必修第一册知识总结

1 第第 1 章章 集合与函数概念 集合与函数概念 1 集合的含义与表示集合的含义与表示 一 一 集合定义 某些指定的对象集在一起就形成了集合 集合定义 某些指定的对象集在一起就形成了集合 说明 说明 集合中的对象必须是指定的 如 集合中的对象必须是指定的 如 高一高一 9 班的所有同学班的所有同学 欧洲各国的首都欧洲各国的首都 1 等都可以组成一个集合 但像等都可以组成一个集合 但像 高一高一 9 班的高个子男生班的高个子男生 中国的较大河流中国的较大河流 校园里的校园里的 帅哥帅哥 等就不能组成集合 等就不能组成集合 元素与集合的关系只有元素与集合的关系只有 属于属于 和和 不属于不属于 的关系 的关系 2 二 二 元素的三大特征 元素的三大特征 确定性 确定性 互异性 互异性 无序性无序性 1 2 3 三 三 集合的表示方法 集合的表示方法 例举法 把集合中的元素一一例举出来 并用花括弧例举法 把集合中的元素一一例举出来 并用花括弧 1 括起来表示集合的方法 叫做例举法 括起来表示集合的方法 叫做例举法 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合 2 的方法叫做描述法 格式为 的方法叫做描述法 格式为 xA P x 典型例题 典型例题 1 用例举法表示 用例举法表示 方程方程的解集的解集 方程组方程组 1 2 560 xx 2 的解集的解集 注意两者的区别 注意两者的区别 2313 320 xy xy 2 已知结合已知结合 则用例举法写出 则用例举法写出 66 66 AxZZBZ xZ xx A B 3 请用描述法表示直线请用描述法表示直线上的所有点上的所有点 和不等式和不等式的解集的解集 24yx 240 x 4 已知集合已知集合 判断 判断是不是集合是不是集合中的元素 中的元素 32 Ax xab aZ bZ 62 2 A 5 定义集合运算 定义集合运算 设设 则 则 ABz zxyxy xA yB A 0 1 2 3 AB 集合集合的所有元素之和为的所有元素之和为 ABA 6 已知集合已知集合若集合若集合中只有一个元素 试求实数中只有一个元素 试求实数的值 并用例的值 并用例 2 8160 Akxx Ak 举法表示集合举法表示集合 A 7 已知结合已知结合 则集合 则集合中的元素个数中的元素个数 1 2 3 4 5 ABx yxA yA xyA B 2 为为 8 已知集合已知集合 且 且 则 则 2 2 25 12 Aaaa 3A a 2 集合间的基本关系集合间的基本关系 一 一 子集定义 对于两个结合子集定义 对于两个结合 集合 集合中的元素都是集合中的元素都是集合的元素 则集合的元素 则集合是是 A BABA 集合集合的子集 记作的子集 记作读作集合读作集合包含于集合包含于集合 或集合 或集合包含集合包含集合 B AB BA ABBA 二 二 真子集定义 集合真子集定义 集合是集合是集合的子集且的子集且 则集合 则集合是集合是集合的真子集 记的真子集 记ABAB AB 作作读作集合读作集合真包含于集合真包含于集合 AB AB 三 三 集合相等 若集合相等 若且且则则AB BA AB 四 四 空集定义 不含任何元素的集合叫做空集用符号空集定义 不含任何元素的集合叫做空集用符号表示 规定空集是任何集合的子表示 规定空集是任何集合的子 集 是任何非空集合的真子集 集 是任何非空集合的真子集 注意 重要结论 若集合注意 重要结论 若集合中有中有个元素 则集合个元素 则集合的子集有的子集有个 真子集有个 真子集有个 个 AnA2n21 n 非空真子集有非空真子集有个 个 22 n 典型例题典型例题 1 已知集合已知集合 则集合 则集合的关系正确的是 的关系正确的是 2 320 0 1 2 Mx xxN M N AMN BMN CMN DNM 2 已知集合已知集合 1 若 若 求实数 求实数的的 25 121 AxxBx mxm AB m 取值范围 取值范围 2 若 若 求集合 求集合的非空真子集的个数的非空真子集的个数 xZ A 3 若集合若集合且且 求求的取值集合的取值集合 2 60 10 Ax xxBx mx BA m 4 已知非空集合已知非空集合满足 满足 若若 则 则 符合上述条件 符合上述条件P 1 2 3 4 5 P aP 6aP 的集合的集合的个数是的个数是 P 5 设集合设集合 且 且 求实数 求实数的值的值 2 1 Aa bBa aab AB a b 6 集合集合的真子集个数为的真子集个数为 2 6 Ax xyxN yN 3 7 已知 集合已知 集合 定义某种运算 定义某种运算 1 2 3 1 2 AB 则则中的最大元素是中的最大元素是 集合集合的的 1212 ABx xxx xA xB AB AB 所有子集个数是所有子集个数是 8 设集合设集合 若 若 则 则的取值范围是的取值范围是 13 AxxBx xa AB a 9 已知集合已知集合 I 若 若 求实数 求实数的取值的取值 05 6 2 a AxxaBxx AB a 范围 范围 II 若 若 求实数 求实数的取值范围 的取值范围 III 集合 集合与与能否相等 若能 求出能否相等 若能 求出BA aAB 实数实数的取值 若不能 请说明理由的取值 若不能 请说明理由 a 3 集合的基本运算集合的基本运算 1 并集 并集 ABx xAxB 或 2 