同济大学___高数上册知识点

高等数学 上 期末复习要点 第 1 页 共 9 页 高等数学上册复高等数学上册复习习要点要点 函数与极限函数与极限 函数函数 1 函数定函数定义义及性及性质质 有界性 有界性 单调单调性 奇偶性 周期性 性 奇偶性 周期性 2 反函数 复合函数 函数的运算 反函数 复合函数 函数的运算 3 初等函数 初等函数 幂幂函数 指数函数 函数 指数函数 对对数函数 三角函数 反三角函数 数函数 三角函数 反三角函数 4 函数的函数的连续连续性与性与间间断点 断点 函数函数在在连续连续 xf 0 x lim 0 0 xfxf xx 第一第一类类 左右极限均存在 左右极限均存在 间间断点断点 可去可去间间断点 跳断点 跳跃间跃间断点断点 第二第二类类 左右极限 至少有一个不存在 左右极限 至少有一个不存在 无无穷间穷间断点 振断点 振荡间荡间断点断点 5 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质 有界性与最大 有界性与最大值值最小最小值值定理 零点定理 介定理 零点定理 介值值定理定理 及其推及其推论论 极限极限 1 定定义义 1 数列极限数列极限 axNnNax nn n 0lim 2 函数极限函数极限 AxfxxxAxf xx 0 0 0 lim 0 0 使 使使 使使 使 左极限 左极限 右极限 右极限 lim 0 0 xfxf xx lim 0 0 xfxf xx 高等数学 上 期末复习要点 第 2 页 共 9 页 lim 00 0 xfxfAxf xx 使 使使 使 2 极限存在准极限存在准则则 1 夹夹逼准逼准则则 1 0 nnzxy nnn 2 azy n n n n limlimaxn n lim 2 单调单调有界准有界准则则 单调单调有界数列必有极限有界数列必有极限 3 无无穷穷小 大 量小 大 量 1 定定义义 若 若则则称称为为无无穷穷小量 若小量 若则则称称为为无无穷穷大量大量 0lim lim 2 无无穷穷小的小的阶阶 高 高阶阶无无穷穷小 同小 同阶阶无无穷穷小 等价无小 等价无穷穷小 小 阶阶无无穷穷小小k Th1 o Th2 无 无穷穷小代小代换换 limlim lim 使 使使 使使 使使 使 4 求极限的方法求极限的方法 1 单调单调有界准有界准则则 2 夹夹逼准逼准则则 3 极限运算准极限运算准则则及函数及函数连续连续性 性 4 两个重要极限 两个重要极限 a b 1 sin lim 0 x x x e x x x x x x 1 1 lim 1 lim 1 0 5 无无穷穷小代小代换换 0 x a xxxxxarctan arcsin tan sin b 2 2 1 cos1xx 高等数学 上 期末复习要点 第 3 页 共 9 页 c xe x 1 axa x ln 1 d xx 1ln a x x a ln 1 log e xx 1 1 导导数与微分数与微分 导导数数 1 定定义义 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 左左导导数 数 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 右右导导数 数 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 函数函数在在点可点可导导 xf 0 x 00 xfxf 2 几何意几何意义义 为为曲曲线线在点在点处处的切的切线线的斜率的斜率 0 x f xfy 00 xfx 3 可可导导与与连续连续的关系 的关系 4 求求导导的方法的方法 1 导导数定数定义义 2 基本公式 基本公式 3 四四则则运算 运算 4 复合函数求复合函数求导导 链链式法式法则则 5 隐隐函数求函数求导导数 数 6 参数方程求参数方程求导导 7 对对数求数求导导法法 5 高高阶导阶导数数 高等数学 上 期末复习要点 第 4 页 共 9 页 1 定定义义 dx dy dx d dx yd 2 2 2 Leibniz 公式 公式 n k knkk n n vuCuv 0 微分微分 1 定定义义 其中 其中与与无关无关 00 xoxAxfxxfy Ax 2 可微与可可微与可导导的关系 可微的关系 可微可可导导 且 且 dxxfxxfdy 00 微分中微分中值值定理与定理与导导数的数的应应用用 中中值值定理定理 1 Rolle 罗尔罗尔定理 若函数定理 若函数满满足 足 xf 1 2 3 baCxf baDxf bfaf 则则 0 fba使 使 2 Lagrange 拉格朗日中拉格朗日中值值定理定理 若函数 若函数满满足 足 xf 1 2 baCxf baDxf 则则 abfafbfba 使 使 3 Cauchy 柯西柯西中中值值定理 若函数定理 若函数满满足 足 xFxf 1 2 3 baCxFxf baDxFxf 0 baxxF 则则 F f aFbF afbf ba 使 使 洛必达法洛必达法则则 