专题（2）命题及其关系、充分条件与必要条件

1 第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 知识能否忆起 一 命题的概念 在数学中用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为 真的语句叫做真命题 判断为假的语句叫做假命题 二 四种命题及其关系 1 四种命题 命题表述形式 原命题若 p 则 q 逆命题若 q 则 p 否命题若綈 p 则綈 q 逆否命题若綈 q 则綈 p 2 四种命题间的逆否关系 3 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 三 充分条件与必要条件 1 如果 p q 则 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 2 如果 p q q p 则 p 是 q 的充要条件 小题能否全取 1 教材习题改编 下列命题是真命题的为 A 若 则 x y B 若 x2 1 则 x 1 1 x 1 y C 若 x y 则 D 若 x y 则 x2b 是 a2 b2 的充分条件 a b 是 a2 b2 的必要条件 a b 是 a c b c 的充要条件 解析 由 2 3 22 3 2知 该命题为假 由 a2 b2 a 2 b 2 a b 知 该命题 为真 a b a c b c 又 a c b c a b a b 是 a c b c 的充要条件为真命 题 答案 1 充分条件与必要条件的两个特征 1 对称性 若 p 是 q 的充分条件 则 q 是 p 的必要条件 即 p q q p 2 传递性 若 p 是 q 的充分 必要 条件 q 是 r 的充分 必要 条件 则 p 是 r 的充 分 必要 条件 3 注意区分 p 是 q 的充分不必要条件 与 p 的一个充分不必要条件是 q 两者的 不同 前者是 p q 而后者是 q p 2 从逆否命题 谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性 因而 当判断原命题的真假比 较困难时 可转化为判断它的逆否命题的真假 这就是常说的 正难则反 四种命题的关系及真假判断 典题导入 例 1 下列命题中正确的是 若 x2 y2 0 则 x y 不全为零 的否命题 正多边形都相似 的逆命题 若 m 0 则 x2 x m 0 有实根 的逆否命题 若 x 3 是有理数 则 x 是无理数 的逆否命题 1 2 A B C D 自主解答 中否命题为 若 x2 y2 0 则 x y 0 正确 中 1 4m 当 m 0 时 0 原命题正确 故其逆否命题正确 中逆命题不正确 中原命题正确故逆否 命题正确 答案 B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时 首先要分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条 件与结论之间的关系 要注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题定为原命题 也就相 应的有了它的 逆命题 否命题 逆否命题 判定命题为真命题时要进行推理 判定命 题为假命题时只需举出反例即可 对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手 以题试法 1 以下关于命题的说法正确的有 填写所有正确命题的序号 若 log2a 0 则函数 f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 是真命题 命题 若 a 0 则 ab 0 的否命题是 若 a 0 则 ab 0 命题 若 x y 都是偶数 则 x y 也是偶数 的逆命题为真命题 命题 若 a M 则 b M 与命题 若 b M 则 a M 等价 4 解析 对于 若 log2a 0 log21 则 a 1 所以函数 f x logax 在其定义域内是增函数 故 不正确 对于 依据一个命题的否命题的定义可知 该说法正确 对于 原命题的 逆命题是 若 x y 是偶数 则 x y 都是偶数 是假命题 如 1 3 4 是偶数 但 3 和 1 均 为奇数 故 不正确 对于 不难看出 命题 若 a M 则 b M 与命题 若 b M 则 a M 是互为逆否命题 因此二者等价 所以 正确 综上可知正确的说法有 答案 充分必要条件的判定 典题导入 例 2 1 2012 福州质检 x 2 是 x2 2x 0 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 2012 北京高考 设 a b R a 0 是 复数 a bi 是纯虚数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 