交集 交集 ABx xAxB 且 3 补集 补集 U C Ax xUxA 但 说明 借助韦恩图进行理解和利用数轴进行交 并 补的运算 注意基本运算的性质 说明 借助韦恩图进行理解和利用数轴进行交 并 补的运算 注意基本运算的性质 ABBA AA ABBA A UU AC AU AC A ABAAB ABAAB 典型例题典型例题 1 设集合设集合则则 1 2 0 13 AxxxBxx AB AB 2 设集合设集合 且 且 则 则的取值集合为的取值集合为 2 60 20 Ax xxBx mx ABA m 3 已知集合已知集合 则 则 2 1 1 Ax yxBy yx AB 4 已知集合已知集合 若若则则的取值范围的取值范围 23 15 AxaxaBx xx 或AB a 是是 若 若则则的取值范围是的取值范围是 ABA a 5 已知全集已知全集 集合 集合 若若则则的取值的取值UR 12 Ax xaBxx U AC AR a 范围是范围是 若 若则则的取值范围是的取值范围是 ABA a 4 6 已知集合已知集合 I 若 若 求实数求实数 2 4260 0 Ax xmxmBx x AB 的取值范围 的取值范围 II 若 若求实数求实数的取值范围的取值范围 mABA m 7 已知全集已知全集 集合 集合 求 求 4 Ux x 23 32 AxxBxx AB U C AB U AC B 4 函数及其表示函数及其表示 一 函数定义的理解 一 函数定义的理解 1 集合 集合是非空数集 说明函数的定义域和值域都不可能是非空数集 说明函数的定义域和值域都不可能 A B 为空集 为空集 2 集合 集合中的任意 即每一个 元素在中的任意 即每一个 元素在集合中都只有唯一元素与之对应 集合中都只有唯一元素与之对应 AB 说明集合说明集合到集合到集合的对应可以是一一对应或者多对一但绝对不可能是一对多 的对应可以是一一对应或者多对一但绝对不可能是一对多 3 函 函AB 数的三要素 定义域 对应法则 值域 三者缺一不可 数的三要素 定义域 对应法则 值域 三者缺一不可 4 值域的理解 与集合 值域的理解 与集合中中A 元素对应的集合元素对应的集合中的元素组成的集合中的元素组成的集合才叫值域 说明集合才叫值域 说明集合不一定是值域 不一定是值域 5 定 定BCB 义域和对应法则相同则值域一定相等 说明判断两个函数是否为统一函数只需看定义域和义域和对应法则相同则值域一定相等 说明判断两个函数是否为统一函数只需看定义域和 对应法则是否一样即可对应法则是否一样即可 6 树立函数定义域优先的法则 也就是说解决函数问题应首先看定树立函数定义域优先的法则 也就是说解决函数问题应首先看定 义域义域 典型例题典型例题 1 下列对应是否为集合下列对应是否为集合到集合到集合的函数的函数 AB 1 0 AR By yfxyx 2 2 AZ BZ fxyx 3 AZ BZ fxyx 4 1 1 0 0ABfxy 5 1 AR BR fxy x 2 下列各组函数为相等函数的是 下列各组函数为相等函数的是 A 2 1 1 1 x yxy x 和B 0 yx 1和y 0 C 22 1 yxyx 和D 22 2121yxxytt 和 表示炮弹飞行高度表示炮弹飞行高度与飞行时间与飞行时间 的关系式的关系式和二次函数和二次函数 Eht 2 305htt 2 305yxx 5 变式 已知函数变式 已知函数的定义域为区间的定义域为区间 则函数 则函数的图像与直线的图像与直线的焦的焦 f x 1 4 yf x 3y 点个数为点个数为 2 函数定义域的求法函数定义域的求法 1 当函数以解析式形式给出来时 定义域是使得函数解析式有意义的当函数以解析式形式给出来时 定义域是使得函数解析式有意义的取值集合 如分式取值集合 如分式x 型的分母不等于零 开偶次方根的被开方式大于或等于零 零次幂的底数不等于零 指数型的分母不等于零 开偶次方根的被开方式大于或等于零 零次幂的底数不等于零 指数 的底数大于零且不等于的底数大于零且不等于 对数的真数大于零底数大于零且不等于 对数的真数大于零底数大于零且不等于 若是几种形式组合而 若是几种形式组合而11 成的则定义域为分别满足几个形式的不等式组的解集成的则定义域为分别满足几个形式的不等式组的解集 注意定义域一定要有集合或者区间表注意定义域一定要有集合或者区间表 示示 2 当函数以实际问题形式给出来时 除了要满足解析式有意义意外还要有实际意义 如高当函数以实际问题形式给出来时 除了要满足解析式有意义意外还要有实际意义 如高 度或长度要大于零 时间不能为负值等度或长度要大于零 时间不能为负值等 3 复合函数的定义域求法复合函数的定义域求法 典型例题典型例题 1 求下列函数的定义域 用区间表示 求下列函数的定义域 用区间表示 1 2 21 23 2 f xx xx 0 2 x f x xx 3 4 2 1 6 f x xx 22f xxx 5 6 1 2 1 log 2 f x x 1 23 f x x 2 变式训练 用区间表示 变式训练 用区间表示 1 已知函数 已知函数的定义域为的定义域为 则函数 则函数的定义域为的定义域为 f x 1 5 21 fx 2 已知函数 已知函数的定义域为的定义域为 则函数 则函数的定义域为的定义域为 21 fx 1 5 f x 6 3 已知函数 已知函数的定义域为的定义域为 则函数 则函数的定义域为的定义域为 21 fx 1 5 