2019-2020学年高中物理 第5章 万有引力定律及其应用 习题课 万有引力定律及其应用学案 鲁科版必修2

1 习题课习题课 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用 学生用书 p80 一 公式推论 1 万有引力公式 f g g 6 67 10 11 m3 kg s2 mm r2 2 黄金代换 公式 gm gr2 3 万有引力充当向心力公式 m m 2r m r ma gmm r2 v2 r 4 2 t2 4 天体质量的估算 1 已知环绕天体的周期t 轨道半径r可得中心天体质量 mr m gmm r2 4 2 t2 4 2r3 gt2 2 已知中心天体半径r及表面重力加速度g可得中心天体质量 mg m gmm r2 gr2 g 5 天体密度的估算 1 利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度 由mg g和m r3 得 其中g为天体表面的重力加速度 r为 mm r2 4 3 3g 4 gr 天体半径 2 利用天体的卫星来求天体的自身密度 设卫星绕天体运动的轨道半径为r 周期为t 天体半径为r 则可列出方程g mr mm r2 m r3 4 2 t2 4 3 得 m 4 3 r3 4 2r3 gt2 4 3 r3 3 r3 gt2r3 3 当天体的卫星环绕天体表面运动时 其轨道半径r等于天体半径r 则天体密度 3 gt2 二 天体运动的分析技巧 1 建立模型 不论是自然天体 如地球 月球等 还是人造天体 如卫星 飞船等 只 要它们是在绕某一中心天体做圆周运动 就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型 2 2 列方程求解 根据中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力 列出合适的向心力 表达式进行求解 f向 f万 ma g m mr 2 mr mm r2 v2 r 4 2 t2 学生用书 p80 卫星的运动规律及其应用 如图所示 a b c是大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星 a b质量相同 且小于c的质量 下列说法中正确的是 a b c的线速度大小相等且大于a的线速度 b b c的向心加速度不相等且均小于a的向心加速度 c b c的周期相等且大于a的周期 d b c的向心力相等且大于a的向心力 解析 a b c三颗人造地球卫星做圆周运动所需的向心力都是由地球对它们的万 有引力提供 由牛顿第二定律得g m mr ma m为地球的质量 m为卫星的质量 mm r2 v2 r 4 2 t2 所以v 与卫星质量无关 由题图知rb rc ra 则vb vcra 得ab acra得tb tc ta c 正确 f向 g 与质量m和半径r有关 由 mm r2 m r2 ma mbra知 即f向a f向b 即f向btb tc b 三者向心加速度的大小关系为aa ab ac c 三者角速度的大小关系为 a c b d 三者线速度的大小关系为va vc vb 解析 选 d 卫星c为同步卫星 周期与a物体周期相等 故 a 错误 a c比较 角速 度相等 由a 2r可知 aa ac 故 b 错误 卫星c与a物体周期相等 角速度也相等 因而 c 错误 a c比较 角速度相等 由v r 可知va vc b c比较 同为卫星 由 人造卫星的速度公式v 可知vc vb 因而va vc vb 故 d 正确 gm r 卫星变轨问题 多选 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分 西昌卫星发射中心用 长征三号乙 运 载火箭成功将 嫦娥三号 探测器发射升空 卫星由地面发射后 进入地月转移轨道 经 过p点时变轨进入距离月球表面 100 千米的圆形轨道 在轨道 上经过q点时变轨进入 椭圆轨道 轨道 与月球相切于m点 玉兔号 月球车将在m点着陆月球表面 如图所 示 下列的说法正确的是 a 嫦娥三号 在轨道 上的运动速度比月球的第一宇宙速度小 b 嫦娥三号 在地月转移轨道上经过p点的速度比在轨道 上经过p点时大 c 嫦娥三号 在轨道 上运动周期比在轨道 上短 d 嫦娥三号 在轨道 上经过q点时的加速度小于在轨道 上经过q点时的加速度 解析 月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度 嫦娥三号 在轨道 上的半径大于月球半径 根据g m 得线速度v 可知 嫦娥三号 mm r2 v2 r gm r 在轨道 上的运动速度比月球的第一宇宙速度小 故 a 正确 嫦娥三号 在轨道 上经 过p点若要进入轨道 需减速 故 b 正确 根据开普勒第三定律得卫星在轨道 上运动轨 道的半长轴比在轨道 上的轨道半径小 所以卫星在轨道 上的运动周期比在轨道 上短 故 c 正确 嫦娥三号 无论在哪个轨道上经过q点时的加速度都为该点的万有引力加速 度 故万有引力在此点产生的加速度相等 故 d 错误 答案 abc 5 卫星变轨问题的几点注意 1 当卫星由于某种原因速度改变时 万有引力不再等于向心力 卫星将做变轨运行 当卫星的速度突然增加时 gm 即万有引力大于所需要的向心力 卫星将做近 mm r2 v2 r 心运动 卫星的回收就是利用这一原理 2 卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时 卫星受到的万有引力相同 所以加速度相 同 3 飞船对接问题 两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上 目标船处于较高轨 道 在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速 