Taylor 公式公式 高等数学 上 期末复习要点 第 5 页 共 9 页 单调单调性及极性及极值值 1 单调单调性判性判别别法 法 则则若若 则则 baCxf baDxf 0 x f 单调单调增加 增加 则则若若 则则单调单调减少减少 xf0 x f xf 2 极极值值及其判定定理 及其判定定理 a 必要条件 必要条件 在在可可导导 若 若为为的极的极值值点 点 则则 xf 0 x 0 x xf0 0 x f b 第一充分条件 第一充分条件 在在的的邻邻域内可域内可导导 且 且 则则 若当若当 xf 0 x0 0 x f 时时 当 当时时 则则为为极大极大值值点 点 若当若当 0 xx 0 x f 0 xx 0 x f 0 x 时时 当 当时时 则则为为极小极小值值点 点 若在若在 0 xx 0 x f 0 xx 0 x f 0 x 的两的两侧侧不不变变号 号 则则不是极不是极值值点点 0 x x f 0 x c 第二充分条件 第二充分条件 在在处处二二阶阶可可导导 且 且 则则 xf 0 x0 0 x f0 0 x f 若若 则则为为极大极大值值点 点 若若 则则为为极小极小值值点点 0 0 x f 0 x0 0 x f 0 x 3 凹凸性及其判断 拐点凹凸性及其判断 拐点 1 在区在区间间 I 上上连续连续 若 若 则则称称在在 xf 2 2 2121 21 xfxfxx fIxx xf 区区间间 I 上的上的图图形是凹的 若形是凹的 若 则则称称在在 2 2 2121 21 xfxfxx fIxx xf 区区间间 I 上的上的图图形是凸的形是凸的 2 判定定理 判定定理 在在上上连续连续 在 在上有一上有一阶阶 二 二阶导阶导数 数 则则 xf ba ba a 若若 则则在在上的上的图图形是凹的 形是凹的 0 xfbax xf ba b 若若 则则在在上的上的图图形是凸的形是凸的 0 xfbax xf ba 3 拐点 拐点 设设在区在区间间 I 上上连续连续 是是的内点 如果曲的内点 如果曲线线经过经过 xfy 0 x xf xfy 点点时时 曲 曲线线的凹凸性改的凹凸性改变变了 了 则则称点称点为为曲曲线线的拐点的拐点 00 xfx 00 xfx 不等式不等式证证明明 高等数学 上 期末复习要点 第 6 页 共 9 页 1 利用微分中利用微分中值值定理 定理 2 利用函数利用函数单调单调性 性 3 利用极利用极值值 最 最值值 方程根的方程根的讨论讨论 1 连续连续函数的介函数的介值值定理 定理 2 Rolle 定理 定理 3 函数的函数的单调单调性 性 4 极极值值 最 最值值 5 凹凸性凹凸性 渐渐近近线线 1 铅铅直直渐渐近近线线 则则为为一条一条铅铅直直渐渐近近线线 limxf ax ax 2 水平水平渐渐近近线线 则则为为一条水平一条水平渐渐近近线线 bxf x lim by 不定不定积积分分 概念和性概念和性质质 1 原函数 在区原函数 在区间间 I 上 若函数上 若函数可可导导 且 且 则则称称为为 xF xfxF xF 的一个原函数的一个原函数 xf 2 不定不定积积分 在区分 在区间间 I 上 函数上 函数的的带带有任意常数的原函数称有任意常数的原函数称为为在区在区 xf xf 间间 I 上的不定上的不定积积分分 3 基本基本积积分表 分表 P188 13 个公式 个公式 4 性性质质 线线性性 性性 高等数学 上 期末复习要点 第 7 页 共 9 页 换换元元积积分法分法 1 第一第一类换类换元法 凑微分 元法 凑微分 d xuduufxxxf 2 第二第二类换类换元法 元法 变变量代量代换换 三角代 三角代换换 倒代 倒代换换 根式代 根式代换换等 等 1 d xt tttfdxxf 分部分部积积分法 分法 反 反对幂对幂指三 前指三 前 U 后后 V vduuvudv 有理函数有理函数积积分分 1 拆拆 2 变变量代量代换换 三角代 三角代换换 倒代 倒代换换 根式代 根式代换换等 等 定定积积分分 概念与性概念与性质质 1 定定义义 n i ii b a xfdxxf 1 0 lim 2 性性质质 7 条 条 性性质质 7 积积分中分中值值定理 定理 函数函数在区在区间间上上连续连续 则则 使 使 xf ba ba 平均 平均值值 abfdxxf b a ab dxxf f b a 微微积积分基本公式 分基本公式 N L 公式 公式 1 变变上限上限积积分 分 设设 则则 x a dttfx xfx 高等数学 上 期末复习要点 第 8 页 共 9 页 推广 推广 xxfxxfdttf dx d x x 2 N L 公式 若公式 若为为的一个原函数 的一个原函数 则则 xF xf aFbFdxxf b a 换换元法和分部元法和分部积积分分 1 换换元法 元法 tttfdxxf b a d 2 分部分部积积分法 分法 b a b a b a vduuvudv 反常反常积积分分 1 无无穷积穷积分 分 t ata dxxfdxxf lim b tt b dxxfdxxf lim