三角形的外展双叶形的几种类型及其性质.doc

三角形的外展双叶形的几种类型及其性质中学数学中有很多经典几何模型频频亮相于教材、著作、期刊资料、教辅资料，以及中、高考数学乃至竞赛数学中而经久不衰.这些模型往往承载了许多重要的数学知识，富于变化而蕴含多样的数学思想方法，它们为研究数学和培养学生的探究能力和创新精神提供了好素材.比如三角形的外展形或内展形模型就是其中一例.下面，我们介绍三角形的几类外展形和内展形，并以此为背景添加一些辅助条件，探讨其性质.1 定义三角形的外展形或内展形是指以三角形的边为公共边向三角形的外侧或内侧按照一定条件作出的平面图形下面是三角形的几种常见外展形或内展形：如图1，分别以的两边向外侧作的和为等边三角形，则称这两个等边三角形为外展双叶等边三角形图2如图2，分别以的两边向外侧作的四边形和为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形图1如图3，分别以的三边为边向外侧作的,和为等边三角形，则称这三个等边三角形为外展三叶等边三角形如图4，以的边为边向内侧作等腰，则称为内展单叶等腰三角形图3图5图4另外，我们把同一图形中三角形的外展形和内展形合称为三角形的双展形如图5，以的边为边向内侧作等边，以另两边为边向外侧作等边和等边，则称这三个等边三角形为双展三叶等边三角形类似于图15的情况，对于三角形或其它图形的外展形或内展性还有其它形式，此处不再逐一命名，并皆可统称为该图形的外展形（内展形或双展形）在初等数学中，以三角形的外展形或内展形为背景的平面几何问题很多，其中不乏一些历史名题譬如费马“三村短路”问题以三角形的内展三叶三角形为背景1、托里拆利定理2、外拿破仑三角形定理以外展三叶等边三角形为背景（内拿破仑三角形定理以内展三叶等边三角形为背景）3、几何原本中勾股定理的欧几里德证法就是以直角三角形的外展三叶正方形为背景、凯培特点定理以外展三叶相似等腰三角形为背景、三角形的塞萨罗定理以外展三叶相似三角形为背景、希波克拉茨定理（月形定理）以直角三角形的外展双叶半圆形为背景、帕普斯定理以三角形的双展三叶平行四边形为背景4下面，我们主要探讨三角形的几类外展双叶形的性质，限于文章篇幅，部分性质只给出证明思路而没有给出详解.2 外展双叶形的几种类型及性质2.1 外展双叶等边三角形三角形的外展双叶等边三角形在平面几何中是很常见的类型，下面主要介绍它的两个性质：图6性质1 如图6，和是（）的外展双叶等边三角形.连接，并分别取其中点，连接，则（I）；（II）是等边三角形.分析：（I）利用三角形全等的判定定理即得；（II）利用爱可尔斯定理即得：两等边三角形对应顶点连线段的三中点构成等边三角形5（实际上有更为一般的有：平面中，顺次连接两正向相似形对应顶点连线段的中点构成的平面图形相似于原图形）.证明过程略.评注：当时，和都退化为线段，而对于得到（II），条件可以再放宽，只要不是以为顶角且大小为的等腰三角形即可.特别地，若点在直线上且与点不重合时（退化为线段），外展双叶等边三角形演变为经典的“双正三角形”模型，结论仍然成立.xy图7性质2 如图7，和是的外展双叶等边三角形. 分别为两等边三角形的重心，连接,取其中点. 再连接，分别取的中点.然后连接.则有（I）；（II），且.证明思路：设,以点为坐标原点，分别以，的中垂线为轴建立直角坐标系，设点的坐标为.由条件易得点的坐标，并可表示向量，再利用向量公式可证结论成立.评注：本题证明的方法较多，除了高中数学常用的解析法、向量法外、复数法、三角函数法等外，还可以用初中平面几何的方法.此外，由条件还可以进一步研究得到更多的结论，如,所在的三条直线平行或相交于一点（当点在的垂直平分线上，且直线与直线不重合时，三线平行）；点关于直线的对称点是直线的交点；和的重心连线段被直线垂直平分（读者可以自行证明）.2.2 外展双叶相似三角形图8xy性质3 如图8，和是的外展双叶相似三角形（反向相似三角形， ,），连接，并取其中点.分别为和的垂心，连接，并取其中点，连接.设，则动点在平面上运动时有，且.证明思路：取线段的中点，则,以点为坐标原点，分别以，的中垂线为轴建立直角坐标系，设点的坐标为.