期未复习-函数及其图象全章复习课

函数及其图象全章复习课函数及其图象全章复习课 教学目标教学目标 复习正比例函数 反比例函数的图象和性质 复习一次函数的图象和性质 复习二次函数的图 象和性质 教学重点和难点教学重点和难点 重点 二次函数的图象 性质和应用 难点 灵活运用二次函数的图象和性质解题 像求函数的最大值 最小值及图象解法等 教学过程设计教学过程设计 一 复习提要 在复习时 要掌握以下十七个概念及有关知识 1 正比例函数的概念 2 正比例函数的图象 3 正比例函数的性质 4 反比例函数的概念 5 反比例函数的图象 6 反比例函数的性质 7 一次函数的概念 8 一次函数的图象和性质 9 方程 Ax By C 0 的图象 10 二次函数的概念 11 二次函数 y ax2 bx c 的图象和性质 12 二次函数 y ax2 bx c 的图象和性质 13 二次函数 y ax2 bx c 的的图象的顶点坐标公式 对称轴方程 14 二次函数 y ax2 bx c 的图象的画法 15 根据已知条件求二次函数的解析式 16 求二次函数 y ax2 bx c 的最大值 最小值 17 用图象法解二次不等式 二 复习课的例题 例 1 已知 a b 是常数 且 y b 与 x a 成正比例 求证 y 是 x 的一次函数 分析 应写出 y b 与 x a 成正比例的表达式 然后判断所得结果是否符合一次函数定义 证明 由已知 有 y b k x a 其中 k 0 整理 得 y kx ka b 因为 k 0 且 ka b 是常数 故 y kx ka b 是 x 的一次函数式 例 2 填空 如果直线方程 ax by c 0 中 a 0 b 0 且 bc 0 则此直线经过第 象限 分析 先把 ax by c 0 化为 因为 a 0 b 0 所以 又 bc 0 即 0 故 0 相当于在一次函数 y kx l 中 k 0 l 0 此 直线与 y 轴的交点 0 在 x 轴上方 且此直线的向上方向与 x 轴正方向所成角是钝角 所以此直线过第一 二 四象限 例 3 一次函数图象与反比例函数 y 的图象的交点坐标分别是 P m 4 Q 1 m A y 4x 3 B y 4x 3 C y x 3 D y 4x 3 分析 把 P Q 两点坐标代入反比例函数式 y 得即 P 点坐标是 14 4 Q 点坐标是 1 1 设一次函数式的解析式是 y kx b 把 P Q 坐标代入 得 所求直线为 y 4x 3 先 A 例 4 把反比例函数 y 与二次函数 y kx2 k 0 画在同一个坐标系里 正确的是 答 选 D 这两个函数式中的 k 的正 负号应相同 图 13 110 例 5 对于二次函数 y x2 2ax 2a 3 分别满足下列条件 求系数 a 的值 1 图象与 x 轴没有交点 2 函数式为完全平方 3 函数的最小值为零 4 当 x 5 时 y 随 x 增大而增大 且 x 5 时 y 随 x 增大而减小 5 图象的顶点位置最高 并求这个顶点的坐标 6 图象在 x 轴上截得的线段长是 3 解 1 令 y 0 则二次函数 y x2 2ax 2a 3 变为二次方程 x2 2ax 2a 3 0 函数图象与 x 轴没 有交点 相当于二次方程没有实数解 由 2a 2 4 2a 3 4 a2 2a 3 令 0 即 a2 2a 3 0 用图象法解此二次不等式 设 y a2 2a 3 这里把 a 看作自变量 此图象与横轴交点的横坐标是方程 a2 2a 3 0 的解 即 a1 3 a2 1 使函数 y a2 2a 3 的 纵坐标为负值 即图象在横轴下方 这时的横坐标 a 应满足 1 a 3 图 13 111 所以 1 a 3 时 y x2 2ax 2a 3 的图象与 x 轴没有交点 2 对于二次三项式 ax2 bx c a 0 当且仅当 b2 4ac 0 时 ax2 bx c a x x1 x x2 x x1 2 这个二次三项式 是完全平方 由 2 2 4 2a 3 0 得 a1 3 a2 1 故 a 3 或 a 1 时 y x2 2ax 2a 3 是 完全平方 3 