数与式中考复习建议剖析

数与式 专题中考复习几点建议 数与式在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位 有着重要的教育价值 数与式 主要包括数与式的有关概念和运算 以及用数或式表示各种情境中的数量关系 它们是初 中数学中最为基础的内容 从知识角度来看 这部分内容极为突出地体现着其基础性与核 心性 从技能角度看 这部分内容体现着其结果的确定性和操作的灵活性 从其功能的角 度看 这部分知识有着极为广泛的应用性和工具性 因此是中考命题的热点问题 纵观这 几年的中考题 年年都考 在中考试卷中也大都以容易题和中档题的形式出现 一 内容特点分析一 内容特点分析 1 1 自身的结构特点 自身的结构特点 这部分知识的自身结构特点概括地说有以下三个方面 数 和 式 的本质意义都是用来表示数量和数量关系的 教材中 数 是沿着由 算术数 到有理数再到实数这样的系列扩展的 相应地 式 是沿着由整式到有理式 引入分式 再到根式这样的系列扩展的 而两个系列之间 由于 用字母表示数 的生成过程是由 特殊 向 一般 发展 这便使两个系列之间具 有良好的类比关系 数和式的有关运算构成了这部分知识的核心内容 由于数和式是两个逐步扩张的知识 系列 所以相关概念就比较多 其间的转化关系也比较多 其层层递进并形成新知识的逻 辑思维过程也大量蕴涵其中 对培养能力有重要的价值 2 2 在初中数学中的地位 在初中数学中的地位 数与式 在初中数学中的地位主要体现在它的基础性和广泛的应用性上 从内容构成来看 数与式 不仅是方程 组 不等式 组 函数等知识表达和运算 的基础 而且也是许多图形问题中有关数量表达与计算的基础 从数学思想方法的角度来看 这部分知识所蕴含的思想方法对后继知识的学习具有十 分重要的作用 如 转化的思想 分类讨论的思想 数形结合的思想 类比思想等对方程 不等式 函数的研究 以及几何和概率等内容的学习具有重要的指导意义 此外 数与式 这部分内容中所渗透的 数感 和 符号感 也是理解方程和函数意义的本质及进行相关 运用的基础 二二 数与式数与式 的中考内容要求 的中考内容要求 中考复习的依据 新课程标准 考试说明 兼顾教材 特别是考试说明依据新课标又从全面复习的角度 重新解读了新课标和教材 考试说明中 将 数与式 的内容从基本要求 略高要求 较高要求三个层面上进行了知识和技能 过 程和方法 情感价值观三个维度的具体目标的解读 三 三 数与式数与式 的考点题型分析 的考点题型分析 随着对 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 新课标理解的进一步深入 2012 年各地中考试卷关于 数与式 的考法更加注意体现这部分内容的结构特点 具体可 归结为如下的几个方面 1 1 考查对数与式基本概念的理解 考查对数与式基本概念的理解 例 1 2011 陕西 的相反数是 A B C D 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 例 2 2012 贵州 数字 中是无理数的有 2 3 1 3 8 0 45cos23 0 个 A 1B 2C 3D 4 例 3 2012 湖北 若与互为相反数 则 的值为 92 yx3 yxyx A 3 B 9 C 12 D 27 例 4 2012 北京 首届中国 北京 国际服务贸易交易会 京交会 于 2012 年 6 月 1 日闭幕 本届京交会期间签订的项目成交总金额达 60 110 000 000 美元 将 60 110 000 000 用科 学记数法表示应为 A B C D 9 10011 6 9 1011 60 10 10011 6 11 106011 0 例 1 考查是否真正理解了相反数的概念 例 2 考查无理数的概念 特殊角的三角函数值 例 3 考查了 绝对值 和 平方数 的非负性质 以及绝对值的意义和 相反数 的意 义 例 4 考查了科学记数法 四道题目均有助于提高试卷的效度和可推广性 考法评析 突现所考知识的 基础性 及其基本的认知要求 是四道题目的共同特点 2 2 考查对数与式有关性质的掌握 考查对数与式有关性质的掌握 例 1 2012 湖南 实数 在数轴上的位置如图所示 下列各式正确的是 ab A B C D 0 ba0 ab0 ba0 ba 例 2 2012 贵州 若分式无意义 则的值为 1 1 x x x 例 3 2012 湖北 已知 则的取值范围是 a a a a 11 2 a A B C D 0 a0 a10 a0 a 例 1 考查实数与数轴 