高中数学选修2-2知识总结(详尽版)

1 选修选修 2 22 2 考点总结考点总结 详尽版详尽版 一 导数复习 一 导数复习 1 1 平均变化率平均变化率 函数的平均变化率函数的平均变化率 函数值的改变量 自变量的改变量 fxxfxfxxfx xxxx 注注 1 1 其中 其中x 是自变量的改变量 可正 可负 但不可零 是自变量的改变量 可正 可负 但不可零 注注 2 2 函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度 函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度 2 2 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 00 limlim xx f xxf xf xxf x xxxx 注注 1 1 当 当函数值的改变量 自变量的改变量 存在极限时 极限值叫做瞬时变化率 并把这个变化率叫做导数 即 存在极限时 极限值叫做瞬时变化率 并把这个变化率叫做导数 即 0 lim x f xxf x fx x 或记作或记作 xy 注注 2 2 函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度 函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度 3 3 导数定义 导数定义 0 lim x f xxf x fx x 导数概念易考 所以必须理解导数概念易考 所以必须理解 4 4 八个求导公式 八个求导公式 函数函数导函数导函数不定积分不定积分 yc 0y n yx nN 1 n ynx yx 0 0 xQ 1 yx 1 1 1 nn x dxxc n 1n x ya 0 1aa ln x yaa 强记强记 ln x x a a dxc a x ye x ye xx e dxec logayx 0 1 0aax 1 ln y xa 强记强记 lnyx 1 y x 1 lndxxc x sinyx cosyx cossinxdxxc cosyx sinyx 符号不要忘记符号不要忘记sincosxdxxc 5 5 导数的几种应用 导数的几种应用 1 1 求曲线在某点的切线斜率及其切线方程 分两类 求曲线在某点的切线斜率及其切线方程 分两类 曲线曲线在在点点处的切线方程为 处的切线方程为 y f xy f x0 0 f f x x0 0 x x x x0 0 1 1 00 xf x 曲线曲线过过点 点 m nm n 的切线方程 设切点为 的切线方程 设切点为 表达出表达出 y f xy f x0 0 f f x x0 0 x x x x0 0 2 2 00 xf x 代入点 代入点 m nm n 求出求出 x x0 0 f xf x0 0 及及 f f x x0 0 最后代入最后代入 y f xy f x0 0 f f x x0 0 x x x x0 0 即可即可 2 2 求单调区间求单调区间 解解得得增区间 解增区间 解得得减区间 注意 单调区间一减区间 注意 单调区间一 0fx fx 0fx fx 2 定写成区间形式 且不能并起来 定写成区间形式 且不能并起来 3 3 已知函数单调性求参数范围已知函数单调性求参数范围 单调性的逆向问题单调性的逆向问题 首先转换成恒成立问题 等号不能少 首先转换成恒成立问题 等号不能少 再 再 分离参数于一端 求另一端的最值 分离参数于一端 求另一端的最值 附 常见最值求法 换元法 千万注意新元范围 附 常见最值求法 换元法 千万注意新元范围 二次函数值域问题 画图分析 二次函数值域问题 画图分析 均值不 均值不 等式 分离常数思想等式 分离常数思想 4 4 求极值 最值 求极值 最值 最值定理 连续函数在闭区间上一定有最大 最小值 求极值和最值的过程都 最值定理 连续函数在闭区间上一定有最大 最小值 求极值和最值的过程都 需要画表格 切记需要画表格 切记 优点 明确变化状态表的地位 认识变化状态表的重要性优点 明确变化状态表的地位 认识变化状态表的重要性 一表在手 性质一表在手 性质 全有全有 5 5 证明不等式 比较大小 证明不等式 比较大小 证明证明 f x g x f x g x 先构造函数先构造函数 F x f x g x F x f x g x 只需证只需证 F x F x min min 0 0 二 积分复习 导数的逆运算 二 积分复习 导数的逆运算 1 1 积分定义 积分定义 此时称函数在区间 此时称函数在区间 ba上可积 上可积 n i i n b a n ab fdxxf 1 lim 其中其中 xf叫做被积函数 