利用反比例函数解决实际问题

3 利用反比例函数解决实际问题 第 1 题 2007 安徽课改 4 分 一张正方形的纸片 剪去两个一样的小矩形得到一 个 E 图案 如图所示 设小矩形的长 宽分别为 剪去部分的面积为 xy 20 若 则与的函数图象是 210 x yx 5 1 O x y 210 A 5 1 O x y 210 B 2 O x y 210 C 10 2 O x y 210 D 10 答案 A 第 2 题 2007 安徽芜湖课改 5 分 在对物体做功一定的情况下 力 F 牛 与此物体在力的方向上移动的距离 s 米 成反比例函数关系 其图象如图所 示 P 5 1 在图象上 则当力达到 10 牛时 物体在力的方向上移动的距离 是 米 答案 0 5 第 3 题 2007 广东梅州课改 3 分 近视眼镜的度数 度 与镜片焦距 米 成反比例 已知 400 度yx 近视眼镜镜片的焦距为 0 25 米 则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 yx 答案 100 y x 第 4 题 2007 甘肃陇南非课改 3 分 你吃过兰州拉面吗 实际上在 做拉面的过程中就渗透着数学知识 一定体积的面团做成拉面 面条 的总长度 cm 是面条粗细 横截面积 x cm2 的反比例函数 假设其图象如图所示 则 与 x 的函数关系式为 答案 x 0 128 y x 第 5 题 2007 广东茂名课改 4 分 已知某村今年的荔枝总产量是吨 是常数 设该村荔枝的人pp 均产量为 y 吨 人口总数为 x 人 则 y 与 x 之间的函数图象是 答案 D x y 12 12 x y ox y ox y ox y o A B C D 第 6 题 2007 广西南宁课改 3 分 已知甲 乙两地相距 km 汽车从甲地匀速行驶到乙地 则汽车s 行驶的时间 h 与行驶速度 km h 的函数关系图象大致是 tv 答案 C 第 7 题 2007 黑龙江佳木斯课改 3 分 在一个可以改变容积的密闭容器内 装有一定质量的某种气体 m 当改变容积时 气体的密度也随之改变 与在一定范围内满足 当时 它的函数v v m v 7kgm 图象是 答案 D 第 8 题 2007 湖北十堰课改 3 分 根据物理学家波义耳 1662 年的研究结果 在温度不变的情况下 气 球内气体的压强与它的体积的乘积是一个常数 即 为常数 下列图象 a p p 3 v mkpvk k0k 能正确反映与之间函数关系的是 pv 答案 第 9 题 2007 吉林长春课改 7 分 如图 在平面直角坐标系中 为轴正半轴上一点 过作轴AyAx 的平行线 交函数的图象于 交函数的图象于 过作轴的平行线交 2 0 yx x B 6 0 yx x CCy 的延长线于 BDD 1 如果点的坐标为 求线段与线段的长度之比 3 分 A 0 2 ABCA 2 如果点的坐标为 求线段与线段的长度之比 3 分 A 0 a ABCA 3 在 2 的条件下 四边形的面积与 1 分 AODC t h v km h O t h v km h O t h v km h O t h v km h O A B C D A O 3 m v 3 kg m B O 3 m v 3 kg m C O 3 m v 3 kg m D O 3 m v 3 kg m pppp OOOO vvvv 答案 1 轴 0 2 A BCx 12 B 3 2 C 1AB 3CA 线段与线段的长度之比为 ABCA 1 3 2 轴 0 Aa BCx 2 Ba a 6 Ca a 2 AB a 6 CA a 线段与线段的长度之比为 ABCA 1 3 3 15 7 分 第 10 题 2007 江苏常州课改 10 分 已知与是反比例函数图象上的两 1 Am 23 3 Bm k y x 个点 1 求的值 k 2 若点 则在反比例函数图象上是否存在点 使得以四点为顶点的四 10 C k y x DABCD 边形为梯形 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 D 答案 解 1 由 得 