1 f x 4 已知函数 已知函数的定义域为的定义域为 则函数 则函数的定义域为的定义域为 f x 3 3 2 1 f x 5 若函数 若函数的定义域为的定义域为 则 则的取值范围是的取值范围是 22 1 1 1f xmxmx Rm 三 三 函数值域或最值的求法函数值域或最值的求法 1 观察法 通过对函数解析式的简单变形 利用熟知的基本函数值域 观察法 通过对函数解析式的简单变形 利用熟知的基本函数值域 2 配方法 对二次函数及二次型函数先进行配方 然后利用自变量的取值范围和二次函 配方法 对二次函数及二次型函数先进行配方 然后利用自变量的取值范围和二次函 数值域求法进行求解 数值域求法进行求解 3 判别式法 将函数视为关于 判别式法 将函数视为关于的二次方程 利用判别式求函数值的范围的二次方程 利用判别式求函数值的范围 常用于求一常用于求一x 些分式型或无理型函数值域 要特别关注函数自变量的取值范围 些分式型或无理型函数值域 要特别关注函数自变量的取值范围 4 换元法 包括代数换元和三角换元 通过对解析式的适当换元 可将复杂的函数化 换元法 包括代数换元和三角换元 通过对解析式的适当换元 可将复杂的函数化 归为几个简单的函数 从而利用基本函数的取值范围求函数值域 归为几个简单的函数 从而利用基本函数的取值范围求函数值域 5 分离常数法 通过变形将函数分离成一个常数和一个熟知的函数表达式 再通过求熟 分离常数法 通过变形将函数分离成一个常数和一个熟知的函数表达式 再通过求熟 知函数的值域 以达到求原函数值域的方法 知函数的值域 以达到求原函数值域的方法 6 反函数法 利用反函数的定义域即为原函数值域的性质 反函数法 利用反函数的定义域即为原函数值域的性质 7 数形结合法 画出函数图像从而观察出函数值域 数形结合法 画出函数图像从而观察出函数值域 8 均值等式法 利用均值不等式 均值等式法 利用均值不等式 正 定 等正 定 等 的条件求函数值域 的条件求函数值域 9 导数法 利用求导判断函数单调性求出函数的最大值与最小值从而求值域 导数法 利用求导判断函数单调性求出函数的最大值与最小值从而求值域 典型例题典型例题 1 求下列函数的值域求下列函数的值域 1 2 3 2 1 1 x f x x 2 43f xxx 2 43 4 3 f xxxx 4 5 1 423 xx f x 22 1 log log 16 482 xx f xx 6 7 8 2 2 1 xx f x xx 21f xxx 2 1f xxx 7 9 10 11 2 6f xxx 41 23 x f x x 21 21 x x f x 12 对任意对任意 记 记 表示取 表示取中的较大者 则函数中的较大者 则函数 a bR max a ab a b b ab a b 的最小值为的最小值为 记 记 max 1 2 f xxxxR 则函数则函数的最大值为的最大值为 min a ab a b b ab 2 22 23 f xxxxxR 13 若函数若函数的定义域为的定义域为 值域为 值域为则则的范围是的范围是 2 34f xxx 0 m 25 4 4 m 4 函数解析式的求法 函数表示方法有 解析法 图像法和列表法 函数解析式的求法 函数表示方法有 解析法 图像法和列表法 1 配凑法 已知复合函数配凑法 已知复合函数表达式求表达式求的表达式 若的表达式 若的表达式右边容易的表达式右边容易 f g x f x f g x 配成配成的形式 则可直接配凑 列如 的形式 则可直接配凑 列如 g x 1 已知已知 求 求 2 2 111 xx f xxx f x 2 已知已知 求 求 2 2 11 3f xx xx f x 2 换元法 根据要求式子的结构特征 巧妙的设置新的变量来代换原式子的变量 对新变换元法 根据要求式子的结构特征 巧妙的设置新的变量来代换原式子的变量 对新变 量求出结果后再返回去求原变量的结果量求出结果后再返回去求原变量的结果 列如 列如 1 已知函数已知函数 求 求 2 21 31fxxx f x 2 已知函数已知函数 求 求 1 42fxxx f x 8 3 若若 则 则 2 2 1 2 1 2 0 x fxx x 1 2 f 3 待定系数法 当某个恒等式中出现某些尚待确定的系数时 利用恒等式的性质求出这些待定系数法 当某个恒等式中出现某些尚待确定的系数时 利用恒等式的性质求出这些 尚待确定的系数的方法尚待确定的系数的方法 列如 列如 1 如果如果 求一次函数 求一次函数的表达式 的表达式 21f f xx f x 2 二次函数二次函数满足满足 求 求的解析式的解析式 f x 1 21 0 3f xf xxf 且 f x 4 方程组法 利用方程思想 采用解方程组的方法消去不需要的函数式子 而得到方程组法 利用方程思想 采用解方程组的方法消去不需要的函数式子 而得到的的 f x 方法称为方程组法 也叫消去法方法称为方程组法 也叫消去法 列如 列如 1 设设是定义在是定义在上的函数 且满足上的函数 且满足 求 求 f x 1 1 2 21f xfx x f x 2 设设是奇函数 是奇函数 是偶函数 且满足是偶函数 且满足 求 求 f x g x x f xg xex f x 5 利用函数性质求解析式 利用函数奇 偶性求解析式利用函数性质求解析式 利用函数奇 偶性求解析式 列如 列如 1 已知函数已知函数是定义在是定义在上的奇函数 且当上的奇函数 