第一章-量子论基础

第五章 近似方法 一 概念与名词解释 1 斯塔克效应 2 跃迁概率 3 费米黄金规则 4 选择定则 二 计算 1 如果类氢原子的核不是点电荷 而是半径为 r0 电荷均匀分布的 小球 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正 2 转动惯量为 I 电矩为 D 的空间转子处在均匀电场 E 中 如果电 场较小 用微扰理论求转子基态能量的二级修正 3 转动惯量为 I 电矩为 D 的平面转子处在均匀弱电场 E 中 电场 处在转子运动的平面上 用微扰法求转子的能量的二级修正 4 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是a b 是实数 a Eb ba E 0 2 0 1 1 用微扰公式求能量至二级修正 2 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解 并与 1 的结 果比较 5 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 E E E E0 0 E 0 1 0 2 0 2 b a b 0 1 a 0 1 为 1 用简并微扰方法求能量至二级修正 2 求能量的准确值 并与 1 的结果比较 6 在简并情况下 求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级 修正 7 线谐振子受到微扰 aexp x2 的作用 计算基态能量的一级修正 其中常数 0 8 设线谐振子哈密顿算符用升算符 a 与降算符 a 表示为 此体系受到微扰的作用 求体系的 1 2 a aH 0 a a H 能级到二级近似 已知升与降算符对的本征态 n 的作用为 0 H 1nnna 1n1nna为 9 一个电荷为 q 的线谐振子受到恒定弱电场的作用 利用微iE 扰论求其能量至二级近似 并与其精确结果比较 10 一维非简谐振子的哈密顿量为 H p2 2m m 2x2 2 x3 是常数 若将看成是微扰 用微扰论求能量至二级修正 求能量本 3 xH 征函数至一级修正 11 二维耦合谐振子的哈密顿量为 H px2 py2 2 2 x2 y2 2 xy 若 1 试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数 12 在各向同性三维谐振子上加一微扰求第一激发态的 bzaxyH 2 一级能量修正 13 一维无限深势阱 0 x a 中的粒子 受到微扰 作用 求基态能量的一级修正 a x a 2 x a 2x 1 a 2 x 0 x a 2 H 14 处于一维无限深势阱 0 x a 中的粒子 受到微扰 的作用 计算基态能量的一级修正 2a 3 x a 3 V a xa 3 2a 3x 0 0 H 1 15 在一维无限深势阱 0 x a 中运动的粒子 受微扰 作用 求波函数至一级修正 a x a 2 b a 2 x 0 b H 为 为 16 一个粒子处在二维无限深势阱中运动 现 a yx 0 0 y V x 为为 加上微扰求基态能量和第一激发态的能量修正 a yx xy 0H 值 17 粒子在如下势阱中运动求其 a x0 x a x 0 ax a 80sin V x 222 为 基态能量的一级近似 18 粒子处于如下势阱中求其能级的一 a X0 x a x a 2 a 80 a 2 x 0 0 V x 222 级近似值 19 自旋为 2 的粒子处于一维无限深方势阱 0 x0 时起 附 加一与谐振子振动方向相同的恒定外电场 求其处在任意态 的概率 25 一个自旋为 2 磁矩为的粒子处于如下弱旋转磁场中s g 粒子与磁场的作用为若粒子 kBjt sin Bit cos BB 00 Bs g 为 开始处于 sz 2 的状态 讨论跃迁情况并计算跃迁概率 26 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数 27 一个处在第一激发态 2p 的氢原子位于一空腔中 求空腔温度等 于多少时 自发跃迁概率和受激跃迁概率相等 28 一个粒子在吸引势 V r g2 r3 2中运动 试用类氢原子的波函数 作为尝试波函数 求基态能量 29 以为试探波函数 求氢原子基态能量与波函数 其 exp cr r 2 中 c 0 30 设一维非简谐振子的哈密顿算符为以 x 2 p H 42 x 为试探波函数 a 为变分参数 求其基态能 2 xexp aa x 22 量 31 取尝试波函数为C 为归一化常数 a 是变分参数 试用变 Ce 2 ax 分法求谐振子的基态能量和基态波函数 并算出归一化常数 C 32 设粒子在中心力场 V r Arn n 为整数 中运动 选 R r Nexp r 为试探波函数 求其基态能量 进而求出库仑场 n 1 A 0 和谐振子势 n 2 A态跃迁到 n 态相应的振子强度为 m 是粒子质量 求证 mxn2mf 2 nmnm n nm 1f 3 设体系在 t 0 时处于基态 0 若长时间加上微扰 证明该体系处于另一能量本征态 1 的概率为 x exp t F t x W 222 01 2 E E 1F 0 四 综合题 1 一根长度为 d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动 棒 的质量为 M 在棒的两端分别有电荷 Q 和 Q 1 写出体系的哈密顿量 本征函数和本征值 2 如果在转动平面内存在一电场强度为 E 的弱电场 准确到一级 修正 它的本征函数和能量如何变化 3 如果这个电场很强 求基态的近似波函数和相应的能量值 2 对于一个球形核来说 可以假定核子处在一个半径为 R 的球对称 势阱中 势场是相应地 对发生微小形变的核 可 R r R r 0 V 以认为核子处在椭球形势阱中 势壁高仍为无限大 即势场是 其中 a R 1 2 3 b R 1 3 1 az by x 0 V 22222 el 为 为为为为为为 为为 且 1 利用微扰论 准确到一级近似 求椭球形核相对于球 形核基态能量的变化 提示 作变量代换 将椭球形势阱化成球 形势阱后再讨论微扰影响 3 一个量子体系由哈密顿量 H H0 H 描述 其中 H i A H0 是一 个加在非微扰哈密顿量 H0上的微扰 A 是个厄米算符 是个实 数 设 B 是另一个厄米算子 而且 C i B A 1 已知 A B C 在无微扰 非简并 基态的平均值为 0 0 0 当微扰加入时 求 B 在微扰后的基态上的平 均值至 的第一级 2 将这个结果用到如下三维问题上 计算 xi在基态的平均值 i 1 2 3 x H xm 2 1 2m p H 3 3 1i 2 i 2 2 i 0 至 的最低阶 并将这个结果和精确解相比较 4 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中 取平行板法线方向为 z 轴方向 电场沿 z 轴方向 可视为均匀电场 设电容器突然充电 然后放电 电场随时间的变化是求时间 0 t e 0 t 0 t t 0 为为为 充分长后 氢原子跃迁到 2s 态和 2p 态的概率 5 考虑势 U g x 的能级 1 用量纲分析 推导本征值和参数 质量 m g 的关系 2 用尝试波函数 C x a a x 1 x a 对基态能量作变分计算 0 x 1 0 x 0 x C a 3 为什么 C x C a x 不是一个好的尝试波函数 4 如果要求第一激发态能量 你将如何处理 6 一个质量为 m 的粒子在汤川势 U r e r r 中运动 用变分法 取尝试波函数 e ar 问 的临界值 0等于多少时 能使得 0有束缚态 7 介子一般可看成夸克