因此 1 2 3 3 mm AA2 3m 2 3k 2 如图 1 作轴 为垂足 则 因此 BEx E3CE 3BE 2 3BC 30BCE A B C O D x y 6 y x 2 y x A B C x y 1 1 1 1 O 由于点与点的横坐标相同 因此轴 从而 CACAx 120ACB 当为底时 由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点 ACBACB 故不符题意 当为底时 过点作的平行线 交双曲线于点 BCABCD 过点分别作轴 轴的平行线 交于点 AD xyF 由于 设 则 30DAF 11 0 DFm m 1 3AFm 1 2ADm 由点 得点 12 3 A 11 132 3 Dmm 因此 11 13 2 3 2 3mm A 解之得 舍去 因此点 1 7 3 3 m 1 0m 3 6 3 D 此时 与的长度不等 故四边形是梯形 14 3 3 AD BCADBC 如图 2 当为底时 过点作的平行线 与双曲线在第一象限内的交点为 ABCABD 由于 因此 从而 作轴 为垂足 ACBC 30CAB 150ACD DHx H 则 设 则 60DCH 22 0 CHm m 2 3DHm 2 2CDm 由点 得点 10 C 22 13 Dmm 因此 22 1 32 3mm A 解之得 舍去 因此点 2 2m 2 1m 12 3 D 此时 与的长度不相等 故四边形是梯形 4CD ABABDC 如图 3 当过点作的平行线 与双曲线在第三象限内的交点为时 CABD 同理可得 点 四边形是梯形 23 D ABCD 综上所述 函数图象上存在点 使得以四点为顶点的四边形为梯形 点的坐 2 3 y x DABCD D 图 1 A B C x y O F D E 图 2 A B C x y O D H 图 3 A B C x y O D 标为 或或 3 6 3 D 12 3 D 23 D 第 11 题 2007 江苏连云港课改 4 分 小明家离学校 小明步行上学需 那么小明步行速1 5kmminx 度可以表示为 水平地面上重的物体 与地面的接触面积为 那么该物 m min y 1500 y x 1500N 2 mx 体对地面压强可以表示为 函数关系式还可以表示许多不同情境中变 2 m y N 1500 y x 1500 y x 量之间的关系 请你再列举 1 例 答案 体积为 1 500的圆柱底面积为 3 cm 2 cmx 那么圆柱的高可以表示为 其它列举正确均可 cm y 1500 y x 第 12 题 2007 辽宁 12 市课改 10 分 某服装厂承揽一项生产夏凉小衫 1600 件的任务 计划用 t 天完 成 1 写出每天生产夏凉小衫 w 件 与生产时间 t 天 t 4 之间的函数关系式 2 由于气温提前升高 商家与服装厂商议调整计划 决定提前 4 天交货 那么服装厂每天要多做多少件 夏凉小衫才能完成任务 答案 解 1 1600 w t 2 16001600 4tt 16001600 4 4 tt t t 2 64006400 4 4t ttt 或 答 每天多做 或 件夏凉小衫才能完成任务 4 6400 tttt4 6400 2 第 13 题 2007 内蒙呼和浩特课改 7 分 如图 已知反比例函数的图象与一次函数 1 2 k y x 的图象交于两点 2 yk xb AB 1 An 1 2 2 B 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 在轴上是否存在点 使为等腰三角形 若存在 请你直接写出点的坐标 若不存在 xPAOP P 请说明理由 答案 解 1 点在反比例函数图象上 1 2 2 B 1 2 k y x 1 2 1 2 2 k 1 2k 反比例函数的解析式为 1 y x 又在反比例函数图象上 1 An 1 1 n 1n 点坐标为 A 11 一次函数的图象经过点 2 yk xb 1 11 2 2 AB 2 2 1 1 2 2 kb kb 2 2 1 k b 一次函数的解析式为 21yx 2 存在符合条件的点P 可求出点的坐标为7 