且当时时 求 求在在 f xR0 x 1 f xxx f x 的解析式 的解析式 R 9 2 已知函数已知函数是定义在是定义在上的奇函数 且当上的奇函数 且当时时 求 求在在 f xR0 x 1 21 x f x f x 的解析式 的解析式 R 5 分段函数和映射分段函数和映射 说明 说明 1 分段函数是一个函数而不是几个函数 处理分段函数时 首先要确定自变量的值分段函数是一个函数而不是几个函数 处理分段函数时 首先要确定自变量的值 属于哪一个范围 从而选择相应的解析式 总体原则是分段考察综合书写 属于哪一个范围 从而选择相应的解析式 总体原则是分段考察综合书写 2 注意区别函注意区别函 数与映射的定义 能够解决原像和像的简单问题数与映射的定义 能够解决原像和像的简单问题 典型例题典型例题 1 画出下列函数图像并指出其单调区间 画出下列函数图像并指出其单调区间 1 1 2 2 f xxx 2 3 2 6 f xxx 1 1 f x x 2 设函数设函数 若 若则实数则实数的取值为的取值为 若 若 2 21 1 0 34 0 axax f x xx 2 3f a 函数函数在在上为减函数 则上为减函数 则的取值范围是的取值范围是 f xRa 3 设集合设集合到集合到集合的映射的映射满足满足 则元素 则元素的像为的像为 元元ABf fx yxy xy 2 1 素素的原像为的原像为 2 1 5 函数的基本性质函数的基本性质 1 函数的单调性和最大 小 值函数的单调性和最大 小 值 1 单调性的定义 设函数单调性的定义 设函数 的定义域为的定义域为 如果对于定义域 如果对于定义域的某个区间的某个区间上的任意两个自上的任意两个自IID 变量变量 当 当有有 或 或 则称 则称为区间为区间上的单上的单 12 x x 12 xx 12 f xf x 12 f xf x f xD 10 调增函数 或单调减函数 调增函数 或单调减函数 对应的区间 对应的区间称为单调增区间 或单调减区间 称为单调增区间 或单调减区间 D 说明 说明 1 单调区间是针对定义域内的某个区间而言的 而不一定是整个定义域 单调区间是针对定义域内的某个区间而言的 而不一定是整个定义域 2 是任意的两个值 而不是特殊的两个值 所以在证明单调性时不能只取两个特殊的是任意的两个值 而不是特殊的两个值 所以在证明单调性时不能只取两个特殊的 12 x x 值代替一般情况 除非是要说明该函数在某区间内不具有单调性 值代替一般情况 除非是要说明该函数在某区间内不具有单调性 3 单调性定义具有正 单调性定义具有正 反异推的性质即 若反异推的性质即 若是增函数则 是增函数则 若 若是减函数则 是减函数则 f x 1212 f xf xxx f x 这是解决抽象不等式的理论依据 这是解决抽象不等式的理论依据 4 若一个函数的单调增 若一个函数的单调增 1212 f xf xxx 区间 或减区间 有两个及两个以上则区间之间不能用区间 或减区间 有两个及两个以上则区间之间不能用 并集符号并集符号 连接 而只能用连接 而只能用 逗号 逗号 连接 连接 5 单调性定义的变形形式 对于区间 单调性定义的变形形式 对于区间内的任意两个不相等的自变量内的任意两个不相等的自变量D 都有 都有在区间在区间内为增函数 内为增函数 12 x x 12 12 0 f xf x f x xx D 在区间在区间内为减函数 内为减函数 6 复合函数的单调性满足 复合函数的单调性满足 同增异同增异 12 12 0 f xf x f x xx D 减减 7 连续不断的函数 连续不断的函数在闭区间在闭区间上一定存在最大值和最小值 在开区上一定存在最大值和最小值 在开区 f x a b ab 间上不一定有最值间上不一定有最值 2 典型例题典型例题 1 用定义法证明下列函数的单调性 用定义法证明下列函数的单调性 2 1 0 f xxx 0 f xx x 3 f xxx xR 1 0 f xx x 2 求证 函数求证 函数在在为减函数 在为减函数 在为增函数 为增函数 1 f xx x 1 0 0 1 1 1 做出函数图象并求出其值域做出函数图象并求出其值域 11 3 做出函数做出函数的图像 并指出其单调区间和值域的图像 并指出其单调区间和值域 2 6 f xxx 4 求函数求函数的单调区间 的单调区间 2 1 23 f x xx 5 已知函数已知函数 当当时 求时 求的最小值 的最小值 若若 2 2 1 xxa f xx x 1 2 a f x 对任意对任意恒成立 求实数恒成立 求实数的取值范围的取值范围 1 0 xf x a 6 已知函数已知函数对任意正实数对任意正实数 都有 都有 且当 且当时有时有 f x x y f xyf xf y 1x 试判断试判断在在上的单调性 上的单调性 若若 求不等式 求不等式 1f x f x 0 3 2f 的解集的解集 2 4f a 7 已知函数已知函数对任意实数对任意实数 都有 都有 且当 且当时有时有 f x x y 1f xyf xf y 0 x 证明 函数证明 函数在在上是增函数 上是增函数 若若 求不等式 求不等式 1f x f xR 1 2f 的解集的解集 23 3fa 12 8 已知定义在已知定义在的函数的函数满足 满足 当当时 时 0 f x1x 0f x 1 1 2 f 对任意的实数对任意的实数 都有 都有 i 求证 求证 ii 求证 求证 x y f xyf