做离心运动而追上目标船与其完成对 接 3 如图所示 在发射地球同步卫星的过程中 卫星首先进入椭圆轨 道 然后在q点通过改变卫星速度 让卫星进入地球同步轨道 则 a 该卫星的发射速度必定大于 11 2 km s b 卫星在同步轨道 上的运行速度大于 7 9 km s c 在轨道 上 卫星在p点的速度小于在q点的速度 d 卫星在q点通过加速实现由轨道 进入轨道 解析 选 d 11 2 km s 是第二宇宙速度 若大于此值就会飞出地球引力范围了 故选 项 a 错 7 9 km s 是最大环绕速度 在轨道 上运动时的速度一定小于 7 9 km s 所以选 项 b 错 从p到q的运动中引力做负功 动能减小 所以选项 c 错 从椭圆轨道 到同步 轨道 卫星在q点是做逐渐远离圆心的运动 要实现这个运动卫星所需向心力大于万有 引力 所以应给卫星加速 增加所需的向心力 所以卫星在q点通过加速实现由轨道 进 入轨道 故选项 d 正确 学生用书 p81 1 多选 如图所示 飞船从轨道 1 变轨至轨道 2 若飞船在两轨道上都做匀速圆周运 动 不考虑质量变化 相对于在轨道 1 上 飞船在轨道 2 上的 6 a 动能大 b 向心加速度大 c 运行周期长 d 角速度小 解析 选 cd 飞船绕中心天体做匀速圆周运动 万有引力提供向心力 即f引 f向 所以 ma向 mr 2 即a向 ek mv2 t gmm r2 mv2 r 4 2mr t2 gm r2 1 2 gmm 2r 4 2r3 gm 因为r1ek2 a向 1 a向 2 t1 2 选项 gm r3 或用公式t 2 求解 c d 正确 2 北斗 卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星 同步卫星 中轨道卫星和倾斜同 步卫星组成 地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行 它们距地面的高度分别 约为地球半径的 6 倍和 3 4 倍 下列说法正确的是 a 静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的 2 倍 b 静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的 2 倍 c 静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的 1 7 d 静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的 1 7 解析 选 a 根据g mr 可得t 2 代入数据 a 正确 根据 mm r2 4 2 t2 r3 gm g m 可得v 代入数据 b 错误 根据g m 2r 可得 代入数据 mm r2 v2 r gm r mm r2 gm r3 c 错误 根据g ma 可得a 代入数据 d 错误 mm r2 gm r2 3 多选 北斗 导航系统中两颗工作卫星均绕地球做匀速圆周运动 轨道半径均为 r 如图所示 某时刻两颗工作卫星分别位于同一轨道上的a b位置 若卫星均顺时针运行 地球表面处的重力加速度为g 地球半径为r 则下列说法中正确的是 7 a 这两颗卫星的加速度大小均为 r2g r2 b 卫星甲向后喷气就一定能追上卫星乙 c 卫星甲由位置a运动到位置b所需的时间为 3r r3 g d 该时刻 这两颗卫星的线速度相同 解析 选 ac 设地球的质量为m 地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力 得g ma 在地球表面 物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力 则g mg mm r2 mm r2 由以上两式解得两卫星的加速度a 选项 a 正确 卫星甲向后喷气后 其速度变大 r2g r2 地球对卫星甲的万有引力不足以提供其做圆周运动的向心力 卫星甲将做离心运动 不可 能追上卫星乙 选项 b 错误 由a 2r 解得t 卫星甲由位置a运动 4 2r t2 2 r r3 g 到位置b所需时间t t 选项 c 正确 因两颗卫星在同一轨道上运行 线速 60 360 3r r3 g 度大小相等 但方向不同 选项 d 错误 4 两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆周运动 已知它们的轨道半径之比 r1 r2 4 1 求这两颗卫星的 1 线速度大小之比 2 角速度之比 3 向心加速度大小之比 解析 1 地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力 设地球的质 量为m 两卫星的质量分别为m1 m2 线速度大小分别为v1 v2 由牛顿第二定律得 可得 v1 v2 r2 r1 1 4 1 2 2 由角速度与线速度的关系 得两卫星的角速度分别为 v r error 可得 1 2 v1r2 v2r1 1 2 1 4 1 8 3 由向心加速度的公式a r 2 得两卫星的向心加速度大小分别为 可得 4 a1 a2 1 8 2 1 16 答案 1 1 2 2 1 8 3 1 16 5 某载人航天飞船在探月过程中 1 若已知地球半径为r 地球表面重力加速度为g 月球绕地球近似做匀速圆周运动 的周期为t 求月球绕地球运动的轨道半径r 8 2 若航天员在登月飞船到达月球后 在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小 球 经过时间t 小球落回抛出点 已知月球半径为r月 引力常量为g 请求出月球的质 量m月 3 若飞船开始在离月球表面高h处绕月球做匀速圆周运动 试求该飞船绕月球运行的 周期t 解析 1 根据万有引力定律和牛顿第