分P 2 0 2 0 2 0 10 O A y x 第 14 题 2007 宁夏课改 3 分 某农场的粮食总产量为 1500 吨 设该农场人数为人 平均每人占有粮x 食数为吨 则与之间的函数图象大致是 yyx 答案 B 第 15 题 2007 山东滨州课改 12 分 如图 1 所示 在中 为ABC 2ABAC 90A O 的中点 动点在边上自由移动 动点在边上自由移动 BCEBAFAC 1 点的移动过程中 是否能成为的等腰三角形 若能 请指出为EF OEF 45EOF OEF 等腰三角形时动点的位置 若不能 请说明理由 EF 2 当时 设 求与之间的函数解析式 写出的取值范围 45EOF BEx CFy yxx 3 在满足 2 中的条件时 若以为圆心的圆与相切 如图 12 2 试探究直线与的位置OABEFOA 关系 并证明你的结论 答案 解 如图 1 点移动的过程中 能成为的等腰三角形 EF OEF 45EOF 此时点的位置分别是 EF 是的中点 与重合 EBAFA x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 A B C D 图 1 A BC O E F 图 2 A BC O E F A E F O C B A E F O C B 图 1 图 2 与重合 是的中点 2BECF EAFAC 2 在和中 OEB FOC 135EOBFOC 135EOBOEB FOCOEB 又 BC OEBFOC BEBO COCF BEx CFy 22 1 222 2 OBOC 2 12 yx x 3 与相切 EFOA OEBFOC BEOE COOF BEOE BOOF 即 BEBO OEOF 又 45BEOF BEOOEF BEOOEF 点到和的距离相等 OABEF 与相切 AB OA 点到的距离等于的半径 OEFOA 与相切 EF OA 第 16 题 2007 山东济南课改 9 分 已知 如图 为平面直角坐标系的原点 半径为 1 的经过点OBA 且与轴分交于点 点的坐标为 的延长线与的切线交于点 Oxy AC A 3 0 ACBAODD 1 求的长和的度数 OCCAO 2 求过点的反比例函数的表达式 D B A C D y x O 答案 解 1 90AOC 是的直径 AC BA2AC 又点的坐标为 A 3 0 3OA 2222 2 3 1OCACOA 1 sin 2 OC CAO AC 30CAO 2 如图 连接 过点作轴于点OBDDEx E 为的切线 OD BA OBOD 90BOD ABOB 30AOBOAB 3090120AODAOBBOD 在中 AOD 1801203030ODAOAD 3ODOA 在中 RtDOE 18012060DOE 13 cos60 22 OEODOD A 3 sin60 2 EDOD A 点的坐标为 D 3 3 22 设过点的反比例函数的表达式为D k y x 333 3 224 k 9 分 3 3 4 y x 第 17 题 2007 山东青岛课改 3 分 某气球内充满了一定质量的气体 当温度不变时 气球内气体的气压 是气体体积的反比例函数 其图象如图所示 当气球内的气压大于时 气球将爆 kPa P 3 m V120kPa 炸 为了安全起见 气球的体积应 A 不小于B 小于 3 5 m 4 3 5 m 4 C 不小于D 小于 3 4 m 5 3 4 m 5 A B CD E O y x O 1 6 60 1 6 60 kPa P 3 m V 答案 C 第 18 题 2007 山西课改 3 分 已知圆柱的侧面积是 若圆柱底面半径为 高为 2 20 cmcmrcmh 则关于的函数图象大致是 hr 答案 第 19 题 2007 上海非课改 12 分 如图 在直角坐标平面内 函数 是常数 的图象经 m y x 0 x m 过 其中 过点作轴垂线 垂足为 过点作轴垂线 垂足为 连结 14 A B ab 1a AxCByD ADDCCB 1 若的面积为 4 求点的坐标 ABD B 2 求证 DCAB 3 当时 求直线的函数解析式 ADBC AB 答案 1 解 函数 