神奇的旋转几何题

BCE A D E A B CD 例 1 有公共顶点 C 的 ABC 和 CDE 都是等边三角形 MN E A CBD A E D B C 1 求证 AD BE 2 如果将 CDE 绕点 C 沿顺时针方向旋转一个任意角 AD BE 还成立吗 推广 四边形 ABDE 和 ACFG 都是正方形 连结 EC BG 如果将 ABDE 绕点 A 旋转一个任意角 问 EC 与 BG 有何关系 例 2 课本例题推广 1 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD BAD BCD 90 且四边形 ABCD 的面积 36 求线段 BC 与 CD 的和 2 已知 在五边形 ABCDE 中 AB AE BC DE CD ABC AED 180 求证 AD 是 CDE 的平分线 3 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 且 BC AD D 90 BC CD 12 ABE 45 若 AE 10 求 CE 的长 G F E D A B C E C D B A 例 3 已知 E F 分别在正方形 ABCD 边 AB 和 BC 上 AB 1 EDF 45 求 BEF 的 周长 例 4 已知 在 ACB 中 ACB 90 AC BC D E 在 AB 边上 且使得 DCE 45 求证 AD DE EB 三条线段确定的数量关系 练习 1 在 ABC 中 AB AC 如图 BAC 90 DAE 45 BD 2 CE 3 求 DE 的长 拓展 如图 在等腰三角形 ABC 中 AB AC 1 P 是三角形内的一点 且 APB APC 求证 PB PC 2 D 是三角形内一点 若 ADB ADC 求证 DBC DCB 3 若 P 为正方形 ABCD 内一点 PA PB PC 1 2 3 试证 APB 135 P C B A D C B A 3 2 1 P D C B A F E D CB A 2 正方形中的三角形旋转 已知 如图 E 是正方形 ABCD 边 BC 上任意一点 AF 平分 EAD 交 CD 于 F 试说明 BE DF AE AD B FC E M E B C A D ED C B A 拓展 已知 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上的点 1 如图 1 若有 BE DF EF 求 EAF 的度数 2 如图 2 若有 EAF 45 求证 BE DF EF 3 如图 3 若 EAF 45 AH EF 求证 AH AB 4 如图 4 若正方形 ABCD 边长为 1 CEF 的周长为 2 求 EAF 的大小 5 如图 5 若 AB 3 且 BAE 30 DAF 15 求 AEF 的面积 6 如图 6 正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF GH 分割成 4 个小矩形 P 是 EF 与 GH 的交点 若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍 试确定 HAF 的大小 写出推导的过程 F E D CB A F E D CB A H F E D CB A 1 2 3 F E D CB A F E B DA C P GH F ED CB A 4 5 练习 答案 1 在 ABC 中 AB AC 如图 BAC 90 DAE 45 BD 2 CE 3 求 DE 的长 ED C B A 拓展 如图 在等腰三角形 ABC 中 AB AC 1 P 是三角形内的一点 且 APB APC 求证 PB PC 2 D 是三角形内一点 若 ADB ADC 求证 DBC DCB P C B A D C B A E D C B A 分析 将 ABC 以 A 为中心逆时针旋转一角度 BAC 到 ACE 的位置 连 DE 由 ADB ADC 得 AEC ADC 又 ADE AED 相减 得 DEC EDC CD CE 即 CD BD 从而 DBC DCB 拓展 3 若 P 为正方形 ABCD 内一点 PA PB PC 1 2 3 试证 APB 135 3 2 1 P D C B A 3 2 1 E P D C B A 分析 利用正方形的特点设法经过旋转使 AP PB PC 相对集中 为简单起见不妨设 PA 1 PB 2 PC 3 绕 B 点顺时针旋转 90 使 CBP 到 ABE 的位置 这时 BE 2 AE 3 PBE 90 PE 22 BPE 45 又 222 981AEPEAP APE 90 于是 APB 135 拓展 4 在等边三角形内有一点 P 连接 P 与各顶点的三条线段的长为 3 4 5 求正三角形的边长 答案 31325 P C BA D P P C BA 分析 将 CPB 旋转到 AP B 连接 PP 延长 BP 过 A 作 AD BD 易知 APP 是直角三角形 因为 BPP 60 所以 APD 30 则 AD 2 DP 32 旋转讲解 2 例 1 05 大连 如图 1 操作 把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上 CG BC 取线段AE的中点M 1 探究 线段MD MF的关系 并加以证明 2 在你经历说明 1 的过程后 可以从下列 中选取一个补充或更换已知条件 完成你的 证明 DM的延长线交CE于点N 且AD NE 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转 45 如图 2 其他条 件不变 在 的条件下 且CE 2AD 3 将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后 如图 3 其他条件不变 探究 线段MD MF的关系 并加以证明 A B C D F M G E A B C D F M G E A B C F M G E 图 1图 练 1 08 北京 请阅读下列材料 问题 如图 1 在菱形ABCD和菱形BEFG中 点A B E在同一条 直线上 P是线段DF的中点 连结PG PC 若 ABC BEF 60 探究PG与PC的位置关系及的值 PG PC 小聪同学的思路是 延长GP交DC于点H 构造全等三角形 经 过推理使问题得到解决 请参考小聪同学的思路 探究并解决下列问题 1 写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值 PG PC 2 将图 1 中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转 使菱形BEFG的对角 