叫做被积函数 a叫积分下限 叫积分下限 b叫积分上限 叫积分上限 dxxf叫做被积式叫做被积式 2 2 常见的导数和定积分运算公式 若 常见的导数和定积分运算公式 若 fx g x均可导 可积 均可导 可积 则有 则有 和差的导数运算和差的导数运算 fxg xfxgx 积的导数运算积的导数运算 fx g xfx g xfx gx 特别地 特别地 CfxCfx 商的导数运算商的导数运算 2 fxfx g xfx gx g xgx 记准了 记准了 特别地 特别地 2 1 gx g xgx 复合函数的导数复合函数的导数 xux yyu 易错处 对两层复合必须熟悉 能口算 易错处 对两层复合必须熟悉 能口算 和差的积分运算和差的积分运算 bbb aaa fxg xdxfx dxg x dx 特别地 特别地 bb aa kfx dxkfx dx 积分的区间可加性积分的区间可加性 bcb aac fx dxfx dxfx dx 3 3 微积分基本定理 如果 微积分基本定理 如果 xfxF 且 且 xf在在 ba上可积 则上可积 则 aFbFxFdxxf b a b a 其中其中 xF叫做叫做 xf的一个原函数 因为的一个原函数 因为 xfxFCxF 关键在于正确利用求导公式寻求关键在于正确利用求导公式寻求 被积函数的一个原函数被积函数的一个原函数 4 4 定积分的应用定积分的应用 1 1 用积分的几何意义求面积 用积分的几何意义求面积 基本步骤为基本步骤为 画图形画图形 求交点求交点 写积分写积分 算面积算面积 注意 根据情况灵活选择用注意 根据情况灵活选择用 x x 型或型或 y y 型型 求面积求面积 或利用几何意义求特殊的积分 或利用几何意义求特殊的积分 3 0 2 9dxx 3 2 2 定积分在物理中的应用 定积分在物理中的应用 位移的导数为速度 速度的导数为加速度 位移的导数为速度 速度的导数为加速度 s t s t v t v t v t v t a t a t 反之反之 s t s t 1 1 2 1 t t dttv v t v t 2 1 t t dtta 变力做功 变力做功 这里这里 F x F x 是关于位移是关于位移 x x 的函数的函数 2 2 b a dxxFw 三 推理与证明三 推理与证明 1 1 合情推理 合情推理 1 1 归纳推理是由特殊到一般的推理 归纳推理是由特殊到一般的推理 2 2 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 2 演绎推理 是从一般性的原理 定义 性质定理 判定定理 公理 公式等 出发 推出某个特殊情况演绎推理 是从一般性的原理 定义 性质定理 判定定理 公理 公式等 出发 推出某个特殊情况 下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 又称为逻辑推理下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 又称为逻辑推理 简言之 演绎推理是由简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 一般到特殊的推理 3 3 三段论 三段论是演绎推理的一般模式 包括 大前提 小前提 结三段论 三段论是演绎推理的一般模式 包括 大前提 小前提 结 论论 4 4 综合法 由因导果综合法 由因导果 用此法需要审清每个已知条件及隐含条件 全盘考虑 更有赖于学生的解题方法用此法需要审清每个已知条件及隐含条件 全盘考虑 更有赖于学生的解题方法 经验经验 5 5 分析法 执果索因 由结论入手寻求其成立的充分条件 俗称逆推 分析法 执果索因 由结论入手寻求其成立的充分条件 俗称逆推 6 6 反证法步骤 反证法步骤 假设命题的反面成立 假设命题的反面成立 以此为依据结合已知条件以此为依据结合已知条件经过演绎推理 推出矛盾 从而说明假经过演绎推理 推出矛盾 从而说明假 设不成立 即原命题成立 设不成立 即原命题成立 难在矛盾的不可预知性难在矛盾的不可预知性 常见否定词表 理解性的看看即可 不用抄 常见否定词表 理解性的看看即可 不用抄 正面正面 词语词语 等于等于 大于大于 小于小于 至多至多 n个个 至少至少 n个个 至多至多 一个一个 至少至少 一个一个 否定否定 词语词语 不等于不等于 不大于不大于 不小于不小于 至少至少 1 n个个 至多至多 1 n个个 至少至少 两个两个 一个一个 没有没有 正面正面 词语词语 是是都是都是全是全是所有所有任意任意任意任意 两个两个 存在存在 否定否定 词语词语 不是不是不都是不都是不全是不全是某些某些某个某个某某 两个两个 任意任意 7 7 数学归纳法解题步骤 