整数 则有1 1 1 t s s t b b 8 答案 锐角 钝角 9 答案 2222 1111 habc 三 解答题 10 解析 1 第 n 1 行的第 1 个数是 2n 第 n 行的最后一个数是 2n 1 2 2n 1 2n 1 1 2n 1 2 2n 1 3 22n 3 2n 2 3 210 1 024 211 2 048 1 024 2 010 2 048 2 010 在第 11 行 该行第 1 个数是 210 1 024 由 2 010 1024 1 987 知 2 010 是第 11 行的第 987 个 数 4 设第 n 行的所有数之和为 an 第 n 行起连续 10 行的所有数之和为 Sn 则 an 3 22n 3 2n 2 an 1 3 22n 1 2n 1 an 2 3 22n 1 2n an 9 3 22n 15 2n 7 Sn 3 22n 3 22n 1 22n 15 2n 2 2n 1 2n 7 22n 17 22n 3 2n 8 2n 2 n 5 时 S5 227 128 213 8 227 213 120 存在 n 5 使得第 5 行起的连续 10 行的所有数之和为 227 213 120 14 11 解析 1 12312 aaaa 12342564786rrrr