线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上 原问题中的其他条件 不变 如图 2 你在 1 中得到的两个结论是否发生变化 写出你的 猜想并加以证明 3 若图 1 中 ABC BEF 0 90 将菱形BEFG2 绕点B顺时针旋转任意角度 原问题中的其他条件不变 请你直接写 出的值 用含的式子表示 PG PC 例 2 在平面直角坐标系xOy中 已知直线y x 交x轴于点C 交y轴于点A 等腰直角三角 3 3 3 32 板OBD的顶点D与点C重合 如图 1 所示 把三角板绕着点O顺时针旋转 旋转角度为 使B点恰好落在AC上的B 处 如图 2 所示 1800 1 求图 1 中的点B的坐标 2 求的值 3 若二次函数y Mx2 3x的图象经过 1 中的点B 判断点B 是否在这条抛物线上 并说明理由 图 图 1 图 9 图 10 图 11 图 8 图 1 图 2 练 1 如图 9 若 ABC和 ADE为等边三角形 M N 分别 EB CD 的中点 易证 CD BE AMN 是等边三角形 1 当把 ADE绕 A 点旋转到图 10 的位置时 CD BE 是否仍然成立 若成立请证明 若不成立请说明 理由 2 当 ADE绕 A 点旋转到图 11 的位置时 AMN是否还是等边三角形 若是 请给出证明 并求出 当 AB 2AD 时 ADE与 ABC及 AMN的面积之比 若不是 请说明理由 2 已知正方形ABCD中 E为对角线BD上一点 过E点作EF BD交BC于F 连接DF G为DF中点 连 接EG CG 1 求证 EG CG 2 将图 中 BEF绕B点逆时针旋转 45 如图 所示 取DF中点G 连接EG CG 问 1 中的结 论是否仍然成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 3 将图 中 BEF绕B点旋转任意角度 如图 所示 再连接相应的线段 问 1 中的结论是否仍然 成立 通过观察你还能得出什么结论 均不要求证明 FB AD C E G 图 F B AD C E G 图 D F B A C E 图 答案 练 1 08 北京 请阅读下列材料 问题 如图 1 在菱形ABCD和菱形BEFG中 点A B E在同一条 直线上 P是线段DF的中点 连结PG PC 若 ABC BEF 60 探究PG与PC的位置关系及的值 PG PC 小聪同学的思路是 延长GP交DC于点H 构造全等三角形 经 过推理使问题得到解决 请参考小聪同学的思路 探究并解决下列问题 1 写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值 PG PC 2 将图 1 中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转 使菱形BEFG的对角 线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上 原问题中的其他条件 不变 如图 2 你在 1 中得到的两个结论是否发生变化 写出你的 猜想并加以证明 3 若图 1 中 ABC BEF 0 90 将菱形BEFG2 绕点B顺时针旋转任意角度 原问题中的其他条件不变 请你直接写 出的值 用含的式子表示 PG PC 解答 1 线段PG与PC的位置关系是PG PC 3 PG PC 2 猜想 1 中的结论没有发生变化 证明 如图 延长GP交AD于点H 连结CH CG P是线段DF的中点 FP DP 由题意可知 AD FG GFP HDP GPF HPD GFP HDP GP HP GF HD 四边形ABCD是菱形 CD CB HDC ABC 60 由 ABC BEF 60 且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条 直线上 可得 GBC 60 HDC GBC 四边形BEFG是菱形 GF GB HD GB HDC GBC CH CG DCH BCG DCH HCB BCG HCB 120 即 HCG 120 CH CG PH PG PG PC GCP HCP 60 3 PG PC 3 tan 90 PG PC 图 1 6 2007 海淀二模 在平面直角坐标系xOy中 已知直线y x 交x轴于点C 交y轴于 3 3 3 32 点A 等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合 如图 1 所示 把三角板绕着点O顺时针旋转 旋转角度为 使B点恰好落在AC上的B 处 如图 2 所示 1800 4 求图 1 中的点B的坐标 5 求的值 6 若二次函数y Mx2 3x的图象经过 1 中的点B 判断点B 是否在这条抛物线上 并说明理由 图 1 图 2 解 1 直线y x 交x轴于点C 交y轴于点A 点A的坐标为 点C的坐 3 3 3 32 3 32 标为 2 0 等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合 OD 过点B作BM OC 45BOD 于M OM BM 1 OB 点B的坐标为 1 2 1 OD2 2 OA OC 2 ACO 30 过点O作OE AC于E OE 1 3 32 90AOC 在 Rt B EO中 OB OE 1 B OE 45 EOD 90 又2 EOC 60 COD 30 30 3 判断 点B 在这条抛物线上 点B 在直线AC上 点B 的坐标为 A A A2 A 2 OB 2 A2 A 2 3 3 3 32 3 3 3 32 3 3 3 32 2 解方程 得A1 A2 不合题意 舍去 点B 的坐标为 2 2 31 2 31 2 31 2 13 又 二次函数y Mx2 3x过 M 二次函数的解析式为y 2x2 3x 把x 代入y 2x2 3x 得y 点 在这条抛物线上 2 31 2 13 20 2009 年常德市 如图 9 若 ABC和 ADE为等边三角形 M N 分别 EB CD 的中点 易证 CD BE AMN是等边 图 9 图 10 图 11 图 8 三角形 1 当把 ADE绕 A 点旋转到图 10 的位置时 CD BE 是否仍然成立 若成立请证明 若不成立请说明 理由 2 当 ADE绕 A 点旋转到图 11 的位置时 AMN是否还是等边三角形 若是 请给出证明 并求出 当 AB 2AD 时 ADE与 ABC及 AMN的面积之比 若不是 请说明理由 提示 1 抓住不变量易解 2 能证得 ADC 与 AEB 是直角三角形 再用勾股定理和相似三角形的性质求解 21 2009 东营 已知正方形ABCD中 E为对角线BD上一 点 过E点作EF BD交BC于F 连接 DF G为DF中点 连接EG CG 1 求证 EG CG 2 将图 中 BEF绕B点逆时针旋转 45