指数与指数函数

指数与指数函数指数与指数函数 1 11 1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 1 根式的概念 如果 且 那么叫做的次方根 当是 1 n xa aR xR n nN xann 奇数时 的次方根用符号表示 当是偶数时 正数的正的次方根用符号an n anan 表示 负的次方根用符号表示 0 的次方根是 0 负数没有次方根 n an n a nan 式子叫做根式 这里叫做根指数 叫做被开方数 当为奇数时 为 n anana 任意实数 当为偶数时 n0a 根式的性质 当为奇数时 当为偶数时 n n aa n nn aa n 0 0 nn aa aa aa 2 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是 且 0 的正 0 m nm n aaam nN 1 n 分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是 且 11 0 mm m nn n aam nN aa 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀 注意口诀 底数取倒数 指数取相反数 1 n 3 分数指数幂的运算性质 0 rsr s aaaar sR 0 rsrs aaar sR 0 0 rrr aba b abrR 例题精讲 例 1 求下列各式的值 1 2 3 nn 1 nnN 且 2 xy 解解 1 当 n 为奇数时 33 nn 当 n 为偶数时 3 3 3 nn 2 2 xyxy 当时 当时 xy 2 xyxy xy 2 xyyx 例 2 已知 求的值 2 21 n a 33nn nn aa aa 解解 3322 22 1 1 121 12 21 21 nnnnnn nn nnnn aaaaaa aa aaaa 例 3 化简 1 2 a 0 b 0 211511 336622 2 6 3 a ba ba b 3322 11 4 42 3 a bab b a b a 3 2 4 3 819 解解 1 原式 211115 0 32623 6 2 6 3 44ababa 2 原式 131 2 322 1 2 3 a bab abb a 113 632 27 33 a b a b a b 104 63 27 33 a b a b a b 3 原式 22121 244 4 4244 33232 3 3 3333 221111 446 336444 33 3 3 3 33 3 点评点评 根式化分数指数幂时 切记不能混淆 注意将根指数化为分母 幂指数化为分子 根 号的嵌套 化为幂的幂 正确转化和运用幂的运算性质 是复杂根式化简的关键 例 4 化简与求值 1 2 64 264 2 1111 1335572121nn 解解 1 原式 2222 2222 2 2222 2 4 22 22 22 2222 2 原式 3153752121 3 15375 21 21 nn nn 1 3153752121 2 nn 1 211 2 n 练习 1 21 2 指数函数及其性质指数函数及其性质 4 指数函数 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 0 x yaa 1 a 1a 01a 图象 定义 域 R 值域 0 过定 点 图象过定点 即当时 0 1 0 x 1y 奇偶 性 非奇非偶 单调 性 在上是增函数R在上是减函数R 函数 值的 变化 情况 1 0 1 0 1 0 x x x ax ax ax 1 0 1 0 1 0 x x x ax ax ax 变化对a 图象的 影响 在第一象限内 越大图象越高 在第二象限内 越大图象越低 aa x ay x y 0 1 O 1y x ay x y 0 1 O 1y 例题精讲 题型一 求函数的定义域题型一 求函数的定义域 例 1 求下列函数的定义域 1 2 3 1 3 2 x y 5 1 3 x y 10100 10100 x x y 解解 1 要使有意义 其中自变量 x 需满足 即 其定义域为 1 3 2 x y 30 x 3x 3 x x 2 要使有意义 其中自变量 x 需满足 即 其定义域为 5 1 3 x y 50 x 5x 5 x x 3 要使有意义 其中自变量 x 需满足 即 其定义域 10100 10100 x x y 101000 x 2x 为 2 x x 题型二 求函数的值域题型二 求函数的值域 例 2 求下列函数的值域 1 2 2 31 1 3 x y 421 xx y 解解 1 观察易知 则有 原函数的值域为 2 0 31x 2 