xf y 1 ff x x 在定义域内为减函数 在定义域内为减函数 iii 求不等式 求不等式的解集的解集 f x 2 5 2ffx 9 已知定义在已知定义在的函数的函数满足满足当当时时 0 f x 1 12 2 x ff xf x x 1x 0f x i 求 求的值 的值 ii 判断 判断的点调性 的点调性 iii 若 若 求 求在在上的上的 1 f f x 3 1f f x 2 9 最小值最小值 10 已知函数已知函数 是 是上的增函数 则上的增函数 则的取值为的取值为 2 3 4 1 1 a xa x f x xx Ra 11 11 已知函数 已知函数 是 是上的减函数 则上的减函数 则的取值为的取值为 3 5 1 2 1 axx f x a x x Ra 12 已知函数已知函数 若 若 则 则的取值为的取值为 2 2 4 0 4 0 xx x f x xxx 2 faf a a 13 已知函数已知函数 i 若 若区间区间上是单调函数则实数上是单调函数则实数的取的取 2 23f xxax f x 2 5 a 值范围是值范围是 ii 若 若区间区间上不是单调函数则实数上不是单调函数则实数的取值范围的取值范围 f x 2 5 a 是是 iii 若 若区间区间上有最值数则实数上有最值数则实数的取值范围是的取值范围是 f x 2 5 a 2 函数奇 偶性函数奇 偶性 1 奇偶函数的定义 对于函数定义域内的任意奇偶函数的定义 对于函数定义域内的任意都有都有 或者 或者 x fxf x fxf x 则称则称为奇函数 或者偶函数 为奇函数 或者偶函数 f x 13 说明 说明 1 判断函数奇偶性 首先要判断函数的定义域是否关于原点对称 若定义域不关 判断函数奇偶性 首先要判断函数的定义域是否关于原点对称 若定义域不关 于原点对称则为非奇非偶函数 于原点对称则为非奇非偶函数 其次用定义判断 其次用定义判断与与 或者 或者 的关系 的关系 fx f x f x 最后得出结论 最后得出结论 2 分段函数的奇偶性要分段求解 分段函数的奇偶性要分段求解 2 奇偶函数的性质 奇偶函数的性质 1 奇函数图像关于原点对称 偶函数图像关于 奇函数图像关于原点对称 偶函数图像关于轴对称 轴对称 2 奇 奇y 函数在关于原点对称区间上的点调性相同 偶函数在关于原点对称区间上的点调性相反 函数在关于原点对称区间上的点调性相同 偶函数在关于原点对称区间上的点调性相反 3 若奇函数的定义域包含原点 则 若奇函数的定义域包含原点 则 0 0f 典型例题典型例题 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 1 2 3 22f xxx 2 f xxx 22 44f xxx 4 5 6 4 0 4 0 x xx f x x xx 1 1 1 x f xx x 1 ln 1 x f x x 7 2 1 2 log 1 f xxx 2 已知函数已知函数的定义域为的定义域为且满足 且满足 对任意实数对任意实数满足满足 f xR x y f xyf xf y 当当时时 I 判断函数 判断函数的奇偶性 的奇偶性 II 求证 函数 求证 函数0 x 0f x 1 2f f x 为为上的减函数 上的减函数 III 求不等式 求不等式的解集 的解集 IV 若 若 f xR 21 4fx 14 求求的取值范围的取值范围 21 0fxf x x 3 若偶函数若偶函数在在上是减函数 则满足上是减函数 则满足的实数的实数的取值范围是的取值范围是 f x 0 1 f af a a 4 若函数若函数是定义在是定义在的偶函数 在的偶函数 在上是减函数 且上是减函数 且 则使得不等式 则使得不等式 f xR 0 2 0f 的的的取值范围是的取值范围是 21 0fx x 5 设函数设函数是定义在是定义在的奇函数 当的奇函数 当时 时 为常数 为常数 则 则 f xR0 x 22 x f xxb b 2 f 6 已知已知是奇函数 且其定义域为是奇函数 且其定义域为 则实数 则实数 f x 21 aa a 7 若函数若函数是定义在是定义在上的奇函数 且当上的奇函数 且当时时 则 则的解析式为的解析式为 f xR0 x 21 x x f x f x 8 已知已知是偶函数 是偶函数 是奇函数 且是奇函数 且求求 f x g x 2 231 x f xg xxx 的表达式的表达式 f xg x与 9 若函数若函数是偶函数 且在是偶函数 且在上是增函数 又上是增函数 又 则 则 f x 0 4 0f 的解集为的解集为 0 1 f xfx x 10 若函数若函数是偶函数 则是偶函数 则从小到大的顺序是从小到大的顺序是 2 1 22f xmxmx 3 4 fff 第第 2 章章 基本初等函数 基本初等函数 15 1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 1 次根式的定义及表示次根式的定义及表示n 1 一般地 如果一般地 如果 那么 那么叫做叫做的的次方根 其中次方根 其中 当 当为奇数时记为奇数时记 n xa xan1nnN 且n 作作 当 当为偶数时记为为偶数时记为 n an n a 2 根式的概念及性质 式子根式的概念及性质 式子叫做根式 叫做根式 是根指数 是根指数 是被开方数 规定 是被开方数 规定 n ana00 n 其中 其中 n n aa nn a a a aa 