不等式的性质 绝对值 例 2 考查分式在什么情况下无意义以及绝 对值的意义 例 3 考查平方根的意义和性质 考法评析 三道题目都围绕着基本性质 构题简明 目标明确 具有较好的效度 3 3 考查对数与式运算法则的掌握 考查对数与式运算法则的掌握 例 1 2012 福州 下列计算正确的是 A B C D aaa2 3 b 33 2bb 33 aaa 725 aa 例 2 2012 湛江 下列运算中 正确的是 A B C D 23 22 aa 532 aa 3 a 96 aa 422 2 2 aa 例 3 2012 杭州 下列计算正确的是 A B 2353 p qp q 252 12 6 2a b cabab C D 22 3 31 3mmmm 21 4 4xx xx 考法评析 数 式的运算法则是极为重要的基础知识 有必要进行针对性的考查 本例的 三道题目以不同的方式考查了掌握运算法则和运算性质的情况 同底数幂的乘法和除法 合并同类项 幂的乘方与积的乘方 这样的题目有着较好的效度 4 4 考查数与式的运算及变形的技能 考查数与式的运算及变形的技能 例 1 2012 南昌 已知 则 8 2 nm2 2 nm 22 nm A 10B 6C 5 D 3 例 2 2012 北京 分解因式 mmnmn96 2 例 3 2012 广东 已知 求代数式的值 3 a2 b ba baba ba 22 211 例 4 2010 常州 若实数满足 则 a 2 21aa 542 2 aa 例 1 考查乘法公式的变形拓广应用 例 2 考查会用提公因式法和公式法对代数式进行变形后因式分解 例 3 考查用因式分解法将分式运算化简变形后再代入求值 例 4 考查对代数式进行变形 再用整体代入思想简化运算 求出代数式的值 考法评析 掌握数与式的运算及变形技能 是学习数与式的重要目的之一 也是提高运算 能力的重要基础 这样的题目既有对运算规范的要求 也有对运算灵活运用的要求 具有 较好的效度和可推广性 5 5 考查数与式基本的列式能力 考查数与式基本的列式能力 例 1 2012 宜昌 根据 国家中长期教育改革和发展规划纲要 教育经费投入应占当年 GDP 的 4 若设 2012 年 GDP 的总值为 n 亿元 则 2012 年教育经费投入可表示 亿 元 A B C D n 4n 41 n 41n 4 例 2 2012 安徽 某企业今年 3 月份产值为万元 4 月份比 3 月份减少了 10 5 月份a 比 4 月份增加了 15 则 5 月份的产值是 万元 A B 15 10 aa 151 101 a C D 15 10 a 15 101 a 例 1 和 2 体现了代数式的抽象性 在某种程度上也是数学抽象性的表现 这样的试题针对 性强 突出了列代数式的重要性 试题有较好的效度和可推广性 考法评析 列出代数式表达各种情景中的数量及数量关系 是学习 数与式 极为重要的 目的 以上两题所考查的就是这个目的所对应的列式能力 6 6 借助图形 考查数与式数形结合的能力 借助图形 考查数与式数形结合的能力 例 1 2011 芜湖 从边长为cm 的正方形纸片中剪去一个边长为cm 的正方形 4 a 1 a 剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形 不重叠无缝隙 则矩形的面积为 0 a A B C D 22 25 aa cm 2 315 acm 2 69 acm 2 615 acm 例例 2 2 20122012 柳州 柳州 如图 给出了正方形ABCD的面积的四个表达式 其中错误的是 A B 2 xa 22 2xaax C D 2 xa xa axa x 考法评析 像这样的试题 以式的建立和表达为基础 把图形直观和其中蕴含的数量关 系与式的表达有机地结合起来 考查考生运用代数与几何的相关知识解决问题 因此 这 样的题目 既突出了对数形结合思想的考查 又突出了对分析问题与解决问题能力的考 查 7 7 借助数与式发现规律 考查归纳的能力 借助数与式发现规律 考查归纳的能力 例 1 2012 重庆 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成 其中第 个图形 一共有 2 个五角星 第 个图形一共有 8 个五角星 第 个图形一共有 18 个五角星 则第 个图形中五角星的个数为 A 50 B 64 C 68 D 72 分析 先根据题意求找出其中的规律 即可求出第 个图形中五角星的个数 解答 第 个图形一共有 2 个五角星 第 个图形一共有 2 3 2 8 个五角星 第 个图形一共有 