是常数 图象经过 0 m yx x m 14 A 4m 设交于点 据题意 可得点的坐标为 点的坐标为 BDAC EB 4 a a D 4 0 a 点的坐标为 E 4 1 a 1a DBa 4 4AE a h r O h r O h r O h r O A x CO D B A y 由的面积为 4 即 ABD 14 44 2 a a 得 点的坐标为 3a B 4 3 3 2 证明 据题意 点的坐标为 C 10 1DE 易得 1a 4 EC a 1BEa 1 1 1 BEa a DE 4 4 1 4 AE a a CE a BEAE DECE DCAB 3 解 当时 有两种情况 DCAB ADBC 当时 四边形是平行四边形 ADBC ADCB 由 2 得 得 1 BEAE a DECE 11a 2a 点的坐标是 2 2 B 设直线的函数解析式为 把点的坐标代入 ABykxb AB 得解得 4 22 kb kb 2 6 k b 直线的函数解析式是 AB26yx 当与所在直线不平行时 四边形是等腰梯形 ADBCADCB 则 点的坐标是 4 1 BDAC 4a B 设直线的函数解析式为 把点的坐标代入 ABykxb AB 得解得 4 14 kb kb 1 5 k b 直线的函数解析式是 AB5yx 综上所述 所求直线的函数解析式是或 AB26yx 5yx 第 20 题 2007 四川成都课改 8 分 如图 一次函数的图象与反比例函数的图象交于ykxb m y x 两点 21 1 ABn 1 试确定上述反比例函数和一次函数的表达式 2 求的面积 AOB O y x B A 答案 解 1 点在反比例函数的图象上 21 A m y x 2 12m 反比例函数的表达式为 2 y x 点也在反比例函数的图象上 1 Bn 2 y x 即 2n 12 B 把点 点代入一次函数中 得 21 A 12 B ykxb 解得 21 2 kb kb 1 1 k b 一次函数的表达式为 1yx 2 在中 当时 得 1yx 0y 1x 直线与轴的交点为 1yx x 10 C 线段将分成和 OCAOB AOC BOC 2 分 1113 1 11 21 2222 AOBAOCBOC SSS 第 21 题 2007 四川乐山课改 9 分 如图 反比例函数的图象与一次函数的图象交于 k y x ymxb 13 A 两点 1 B n 1 求反比例函数与一次函数的解析式 2 根据图象回答 当取何值时 反比例函数的值大于一次x 函数的值 答案 解 1 在的图象上 13 A k y x 3k 3 y x 又在的图象上 1 B n 3 y x y x A O B 即3n 31 B 3 13 mb mb 解得 1m 2b 反比例函数的解析式为 3 y x 一次函数的解析式为 7 分2yx 2 从图象上可知 当或时 3x 01x 反比例函数的值大于一次函数的值 第 22 题 2007 浙江义乌课改 8 分 2006 义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势 全市实现生产总值 元 已知全市生产总值 全市户籍人口 全市人均生产产值 设义乌市 2006 年户籍人口为 10 3 5206 10 人 人均生产产值为 元 1 求 关于 的函数关系式 2 2006 年义乌市户籍人口为 706 684 人 求 2006 年义乌市人均生产产值 单位 元 结果精确到个位 若按 2006 年全年美元对人民币的平均汇率计 1 美元 7 96 元人民币 义乌市 2006 年人均生产产值是 否已跨越 6000 美元大关 答案 解 1 x 为正整数 x 范围不写不扣分 10 3 5206 10 y x 2 2006 年全市人均生产产值 元 10 3 5206 10 49819 706684 49819 6000 7 96 我市 2006 年人均生产产值已成功跨越 6000 美元大关 1 分 第 23 题 2007 重庆 4 分 如图 在矩形中 点在边上运动 连接ABCD3AB 4BC PBC 过点作 垂足为 设 则能反映与之间函数关系的大致图象DPAAEDP EDPx