把函数 y x2 2ax 2a 3 配方成 y x h 2 k 的形式 y x2 2ax a2 a2 2a 3 x a 2 a2 2a 3 因为 y x a 2 a2 2a 3 a2 2a 3 所以 y 最小值是 a2 2a 3 由已知最小 值为 0 令 a2 2a 3 0 得 a 3 a 1 4 由已知可知 此图象的对称轴为 5 即 5 得 a 5 5 要使图象的顶点位置最高 应求顶点纵坐标的最大值 顶点纵坐标 用配方法求最大值 a2 2a 3 a2 2a 1 1 3 a 1 2 4 4 所以当 a 1 时 顶点纵坐标最大值是 4 而顶 点横从标为 a 故最高的顶点坐标是 1 4 6 图象与 x 轴两个交点的横坐标就是方程 x2 2ax 2a 3 0 的两个根 设这两个根为 x1 x2 由 x1 x2 3 得 x1 x2 2 9 即 x1 x2 2 4x1x2 9 又 x1 x2 2a x1x2 2a 3 代入 得 2a 2 4 2a 3 9 即 4a2 8a 21 0 所以 a1 72 a2 32 又 a1 a2都满足 0 答 当 a 或 a 时 图象在 x 轴上截得的线段长为 3 例 6 已知 一次函数 y ax b a b 是整数 二次函数 y x2 3 二次函数 y x2 6x 7 二次函数 y x2 4x 5 如果 与 的图象有两个交点 与 的图象只有一个交点 与 的图象没有交点 求整数 a b 的值 解 由的 x2 ax 3 b 0 因为图象有两个交点 所以此二次方程的根的差别式 a 2 4 3 b 0 由 即 x2 6 a x 7 b 0 6 a 2 4 7 b 0 答 所求整数为 a 2 b 3 例 7 k 取什么值时 二次函数 y x2 2 k 4 x 2 k2 2 的图象与 x 轴的两个交点都在 y 轴的右 侧 分析 交点的横坐标 就是方程 x2 2 k 4 x 2 k2 2 0 的两个根 x1 x2 两个交点都在 y 轴 右方 相当于方程两根都是正值 所以应满足以下三个条件 0 x1 x2 0 x1 x2 0 答 时 函数 y x2 2 k 4 x 2 k2 2 的图象与 x 轴的两个交 点都在 y 轴的右侧 例 8 画出 y x 2 2 x 3 的图象 分析 为了去掉绝对值符号 应分 x 0 x 0 讨论 解 x 0 时 x x 所以 y x2 x 3 当 x 0 时 x x 所以 y x2 2x 3 用分段函 数表示为的顶点为 1 4 与 y 轴交点为 0 3 与 x 轴交点横坐标为方程 x2 2x 3 0 的解 x1 3 x2 1 舍去 y x2 2x 3 的顶点为 1 4 与 y 轴交点为 0 3 与 x 轴交点横坐标为方程 x2 2x 3 0 的解 x1 3 x2 1 舍 去 函数图象是图 13 112 中的实线部分 A B 与 y 轴交于 C 顶点是 M 1 试确定 a b c 的正负号 2 如果线段 OA 的长与 OC 的长相等 求证 ac b 1 解 1 因为抛物线开口向下 所以 a 0 又抛物线与 y 轴交点为 0 c 而此点在 x 轴上方 故 c 0 又顶点在 y 轴右侧 所以 0 而 a 0 所以 b 0 故 y ax2 bx c 中 a 0 b 0 c 0 2 设 A 点坐标为 x1 0 则 x1是方程 ax2 bx c 0 的一个根 由点 A 在 y 轴左侧 得 x1 0 又点 C 与 y 轴交点为 0 c 且 C 点 在 x 轴上方 所以 c 0 又由 OC 长与 OA 长相等 所以 c x1 即 x1 c 又因为 x1是方程 ax2 bx c 0 的一个根 所以 x1 c 适合 此方程 即 a c 2 b c c 0 ac2 bc c 0 由 c 0 式可 除以 c 得 ac b 1 0 故 ac b 1 例 10 如图 13 114 正方形 ABCD 的边长为 1 在 AB 和 AD 上分别取 E F 两点 且 AE AF 设四边形 CEFD 的面积用记号 S 表示 求 S 的最大 值与最小值 分析 AE AF 是变量 S 是变量 x 的函数 先列出函数式 