一维横场伊辛模型的淬火动力学

一维横场伊辛模型的淬火动力学在第二章，我们已经把哈密顿量化成了对角形式。用这个形式的哈密顿量，我们就可以算出一维伊辛模型的基态能量关于g的函数，画出相应的图像，验证其中存在的量子相变点。然后可以计算从g0到g1的量子淬火过程的边界配分函数 Zz=ie-zHi和自由能密度 fz=-limN1NLnZ(z)。利用计算出的解析式可以观察在有序相内的淬火(g0=0.4g1=0.8)和过量子相变点的淬火(g0=0.4g1=1.3)。从而得到费舍尔零点分布和伊辛模型中的动力学相变。3.1基态能量由第二章中得到的结果，我们已经知道一维横场伊辛模型的哈密顿量可以写成：Hg=k0(k-k)k(g)00-k(g)k-k =k0kg(kk-k-k) =k0kgkk+-k-k-1 直接可以看出Hg的基态即是没有任何k模式和-k模式准粒子占据的态，也即是kk和-k-k的共同真空态|0k，0-k。所以基态能量：E0=-k0k(g)， kg=(g-cosk)2-sin2k 。画出E0，E0 ，E0 随参数g的变化图： 图3.1：求出的横场伊辛模型的基态能量E0=-k0k(g)，是一个关于g的函数，可以画出E0关于g的关系图，如图(a)。E0的一阶导数和g的关系图，如图(b)。E0的二阶导数和g的关系图，如图(c)。从图中可以看出基态能量的二阶导随g变化的函数出现了不连续，即发生了量子相变，g=gc=1是量子相变的临界点。3.2 求解自由能密度对于从g0到g1的量子淬火过程13，由第二章所得可以写出下面两种情况的哈密顿量：l g=g0时：Hg0=k0kg0kk+-k-k-1 其中 ck=ukg0k-ivkg0-kc-k=ukg0-k-ivkg0k 1l g=g1时：Hg1=k0kg1kk+-k-k-1 其中 ck=ukg1k-ivkg1-kc-k=ukg1-k-ivkg1k 2联立(1),(2)得： k=Ukk-iVk-k-k=Uk-k-iVkk (3) 其中 Uk=ukg0ukg1+vkg0vkg1=cosk Vk=ukg0vkg1-vkg0ukg1=-sink ; k=kg0-kg1亦即： k=coskk+isink-k-k=cosk-k+isinkk由此推出：k=coskk-isink-k-k=cosk-k-isinkkk=coskk+isink-k-k=cosk-k+isinkk将上式带入H(g1)中，把H(g1)用k，-k来表示：Hg1=k0kg1kk+-k-k-1=k0kg1coskk+isink-kcoskk-isink-k+(cosk-k-isinkkcosk-k+isinkk-1化简得：Hg1=k0kg1cos2k-sin2kkk-k-k+2sinkcosk(-ik-k+i-kk)此时，为了方便计算，我们构造准自旋算符：z=kk-k-kx=k-k+-kky=-ik-k+i-kk容易验证z，x，y满足自旋的对易关系。所以相应的费米子算符的态可以表示为准自旋的态：|0k，0-k=|k|1k，1-k=|k则，哈密顿量写为：Hg1=k0kg1(cos2kz+sin2ky)相应的基态为：|i=|0k，0-k=|k于是，配分函数可以写为：Zz=ie-zHi =ik0e-zHkg1i =k0ke-zkg1(cos2kz+sin2ky)k =k0kcosh-zkg1+sinh-zkg1cos2kz+sin2kyk=k0cosh-zkg1-sinh-zkg1cos2k =k0(sin2ke-zkg1+cos2k)ezkg1 所以自由能密度为：fz=-limN1NLnZz =-limN1Nk0Ln(sin2ke-zkg1+cos2k)ezkg1 =-limN1Nk0Ln(sin2ke-2zkg1+cos2k)-limNzNk0kg1=-0dk2Lnsin2ke-2zkg1+cos2k+zEgs(g1)N =-0dk2Lnsin2ke-2zkg1+cos2k 其中，我们忽略了zEgs(g1)N这一项，因为它只与Hg1的基态能量有关。3.3 费舍尔零点的分布令Zz=0，即sin2ke-zkg1+cos2k=0解得：znk=12kg1Ln(tan2k+i(2n+1)其中n为整数。可见，每个模式k都对应一个零点，当 limN 时，k趋于连续，znk中n每取一个值就对应一条连续的曲线，所以费舍尔零点在复平面上的分布是曲线簇znk。画出znk的图，如下：图3.1 (a):在同一个相中进行淬火的费舍尔零点的曲线(g0=0.4g1=0.8)。(b)过量子相变点的淬火过程的费舍尔零点的曲线(g0=0.4g1=1.3)。我们可以注意到当淬火过量子临界点时，费舍尔零点将于时间轴相交，在交点tn*出会出现非解析行为。 当淬火过程经过量子相变点时，znk会与虚时轴有交点。我们可以简要的分析一下这些交点的意义：znk是自由能密度fz的零点，所以在znk上任何一点fz都是非解析的。对于fz来说，沿着虚时轴正半轴前进，就对应着z取虚数的情况，此时 Zz=Gt，描述的是态含时演化的回复概率，此时fz的非解析行为即是时间上的非解析行为，也就是我们之前所定义的动力学相变点。此时，可以很容易的写出纵轴上交点的分布：tn*=t*n+12, n=0,1,2其中：t*=k*g1，k*满足cosk*=1+g0g1g0+g1。可以看出动力学相变点是等时间间隔出现的，t *可以看成一种非平衡时标。引申与总结4.1 纵向磁化率的一个有趣现象到目前为止，我们在费米子模型下分析了淬火的动力学。有趣的是，上面所说的非平衡时标在经过淬火的局域可观测量的动力学中也扮演着一个重要的角色。我们可以