一个与 数学归纳法解题步骤 一个与自然数相关自然数相关的命题 如果 的命题 如果 1 1 当 当n取第一个值取第一个值 0 n时命题成立 时命题成立 2 2 在 在 假设当假设当 0 nkNkkn 时命题成立的前提下 推出当时命题成立的前提下 推出当1 kn时命题也成立 那么可以断定 这个时命题也成立 那么可以断定 这个 命题对命题对n取第一个值后面的所有正数成立 取第一个值后面的所有正数成立 注意事项 注意事项 必须理解原命题含义必须理解原命题含义初始值并不都是初始值并不都是 1 1 开始的开始的两凑 凑假设 凑结论 得具有目标意识 两凑 凑假设 凑结论 得具有目标意识 1 1 2 2 3 3 难在由难在由 n kn k 到到 n k 1n k 1 命题的变化命题的变化 数学归纳法易和数列结合考察数学归纳法易和数列结合考察 四 复数复习四 复数复习 1 1 基本概念基本概念 复数的单位为复数的单位为 i i 它的平方等于 它的平方等于 1 1 即 即1i2 复数及其相关概念 复数及其相关概念 复数复数 形如 形如a a b bi i 的数 其中的数 其中Rba 实数 当 实数 当 b b 0 0 时的复数时的复数a a b bi i 即 即a a 4 虚数 当虚数 当0 b时的复数时的复数a a b bi i 纯虚数 当 纯虚数 当a a 0 0 且且0 b时的复数时的复数a a b bi i 即 即b bi i 复数复数a a b bi i 的实部与虚部 的实部与虚部 a a叫做复数的实部 叫做复数的实部 b b叫做虚部 注意叫做虚部 注意a a b b都是实数 都是实数 复数集复数集 C C 全体复数的集合 一般用字母全体复数的集合 一般用字母 C C 表示 其分类 表示 其分类 0 0 0 0 b abi a bR a b a 两个复数相等的定义 两个复数相等的定义 00 babiaRdcbadbcadicbia 特别地 其中 且 两个复数 如果不全是实数 就不能比较大小两个复数 如果不全是实数 就不能比较大小 若若Ccba 则 则0 222 accbba是是cba 的必要不充分条件的必要不充分条件 当 当 22 iba 0 1 22 accb时 上式成立 时 上式成立 2 2 复数与坐标 方程复数与坐标 方程 复平面内的两点间距离公式 复平面内的两点间距离公式 21 zzd 其中其中 21 zz 是复平面内的两点是复平面内的两点 21 zz 和所对应的复数 所对应的复数 21 zzd和表示间的距离间的距离 由上可得 复平面内以由上可得 复平面内以 0 z为圆心 为圆心 r为半径的圆的复数方程 为半径的圆的复数方程 0 0 rrzz 常见常见曲线方程的复数表示形式 曲线方程的复数表示形式 00 zrzz表示以 为圆心 为圆心 r r 为半径的圆的方程为半径的圆的方程 21 zzzz 表示线段表示线段 21z z的垂直平分线的方的垂直平分线的方 程程 212121 202ZZzzaaazzzz 表示以且 为焦点 长半轴长为为焦点 长半轴长为a a的椭圆的方程 若的椭圆的方程 若 21 2zza 此方 此方 程表示线段程表示线段 21 ZZ 2121 202zzaazzzz 表示以表示以 21 ZZ 为焦点 实半轴长为为焦点 实半轴长为a a的双曲线方程 若的双曲线方程 若 21 2zza 此方程表示两条射线 此方程表示两条射线 绝对值不等式 设绝对值不等式 设 21 zz 是不等于零的复数 则是不等于零的复数 则 212121 zzzzzz 212121 zzzzzz 仅仅了解 实数范围内的也有类似不仅仅了解 实数范围内的也有类似不 等式等式 5 3 3 共轭复数的性质 共轭复数的性质 21 21 zzzz 和的共轭等于共轭的和 和的共轭等于共轭的和 21 21 zzzz 差的共轭等于共轭的差 差的共轭等于共轭的差 2 1 2 1 z z z z 0 2 z 商的共轭等于共轭的商 商的共轭等于共轭的商 2121 zzzz 积的共轭等于共轭的积 积的共轭等于共轭的积 nn zz 以上性质课本上没有但如果了解有时会方便计算 仅仅了解即可 以上性质课本上没有但如果了解有时会方便计算 仅仅了解即可 以下必须掌握 以下必须掌握 azz2 i2bzz za a b bi i 22 zzzz 最易错 最易错 4 4 复数的四则运算 若两个复数复数的四则运算 若两个复数 z z1 1 a a1 1 b b1 1i i z z2 2 a a2 2 b b2 2i i 1 1 加法 加法 z z1 1 z z2 2 a a1 1 a a2 2 b b1 1 b b2 2 i i 2 2 减法 减法 z z1 1 z z2 2 a a1 1 a a2 2 b b1 1 b