解法 1 设 AE x 则 S SABCD S AEF S ACE 1 x2 1 x 所 以 S x2 x 其中 0 x 1 这个函数图象的开口向下 顶点为 对称轴为 x 与 y 轴交于点 0 根据轴 x 对称 它有一个点为 1 画图时要注意 图象只能画 0 x 1 那一部分 图 象是图 13 115 中的实线部分 可知 当 x S 有最大值 当 x 0 或 x 1 时 S 有最小值 图 13 116 表示 x AE AF 时 S 的最大面积 图 13 177 表示 x AE AF 0 时 A E F 三点重合在一起 这时四边形 CEFD 的面积就是 CAD 的面积 S 图 13 118 表示 x AE AF 1 时 E 与 B 重合 D 与 F 重合 这时四边形 CEFD 面积就是 CBD 的面积 S 解法 2 S x2 x x 2 其中 0 x 1 因为在 0 与 1 之间 所以 S x 2 当 x 时 等号成立 即 x 时 S 有 最大值 又 0 x 时 y 值随 x 增大而增大 而 0 是 x 的最小值 所以 S 有最小值 02 0 又 x 1 时 y 值随 x 增大而减小 而 1 是 x 的最大值 所以 S 有最小值 1 1 三 作业 1 结合函数 y 3x 15 的图象 确定当 x 取什么值时 1 y 0 2 y 0 3 y 0 2 结合函数 y x 2 2 1 的图象 确定当 x 取什么值时 1 y 0 2 y 0 3 y 0 4 y 有最小值 3 点 3 2 是反比例函数图象上一点 1 写出这个函数解析式 2 画出函数图象 3 x 取什么值时 函数值小于 1 4 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的两个交点的横坐标是 且与 y 轴交点的纵坐标是 5 求这个二次函数的解析式 5 已知抛物线的对称轴是 y 轴 并且经过 3 2 2 3 命这个抛物线记号为 L 1 求抛物线 L 关于 x 轴对称的图象的函数解析式 2 把抛物线 L 绕它的顶点旋转 180 得到抛物线 L 把 L 向左平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 写出移动后所得抛物线的函数解析式 作业的答案或提示 1 y 3x 5 的图象见图 13 119 x 5 时 y 0 x 5 时 y 0 时 x 5 时 y 0 2 y x 2 2 1 x2 4x 3 图 13 120 图象与 x 轴交于点 1 0 3 0 x 1 x 3 时 y 0 x 1 x 3 时 y 0 1 x 3 时 y 0 答 x x 6 时 函数值小于 1 4 由已知条件 得 所求函数解析式为 5 设抛物线 L 的解析式为 y ax2 c 把 3 2 2 3 的坐标代入 式 得 所以抛物线 L 的解析式为 1 如果图 13 122 因为抛物线 L 的 顶点为 0 它关于 x 轴的对称 点是 0 所以抛物线 L 关于 x 轴对称的图象的解析式是 2 抛物线 L 绕它的顶点旋转 180 得到的抛物线 L 的方程是把 L 向左科移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 得到的抛物线方程 为 y x 3 2 2 即 课堂教学设计说明 关于正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数的复习 要掌握它们的性质 图象画法 及这些函数综合在一起的问题 在设计 叙述 讲解时 应时时处处发挥数形结合的作用 在本课时设计中 先列出了十七项应复习 掌握的内容 使复习有目标 有重点 随后设计 了十个例题 1 例 1 与例 2 是复习正比例函数及一次函数 既有证明题又有填空题 例 2 要把二元一次方程 先转化为一次函数式 再判断 k b 的正负 2 例 3 与例 4 都涉及反比例函数 既要用到 点在图形上 与 坐标适合函数式 的数与形的 转化 还要用到用待定系数法求函数解析式 3 例 5 涉及到 0 与二次函数图象和 x 轴不