为奇数 为偶数 1nnN 且 2 分数指数幂的意义及有理指数幂的运算性质分数指数幂的意义及有理指数幂的运算性质 1 正分数指数幂 规定 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 的正的正 m nm n aa 11 m n m nm n a a a 0 分数指数幂等于分数指数幂等于 的负分数指数幂没有意义 的负分数指数幂没有意义 00 2 有理指数幂的运算性质 有理指数幂的运算性质 1 2 3 rsr s a aa rsrs aa r rr aba b 典型例题典型例题 1 分数指数幂与根式的互化分数指数幂与根式的互化 1 将下列根式转化为分数指数幂 将分数指数幂转化为根式将下列根式转化为分数指数幂 将分数指数幂转化为根式 1 2 3 4 a a a a 23 3 aba bab 1 2 2 2 4 2 2 分数指数幂与根式的计算与化简求值分数指数幂与根式的计算与化简求值 1 2 1211 213 3322 6 3 4 5 a ba ba b 52 652 6 3 4 41 33 3 3 22 3 33 8 1 2 42 aa bb a a baba 243 343 8 32 23 16 2 有理指数幂的综合运用有理指数幂的综合运用 1 已知已知 求下列各式的值 求下列各式的值 11 22 3aa 1 2 3 4 1 aa 22 aa 22 aa 33 22 22 2 3 aa aa 2 计算下列各式的值计算下列各式的值 1 2 1 020 5 2 31 2 2 2 0 01 54 22 0 5 33 27492 0 008 8925 3 111 110 242 3271 0 25 10 23 32 24300 4 0223 3 331 1 8 3 9 280 01 5 2 0 520 3 71037 2 0 1 2 3 92748 17 2 指数函数及其性质指数函数及其性质 1 指数函数定义 形如指数函数定义 形如形式的函数叫做指数函数形式的函数叫做指数函数 01 x yaaa 且 说明 要判断一个函数是否为指数函数的依据是 是否是形如说明 要判断一个函数是否为指数函数的依据是 是否是形如形式形式 01 x yaaa 且 的函数 其中的函数 其中的系数为的系数为 底数 底数满足满足 指数位置上只有自变量 指数位置上只有自变量 而不 而不 x a1a01aa 且x 是其他表达式 如是其他表达式 如就不是指数函数 而是指数函数就不是指数函数 而是指数函数复合而成的函复合而成的函 x ya u yayx 与 数 数 定义域是 定义域是 R 2 指数函数的图像与性质指数函数的图像与性质 指数函数指数函数的性质如下表的性质如下表 01 x yaa 且 1a 01a 图像图像 定义域定义域 和值域和值域 定义域为 定义域为 值域为 值域为 R 0 恒过定点 恒过定点 0 1 奇偶性 非奇非偶函数奇偶性 非奇非偶函数 在在上单调递增上单调递增R在在上单调递减上单调递减R 当当时 时 0 x 1y 当当时 时 0 x 01y 当当时 时 0 x 01y 当当时 时 0 x 1y 性质性质 当当时 底数越大 图像向上越时 底数越大 图像向上越0 x 靠近靠近轴轴 y 当当时 底数越小 图像向右越靠近时 底数越小 图像向右越靠近0 x 轴轴 x 3 指数函数图像的变换指数函数图像的变换 1 平移规律 左加右减 上加下减平移规律 左加右减 上加下减 若已知函数若已知函数的图像 则把其图像向左 或向右 平移的图像 则把其图像向左 或向右 平移个单位 可得个单位 可得 x f xa 0 b b 到到 或 或 的图像 也可写作 的图像 也可写作 将函数 将函数 x b ya x b ya yf xb 或者 yf xb 的图像向上 或向下 平移的图像向上 或向下 平移个单位 可得到函数个单位 可得到函数 x f xa 0 b b 的图像 也可写作 的图像 也可写作 xx yabyab 或者 yf xb 或者 yf xb 2 对称规律对称规律 18 函数函数图像关于图像关于轴对称即轴对称即图像关于图像关于轴对称 轴对称 xx yaya 与y yf xyfx 与y 函数函数图像关于图像关于轴对称即轴对称即图像关于图像关于轴对称 函数轴对称 函数 xx yaya 与x yf xyf x 与x 图像关于原点对称即图像关于原点对称即图像关于原点对称图像关于原点对称 xx yaya 与 yf xyfx 与 典型例题典型例题 1 若函数若函数是指数函数 则是指数函数 则的取值为的取值为 2 33 x f xaaa a 2 指出下列函数哪些是指数函数指出下列函数哪些是指数函数 1 2 3 4 5 5xy 5 yx 5xy 5 xy 12 31 33 x yaaa 且 6 7 5 x y 2 1 5xy 3 函数函数的图像过定点的图像过定点 2 3 01 x yaaa 且 4 函数函数过定点过定点则实数则实数的值为的值为 2 1 01 x b f xaaa 且 1 2 b 5 画出下列函数图像并根据图像支出其单调区间画出下列函数图像并根据图像支出其单调区间 1 2 22 x y 2 x y 6 求下列函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域 1 2 3 4 1 1 5xy 1 3 3 x y 2 425 xx y 21 1 