自主解答 1 取 x 0 则 x2 2x 0 故由 x 2 不能推出 x2 2x 0 由 x2 2x 0 得 0 x 2 故由 x2 2x 0 可以推出 x 2 所以 x 2 是 x2 2x 0 的必要而不充分条件 2 当 a 0 且 b 0 时 a bi 不是纯虚数 若 a bi 是纯虚数 则 a 0 故 a 0 是 复数 a bi 是纯虚数 的必要而不充分条件 答案 1 B 2 B 由题悟法 充要条件的判断 重在 从定义出发 利用命题 若 p 则 q 及其逆命题的真假进 行区分 在具体解题中 要注意分清 谁是条件 谁是结论 如 A 是 B 的什么条件 中 A 是条件 B 是结论 而 A 的什么条件是 B 中 A 是结论 B 是条件 有时还可以 通过其逆否命题的真假加以区分 以题试法 2 下列各题中 p 是 q 的什么条件 1 在 ABC 中 p A B q sin A sin B 2 p x x q x2 x 0 解 1 若 A B 则 sin A sin B 即 p q 又若 sin A sin B 则 2Rsin A 2Rsin B 即 a b 故 A B 即 q p 所以 p 是 q 的充要条件 5 2 p x x x x x 0 A q x x2 x 0 x x 0 或 x 1 B A B p 是 q 的充分不必要条件 充分必要条件的应用 典题导入 例 3 已知 p 4 x a 4 q x 2 x 3 3 1 2 6 1 2012 福建高考 已知向量 a x 1 2 b 2 1 则 a b 的充要条件是 A x B x 1 1 2 C x 5 D x 0 解析 选 D a b 2 x 1 2 0 得 x 0 2 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 A 若一个数是负数 则它的平方不是正数 B 若一个数的平方是正数 则它是负数 C 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 D 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 解析 选 B 原命题的逆命题是 若一个数的平方是正数 则它是负数 3 2013 武汉适应性训练 设 a b R 则 a 0 b 0 是 的 a b 2ab A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 D 由 a 0 b 0 不能得知 如取 a b 1 时 由 a b 2ab a b 2ab a b 2 不能得知 a 0 b 0 如取 a 4 b 0 时 满足 但 b 0 综上所述 ab a b 2ab a 0 b 0 是 的既不充分也不必要条件 a b 2ab 4 已知 p a q 直线 x y 0 与圆 x2 y a 2 1 相切 则 p 是 q 的 2 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 A 由直线 x y 0 与圆 x2 y a 2 1 相切得 圆心 0 a 到直线 x y 0 的距离等于圆的半径 即有 1 a 因此 p 是 q 的充分不必要条件 a 22 5 2012 广州模拟 命题 若 x2 1 则 1 x 1 的逆否命题是 A 若 x2 1 则 x 1 或 x 1 B 若 1 x 1 则 x21 或 x1 7 D 若 x 1 或 x 1 则 x2 1 解析 选 D x2 1 的否定为 x2 1 1 xy 则 x y 的逆命题 B 命题 x 1 则 x2 1 的否命题 C 命题 若 x 1 则 x2 x 2 0 的否命题 D 命题 若 x2 0 则 x 1 的逆否命题 解析 选 A 对于 A 其逆命题是 若 x y 则 x y 是真命题 这是因为 x y y 必有 x y 对于 B 否命题是 若 x 1 则 x2 1 是假命题 如 x 5 x2 25 1 对于 C 其否命题 是 若 x 1 则 x2 x 2 0 由于 x 2 时 x2 x 2 0 所以是假命题 对于 D 若 x2 0 则 x 0 或 x1 因此原命题与它的逆否命题都是假命题 8 对于函数 y f x x R y f x 的图象关于 y 轴对称 是 y f x 是奇函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 B 若 y f x 是奇函数 则 f x f x f x f x f x y f x 的图象关于 y 轴对称 但若 y f x 的图象关于 y 轴对称 如 y f x x2 而它 不是奇函数 9 命题 若 x 0 则 x2 0 的否命题是 命题 填 真 或 假 解析 其否命题为 若 x 0 则 x2 0 它是假命题 答案 假 10 已知集合 A x y lg 4 x 集合 B x x a 若 P