AEy yx 是 y x y x y x y x 4 12 5 35353535 4 12 5 4 12 5 4 12 5 答案 C 第 24 题 2007 甘肃庆阳课改 3 分 矩形面积为 长为 那么这个矩形的宽与长 2 6cmcmx cm y 的函数关系为 cm x 答案 6 0 yx x 第 25 题 2007 江苏盐城课改 9 分 如图所示 小华设计了一个探究杠杆平衡条 件的实验 在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物 在中点右OBAO 侧用一个弹簧秤向下拉 改变弹簧秤与点的距离 cm 观察弹簧秤的示数Ox 的变化情况 实验数据记录如下 y cm 10 x 152025 30 30y 201512 10 1 把上表中的各组对应值作为点的坐标 在坐标系 xy 中描出相应的点 用平滑曲线连接这些点并观察所得的 图象 猜测与之间的函数关系 并求出函数关系式 yx 2 当弹簧杆的示数为 24N 时 弹簧秤与点的距离O 是多少 cm 随着弹簧秤与点的距离不断减小 弹簧O 秤上的示数将发生怎样的变化 答案 解 1 画图略 由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数yx 设 0 k yk x 把代入得 1030 xy 300k 300 y x 将其余各点代入验证均适合 不交代其余各点是否符合扣 1 分 与的函数关系式为 y x 300 y x 2 把代入得 24y 300 y x 12 5x 当弹簧秤的示数为 24N 时 弹簧秤与 O 点的距离是 12 5cm 随着弹簧秤与点的距离不断减小 弹簧秤上的示数不断增大 9 分O 第 26 题 2007 广东佛山课改 3 分 若为圆柱底面的半径 为圆柱的高 当圆柱的侧面积一定时 rh 则与之间函数关系的图象大致是 hr 35 30 25 20 15 10 5 05 1015 20 25 30 35 cm x 牛顿 y r O r h O r h O r h O h ABCD 答案 B 第 27 题 2007 湖南衡阳课改 3 分 若矩形的面积为 10 矩形的长为 宽为 则关于的函数图xyyx 像大致是 答案 D 第 28 题 2007 广东课改 7 分 如图 在直角坐标系中 一次函数的图像与反比例函数xOy 1 yk xb 的图像交于 两点 2 k y x 14 A 3 Bm 1 求一次函数的解析式 2 求的面积 AOB 答案 解 1 点在反比例函数的图像上 所以 故有 14 A 2 k y x 2 1 44kxy 4 y x 因为也在的图象上 3 Bm 4 y x 所以 即点的坐标为 4 3 m B 4 3 3 B 一次函数过 两点 所以 1 yk xb 14 A 4 3 3 B 1 1 4 4 3 3 kb kb 解得 所以所求一次函数的解析式为 1 4 3 16 3 k b 416 33 yx Ox yy xOx y Ox y O 3 Bm x y O 14 A 2 解法一 过点作轴的垂线 交于点 AxBOF 因为 所以直线对应的正比例函数解析式为 4 3 3 B BO 4 9 yx 当时 即点的坐标为 1x 4 9 y F 4 1 9 F 所以 432 4 99 AF 所以 AOBOAFORF SSS 13213216 1 3 1 29293 即的面积为 AOB 16 3 解法二 过点分别作轴 轴的垂线 垂足分别为 过点作轴的垂线 垂足为 Axy A A Bx B 则 AOBOAAOBBOA AAA ABB SSSSS 矩形梯形 14114 1 44 3 1 1 43 23223 即的面积为 16 3 AOB 16 3 解法三 过分别作轴的垂线 垂足分别为 AB xy EF 由 得 14 A 4 3 3 B 0 4 E 3 0 F 设过的直线 分别交两坐标轴于两点 ABlCD 由过的直线 表达式为 得 ABl 416 33 yx 4 0 C 16 0 3 D 由 AOBCODAODBOC SSSS 得 111 222 AOB SOCODAEODOCBF 7 分 1 4