3 9 x y 7 求下列函数的单调区间及其值域求下列函数的单调区间及其值域 1 2 2 23 2x x y 2 34 1 2 xx y 8 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小 19 1 2 3 0 50 4 5 0 8 4 与 0 90 91 5 1 4 8 2 2 2 3 4 0 6 3 与 9 解下列不等式解下列不等式 1 2 32 1 2 2 x 22 314 01 xxx aaaa 且 III 判断函数的单调性并证明 判断函数的单调性并证明 10 函数函数在区间在区间上有最大值上有最大值 则 则的值为的值为 2 21 01 xx yaaaa 且 1 1 14a 11 已知已知 则函数 则函数的最大值为的最大值为 最小值为 最小值为 02x 11 2 42 xx y 12 若函数若函数有两个零点 则实数有两个零点 则实数的取值范围是的取值范围是 23 x f xb b 13 已知函数已知函数在在上满足上满足 且当 且当时 时 f xR f xyf xf y 0 x 0 1 2f xf I 求 求的值 的值 II 判断函数 判断函数的单调性 的单调性 III 若 若 0 3 ff f x 对任意对任意恒成立 求实数恒成立 求实数的取值范围的取值范围 1 4 62 6 xx faf xa 14 若函数若函数 是 是上的增函数 则实数上的增函数 则实数的取值范围是的取值范围是 1 4 2 1 2 x ax f x a xx Ra 3 对数与对数的运算对数与对数的运算 1 对数定义及其性质对数定义及其性质 1 一般地 如果一般地 如果 那么数 那么数叫做以叫做以为底为底的对数 记作的对数 记作 01 x aN aa 且xaN 其中 其中叫做对数的底数 叫做对数的底数 叫做真数叫做真数 logaxN aN 20 2 两种特殊的对数 常用对数 以两种特殊的对数 常用对数 以为底的对数 记作为底的对数 记作 自然数对数 以 自然数对数 以10lg N 这个无理数为底的对数 记作这个无理数为底的对数 记作 2 71828 e ln N 3 指数与对数的关系 指数与对数的关系 注意各个字母不同的称谓 注意各个字母不同的称谓 log x a aNxN 4 负数与负数与没有对数 没有对数 的对数等于的对数等于即即 底数的对数等于 底数的对数等于 即即 010log 10 a 1log1 aa 2 对数运算性质对数运算性质 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM 4 对数恒等式 对数恒等式 loglog n m a a m bb n logab ab 5 换底公式 换底公式 特别的 特别的 log log log c a c b b a loglog1 ab ba 典型例题典型例题 1 计算或者化简下列各式计算或者化简下列各式 1 2 7 log 20 3 log27lg25lg47 9 2 22 2 lg5lg8lg5 lg20 lg2 3 3 4 2 6666 1 log 3 log 2 log 18 log 4 5 2 log 3 3 93 321 5log 4log5 964 5 6 5 log 3 333 32 2log 2loglog 825 9 7 lg142lglg7lg18 3 2 已知已知 求证 求证 236 1 xyz k k 111 xyz 21 3 设设 求 求 3436 xy 21 xy 4 已知已知 1 2 log 4 2 1 2 732 log log log 0 xx 则 5 方程方程的解是的解是 lg 42 lg2lg3 xx 4 对数函数及其性质对数函数及其性质 1 对数函数定义 一般地 把形如对数函数定义 一般地 把形如的函数叫做对数函数 其的函数叫做对数函数 其log 01 a yx aa 且 中中是自变量是自变量 x 说明 判断一个函数是否为对数函数必须满足 说明 判断一个函数是否为对数函数必须满足 1 系数为 系数为 2 底数大于 底数大于且不等且不等10 于于 3 对数的真数仅为自变量 对数的真数仅为自变量 1x 2 对数函数图像及其性质对数函数图像及其性质 指数函数指数函数的性质如下表的性质如下表log 01 a yx a 且 1a 01a 图像图像 定义域定义域 和值域和值域 定义域为 定义域为 值域为 值域为 0 R 恒过定点 恒过定点 1 0 奇偶性 非奇非偶函数奇偶性 非奇非偶函数 在在上单调递增上单调递增 0 在在上单调递减上单调递减 0 当当时 时 1x 0y 当当时 时 01x 0y 当当时 时 1x 0y 当当时 时 01x 0y 性质性质 3 反函数定义及其性质反函数定义及其性质 1 对数函数对数函数与指数函数与指数函数互为反函数 其中互为反函数 其中 它们的图像关 它们的图像关logayx x ya 01aa 且 于于轴对称轴对称 反函数也可记作 反函数也可记作 yx 1 yfx 2 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域 存在反函数的条件是 该函数在反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域 存在反函数的条件是 该函数在 定义域内是严格单调函数 眼函数与反函数具有相同的点调性定义域内是严格单调函数 