由条件易得点的坐标，并可表示向量，再利用向量公式可证得结论成立.评注：性质3是性质2中结论（II）的推广，但若为外展双叶相似三角形重心连线段的中点，则结论不成立；特别地，当时，和的垂心分别为，此时，点即为线段的中点，点是线段中垂线上的不动点. 当时，两点重合.性质4 如图9，和是的外展双叶相似三角形（反向相似三角形，设，且），连接，分别取的中点.作直线，分别交线段的中垂线于点和点，线段的中垂线的交点为当为定点（不妨设），当动点在平面上运动时，有如下结论：（I）点为不动点，且；（II）点,分别是线段和的定比分点，点既是线段的定比分点，也是线段的定比分点图9xy证明：（I）设,以点为坐标原点，分别以，的中垂线为轴建立直角坐标系，设点的坐标为.则点的坐标分别为将该坐标平面看成复平面，则.整理得. （1） .整理得. （2）因为点是的中点，所以由（1），（2）易求得 . （3）又因为点是直线与轴的交点，所以由及（3）易求得，即点的坐标是，.故当为定点，动点在平面上运动时，点为定点.由（1），（2）知：.而是线段的中垂线的交点，即点是直线与轴的交点，易求得， （4）则点的坐标是 .所以当为定点，动点在平面上运动时，点为定点.又由，及（4）得（）.综上，当，动点在平面上运动时，点为不动点，且.（II）点是直线和直线的交点，由，及（3），（4）可求得 （5）由，和（4）得：（其中,，),所以是线段的定比分点；由，及（3）得：（其中,），所以是线段的定比分点；由和（5）得：（其中,），所以是线段的定比分点；由（3），（4），（5）得：（其中,），所以是线段的定比分点综上, 点,分别是线段和的定比分点，点既是线段的定比分点，也是线段的定比分点评注：性质3和性质4中，若和是的外展双叶相似三角形（反向相似三角形），当为定点，动点在平面上运动时，有类似的性质此外，关于外展双叶相似三角形还有一些研究，读者可以参看文献62.3 外展双叶等腰三角形特别地，在性质4中，将的外展双叶相似三角形和换成相似的等腰三角形，相应结论仍然成立此外，我们还可以得到一些特殊性质：图10-2xy图10-1xy性质5 如图10-1，10-2，和是的外展双叶等腰三角形，且两等腰三角形的顶角都为，连接，并取其中点则当为定点时，动点在平面上运动时所形成的轨迹与点运动轨迹是相似形，并且（I）当两等腰三角形的顶角时，相似比为（图10-1）（II）当两等腰三角形的顶角时，相似比为（图10-2）证明：性质4的结论在性质5的条件下仍然成立故点是定点，并由，及（3）易求得：（其中）（I）当两等腰三角形的顶角时，则为常数，点是定点，故点与点对点是位似变换，动点在平面上运动时所形成的轨迹与点运动轨迹是相似形，且相似比为（II）当两等腰三角形的顶角时，则为常数，点是定点，故点与点对点是位似变换，动点在平面上运动时所形成的轨迹与点运动轨迹是相似形，且相似比为2.4 外展双叶正方形性质6 如图11，四边形和四边形是的外展双叶正方形是线段的中点，分别连接，并分别取其中点，再连接则有（I）与的面积相等；（II）无论点处于平面内的何处位置，点的位置不变，且正是以为斜边的等腰直角三角形的顶点；图11（III）四边形为平行四边形分析：（I）利用，可证（II）的外展双叶正方形是性质5的一种特殊情况，见图10-2，此时，即两点重合（在线段的中垂线上），且皆为不动点再利用（已证，）即得从而命题得证（III）同证明性质4，用复数法，计算，易得，从而得到四边形为平行四边形证明过程略评注：外展双叶正方形还有许多性质，如连接有且7；当为定点，动点在平面上运动时，有类似的性质关于（II）中的不动点问题由来以久，1979年四川省数学竞赛曾围绕这个性质命制了一道赛题；1984年中学生数学，1992年福建中学数学，2010年中学数学先后刊载了题目为“枯井与宝剑”的故事，国外还有一个格摩难题以探宝为背景都揭示了这一数学规律，让人在“动静”的变化中寻味数学的奥秘8参考文献1 左宗明世界数学名题选讲M上海：上海科学技术出版社，1990.42 沈康身.数学魅力（一）M.上海：上海辞书出版社，2004.73 刘运宜.Napoleon定理的一个初等证法J.数学通报，2009，48（1）：57-594 沈文选，姚清桃几何瑰宝：平面几何500名题