0 31 11 1 33 x y 0 1 y yy 且 2 令 易知 则 2 421 2 21 xxxx y 2xt 0t 22 13 1 24 yttt 结合二次函数的图象 由其对称轴观察得到在上为增函数 2 13 24 yt 0t 所以 原函数的值域为 22 1313 0 1 2424 yt 1 y y 例 3 函数的图象如图 其中 a b 为常数 则下列结论正确的是 x b f xa A B 1 0ab 1 0ab C D 01 0ab 01 0ab 解解 从曲线的变化趋势 可以得到函数为减函数 从而 0 a0 即 b 0 所以选 D 点评点评 观察图象变化趋势 得到函数的单调性 结合指数函数的单调性 得 到参数 a 的范围 根据所给函数式的平移变换规律 得到参数 b 的范围 也可以取 x 1 时的特殊 点 得到 从而 b 0 0 1 b aa 例 4 已知函数 2 3 0 1 x f xaaa 且 1 求该函数的图象恒过的定点坐标 2 指出该函数的单调性 解解 1 当 即时 230 x 2 3 x 2 30 1 x aa 所以 该函数的图象恒过定点 2 1 3 2 是减函数 23ux 当时 在 R 上是增函数 当时 在 R 上是减函数 01a f x1a f x 例 5 按从小到大的顺序排列下列各数 2 3 2 0 3 2 2 2 0 2 解解 构造四个指数函数 分别为 它们在第3xy 0 3xy 2xy 0 2xy 一象限内 图象由下至上 依次是 如右图所示 0 2xy 0 3xy 2xy 3xy 由于 所以从小到大依次排列是 20 x 2 0 2 2 0 3 2 2 2 3 点评点评 利用指数函数图象的分步规律 巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题 当然 我 们在后面的学习中 可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小 例 6 已知 1 讨论的奇偶性 2 讨论的单调性 21 21 x x f x f x f x 解解 1 的定义域为 R f x 21 21 21221 21 21 21221 xxxxx xxxxx fxf x A A 为奇函数 f x 2 设任意 且 则 12 x xR 12 xx 1212 1212 12 21212 22 2121 21 21 xxxx xxxx f xf x 由于 从而 即 12 xx 12 22 xx 12 220 xx 即 为增函数 12 0f xf x 12 f xf x f x 点评点评 在这里 奇偶性与单调性的判别 都是直接利用知识的定义来解决 需要我们理解两 个定义 掌握其运用的基本模式 并能熟练的进行代数变形 得到理想中的结果 例 7 求下列函数的单调区间 1 2 2 23xx ya 1 0 21 x y 解解 1 设 2 23 u yauxx 由知 在上为减函数 在上为增函数 22 23 1 4uxxx u 1 1 根据的单调性 当时 y 关于 u 为增函数 当时 y 关于 u 为减函数 u ya 1a 01a 当时 原函数的增区间为 减区间为 1a 1 1 当时 原函数的增区间为 减区间为 01a 1 1 2 函数的定义域为 设 易知为减函数 0 x x 1 0 2 1 x yu u 0 2xu 而根据的图象可以得到 在区间与上 y 关于 u 均为减函数 1 1 y u 1 1 在上 原函数为增函数 在上 原函数也为增函数 0 0 题型 指数函数相关的函数图像 例题一 函数的图象大致是 3 31 x x y 题型二 指数函数性质的应用 练习 例例 1 若 若 求 求 的取值范围 的取值范围 231 xx aa 1 0 aa且x 考点 指数函数单调性考点 指数函数单调性 解 当时 函数在上是增函数1 a x ay R 231 xx aa 231 xx 2 1 x 当 时 函数在上是 函数 x ay R 综上 当时 当时 1 a 2 1 x10 a 变式训练变式训练 1 若 若 求 求 的取值范围 的取值范围 231 22 xx x 解 函数在上是增函数 x y2 R 故的取值范围是 x 变式训练变式训练 2 若 若 求 求 的取值范围 的取值范围 231 2 02 0 xx x 变式训练变式训练 3 若 若 求 求 的取值范围 的取值范围 22 1 x x 1 22 变式训练变式训练 4 若 若 求 求 的取值范围 的取值范围 12 0 1 x x 例例 4 若函数 若函数 当 当时 时 x ay 1 0 aa且0 x10 y 求 求 的取值范围 的取值范围 由图像求解 由图像求解 a 变式训练变式训练 1 若函数 若函数 当 当时 时 x ay 12