8 5 2 18 个五角星 第 n 个图形一共有 1 2 3 2 5 2 7 2 2 2n 1 2 1 3 5 2n 1 2 2n 则第 6 个图形一共有 2 62 72 个五角星 考法评析 考查了图形变化规律的问题 把五角星分成三部分进行考虑 并找出第个图n 形五角星的个数的表达式是解题的关键 例 2012 盐城 已知整数满足下列条件 1234 a a a a 1 0a 21 1aa 依次类推 则的值为 32 2aa 43 3aa 2012 a A 1005 B 1006 C 1007 D 2012 分析 根据条件求出前几个数的值 再分是奇数时 结果等于 n 1 2 n 是偶数时 结果等于 然后把的值代入进行计算即可得解 n 2 n n 2012 2012 1006 2 a 考法评析 本题是对数字变化规律的考查 根据所求出的数 观察出 n 为奇数与偶数时的 结果的变化规律是解题的关键 四 四 数与式数与式 考点的再思考考点的再思考 1 1 准确与灵活是 准确与灵活是 运算运算 之本 之本 灵活运用运算法则 运算律和运算性质 对以下几道中考试题 我们给出新的解法 请同学们感悟 灵活 的意义和作用 例 1 化简 1 22 xy xyxy xx 解 原式 11 22 xyx y xxxyxy A A 11 11 22xx 先把除法转换成乘法 再用分配律 例 2 计算 2 2 14 222 aa aaaa A A 解 原式 2 11 4 2 2 a a a aa A A 1 1 a 先从括号内提出 公因式 而后约分 1 2a 以上两题是中考题 也都是较容易的题 从每一道题的解法可以看出 越是能适时而恰当 运用 运算律 公式 性质 等 则越可使运算步骤减少 过程简化 所以 越是 善于将算法 算律 公式 性质联合运用 越能提高运算的准确性和过程的简约性 2 2 深入把握深入把握 数数 式式 的性质的性质 用活数的构成和表示用活数的构成和表示 例 1 计算 归纳各计算结果中的 12345 22 24 28 26 232 个位数字规律 猜测的个位数是 2009 2 A 2 B 4 C 6 D 8 分析 考查的个位数的出现规律2 n n为为正正整整数数 用活用活 数数 式式 的大小关系的大小关系 例 2 若 则之间的大小关系 01a 2 1 aa a 分析 方法一 做差法 当时 01a 10 10 10 aaa 22 1 0 aaaaaa 1 1 1 1 0 aa aa aaa 方法二 特数值法 令 2 11 1 2 24 aa a 考点评析 由本题可以看出 数与式的大小问题 都是以实数的大小关系为基础的 所以 掌握实数的大小关系 是非常重要的 3 数与式的新题型 例 1 计算的结果估计在 1 32 25 2 A 6 至 7 之间 B 7 至 8 之间 C 8 至 9 之间 D 9 至 10 之间 分析 先对二次根式化简为 再估计的大小 寻找最接近的两个整数 3 和 4 4 1010 再利用这两个证书确定范围 例 2 已知 为任意实数 则的大小关系 2 78 1 1515 PmQmm m P Q 分析 22 13 1 0 24 PQmmmPQ 故故 例 3 若 则 M 的值一定是 22 3894613 Mxxyyxyx y 是是实实数数 A 正数 B 负数 C 零 D 整数 分析 因为 22 3894613Mxxyyxy 2222 222 288 44 69 2 2 2 3 0 xxyyxxyy xyxy 显然不能同时成立 所以 20 2 3xyxy 0M 例 4 在一条笔直的公路边 有一些树和路灯 每相邻的两盏灯之间有 3 棵树 相邻的树与 树 树与灯间的距离是 10cm 如图 第一棵树左边 5cm 处有一个路牌 则从此路牌起向 右 510m 550m 之间树与灯的排列顺序是 A B C D 分析 第一个灯的里程数为 10 米 第二个灯的里程数为 50 第三个灯的里程数为 90 米 第 n 个灯为 40n 30 米 从而知 530 米处的里程数是灯 故应该是树 树 灯 树 4 4 综合问题中的数与式 综合问题中的数与式 数与式是基本数学知识 常作为综合问题中的辅助背景出现 例 1 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 为x 2 1 2 21 10k xk k 实数 求的取值范围 k 分析 本题中的二次根式是隐含条件 不要忽略 解 由题意 k backk k 2 120 1 4012 2 10 且 例 2 如图 C为线段BD上一动点 分别过点BD 作ABBD EDBD 连接ACEC