眼函数与反函数具有相同的点调性 22 3 求反函数的步骤 求反函数的步骤 1 求原函数的值域即反函数的定义域 求原函数的值域即反函数的定义域 2 通过原函数反解 通过原函数反解用用x 来表示 来表示 3 将 将的位置对调得反函数 的位置对调得反函数 4 写出反函数定义域即原函数值域 写出反函数定义域即原函数值域 yxy与 典型例题典型例题 1 函数函数的图像恒过定点的图像恒过定点 log 2 1 01 a f xxaa 且 2 求下列函数的定义域求下列函数的定义域 1 2 3 4 lg 1 yx 1 lg 1 y x 1 2 log1 31 x y x 1 log 4 x yx 3 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小 1 2 3 4 33 log 4log 7与 56 log 6log 5与 19 2 log 7log 7与 log 3 7log 3 8 aa 与 4 求下列函数的值域求下列函数的值域 1 2 3 2 2 log 8 yx 2 1 3 log 82 yxx 2 1 2 log 32 yxx 4 5 22 1 log log 4 488 xx yx 2 3 log 2 yxx 6 若函数若函数的定义域为的定义域为 求实数 求实数的取值范围的取值范围 2 2 log 21 yaxx Ra 23 7 若函数若函数的值域域为的值域域为 求实数 求实数的取值范围的取值范围 2 2 log 21 yaxx Ra 5 求函数求函数的单调区间的单调区间 2 1 2 log 23 yxx 6 若函数若函数在区间在区间上是怎函数 求实数上是怎函数 求实数的取值范围的取值范围 2 1 2 log f xxaxa 2 a 7 若函数若函数在区间在区间为减函数 求实数为减函数 求实数的取值范围的取值范围 log 2 a yax 0 1 a 8 已知函数已知函数 I 求函数 求函数的定义域 的定义域 II 判断函 判断函 1 log 01 1 a x f xaa x 且 f x 数数的奇偶性 的奇偶性 III 求使得 求使得的的的取值范围的取值范围 f x 0f x x 9 若函数若函数为偶函数 则为偶函数 则 2 ln f xxxax a 24 10 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 1 2 1 lg 1 x f x x 2 ln 1 f xxx 11 已知函数已知函数的图像恒过定点的图像恒过定点且且点在函数点在函数 2 1 1 0 x g xaa 2 2 AA 的图享上的图享上 3 log f xxa I 求 求的反函数 的反函数 II 若 若 求 求的取值的取值 g x2 31 3 5 ff xf x x 12 已知函数已知函数的图像过点的图像过点 其反函数 其反函数的图像过点的图像过点 01 x f xab aa 且 1 7 1 fx 求 求的表达式的表达式 4 0 f x 13 已知函数已知函数 则 则 1 4 2 1 4 x x f x f xx 1 2 2log 3 f 14 若函数若函数 则 则 1 2 3 2 2 log 1 2 x ex f x xx 2 f f 15 若函数若函数在在上的最大值与最小值之和为上的最大值与最小值之和为 则 则 log 1 x a f xax 0 1 aa 16 已知函数已知函数 求 求的最大值 及的最大值 及取得最大取得最大 3 2log 1 9 f xx x 22 yf xf x y 值时值时的值的值 x 25 17 当当时 时 则实数 则实数的取值范围是的取值范围是 1 0 2 x 4log x a x a 18 已知已知 则方程 则方程的实根个数为的实根个数为 个个 01a log x a ax 19 若方程若方程的解为的解为 方程 方程的解为的解为 则 则 105 x x 1 xlg5xx 2 x 12 xx 20 若若满足方程满足方程 满足方程满足方程 则 则 1 x225 x x 2 x 2 22log 1 5xx 12 xx 21 设偶函数设偶函数在区间在区间上单调递减 则上单调递减 则的大的大 log a f xxm 0 3 2 f mf a 与 小关系是小关系是 5 幂函数幂函数 1 幂函数的概念 一般地 形如幂函数的概念 一般地 形如的函数叫做幂函数的函数叫做幂函数 yx 说明 说明 1 所有的幂函数在区间 所有的幂函数在区间都有意义 都有意义 2 自变量是 自变量是 系数为 系数为 指数 指数 0 x1 是任意实数 是任意实数 3 确定一个幂函数只需确定 确定一个幂函数只需确定即可 即可 4 只讨论 只讨论五个五个 1 1 2 3 1 2 幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质 2 幂函数图像与性质幂函数图像与性质 yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 定定 义义 域域 RRR 0 0 0 值值 域域 R 0 R 0 0 0 奇奇 偶偶 性性 奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数 26 单单 调调 性性 在在为增函数为增函数R 为减为减 0 为增为增 0 在在为增为增R 为增