x A 是 Q x B 的充分不必要条件 则实数 a 的取值范围是 解析 A x x4 答案 4 8 11 2013 绍兴模拟 3 a 1 是 方程 1 表示椭圆 的 x2 a 3 y2 1 a 条件 解析 方程表示椭圆时 应有Error 解得 3 a 1 且 a 1 故 3 a1 是 x1 得 x1 又 x2 1 是 x a 的必要不充分条件 知由 x1 反之不成立 所以 a 1 即 a 的最大值为 1 答案 1 13 下列命题 若 ac2 bc2 则 a b 若 sin sin 则 实数 a 0 是 直线 x 2ay 1 和直线 2x 2ay 1 平行 的充要条件 若 f x log2x 则 f x 是偶函数 其中正确命题的序号是 解析 对于 ac2 bc2 c2 0 a b 正确 对于 sin 30 sin 150 30 150 所以 错误 对于 l1 l2 A1B2 A2B1 即 2a 4a a 0 且 A1C2 A2C1 所以 正确 显然正确 答案 14 已知集合 A B x log4 x a 1 若 x A 是 x B 的必要不 x 1 2 x2 x 6 1 充分条件 则实数 a 的取值范围是 解析 由x2 x 60 解得 x3 故 A x x3 1 2 由 log4 x a 1 即 0 x a 4 解得 a x 4 a 故 B x a x 4 a 由题意 可知 B A 所以 4 a 2 或 a 3 解得 a 6 或 a 3 答案 3 6 1 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 所对的边 则 Acos 2B 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 9 解析 选 C 由大边对大角可知 A B a b 由正弦定理可知 故 a b sin A0 sin B 0 所以 sin Acos 2B 所以 acos 2B 即 Acos 2B 的充要条件 2 设 x y 是两个实数 命题 x y 中至少有一个数大于 1 成立的充分不必要条件 是 A x y 2 B x y 2 C x2 y2 2 D xy 1 解析 选 B 命题 x y 中至少有一个数大于 1 等价于 x 1 或 y 1 若 x y 2 必有 x 1 或 y 1 否则 x y 2 而当 x 2 y 1 时 2 1 11 或 y 1 不能推出 x y 2 对于 x y 2 当 x 1 且 y 1 时 满足 x y 2 不能推出 x 1 或 y 1 对于 x2 y2 2 当 x 1 y2 故不能推出 x 1 或 y 1 对于 xy 1 当 x 1 y1 不能推出 x 1 或 y 1 故选 B 3 已知不等式 x m 1 成立的充分不必要条件是 x 则 m 的取值范围是 1 3 1 2 解析 由题意知 x 是 不等式 x m 1 成立的充分不必要条件 1 3 1 2 所以Error 是 x x m 1 的真子集 而 x x m 1 x 1 m x 1 m 所以有Error 解得 m 1 2 4 3 所以 m 的取值范围是 1 2 4 3 答案 1 2 4 3 4 在 a b 是实数 的大前提之下 已知原命题是 若不等式 x2 ax b 0 的解集 是非空数集 则 a2 4b 0 给出下列命题 若 a2 4b 0 则不等式 x2 ax b 0 的解集是非空数集 若 a2 4b 0 则不等式 x2 ax b 0 的解集是空集 若不等式 x2 ax b 0 的解集是空集 则 a2 4b 0 10 若不等式 x2 ax b 0 的解集是非空数集 则 a2 4b 0 若 a2 4ba 1 或 x 1 或x 1 且 a 或 a 1 1 且 a 1 2 1 2 0 a 故 a 的取值范围是 1 2 0 1 2 6 已知集合 M x x5 P x x a x 8 0 1 求 M P x 5 x 8 的充要条件 2 求实数 a 的一个值 使它成为 M P x 5 x 8 的一个充分但不必要条件 解 1 由 M P x 5 x 8 得 3 a 5 因此 M P x 5 x 8 的充要条件是 3 a 5 2 求实数 a 的一个值 使它成为 M P x 5 x 8 的一个充分但不必要条件 就是在 集合 a 3 a 5 中取一个值 如取 a 0 此时必有 M P x 5 x 8 反之 M P x 5 x 8 未必有 a 0 故 a 0 是 M P x 5 x 8 的一个充分不必要条件 1 2012 济南模拟 在命题 p 的四种形式的命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 中 正确命题的个数记为 f p 已知命题 p 若两条直线 l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 平行 则 a1b2 a2b1 0 那么 f p A 1 B 2