高中数学 奥赛辅导精品第四讲 常见的初等函数

1 第四讲第四讲 常见的初等函数 二次函数常见的初等函数 二次函数 知识 方法 技能 常函数 y c 幂函数 y x Q 指数函数 y ax 对数函数 y logax 三角函数 y sinx y cosx y tanx 等 反三角函数 y arcsinx y arccosx y arctanx 等 是数学中最 为基本的函数 我们把它们统称为基本初等函数 学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性等基本性 质 并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式 具体解题时 若绘出各 基本初等函数的草图 往往能 一目了然 地获得问题的结果 绘制幂函数 y x m n 是互质的整数 草图的一般步骤是 n m 1 根据指数 的大小判断函数图象在第一象限的情形如图 I 1 4 1 2 判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况 m n 均为奇数时 y x 为奇函数 图象在一 三象限内关于原点中心对称 m 为偶数 n 为奇数时 Y x 为偶函数 图象在一 二象限内关于 y 轴对称 m 为奇数 n 为偶数时 y x 既不是奇函数也不是偶函数 函数只在第一象限有 图像 常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的 我们 称之为初等函数 其中二次函数和形如 y x 的分式函数在高考和竞赛中具有尤为 x k 重要的地位 同学们要熟练掌握求二次函数解析式 值域的有关方法 并会用这些 方法解决相关的问题 会判断二次方程根的分布情况 会利用函数 y x 的性质求 x k 出一些分式函数的值域 赛题精讲赛题精讲 例 1 3 个幂函数 y 和 y 的图象如图 I 1 4 2 试写出各个函数的图 4 3 2 1 xyx 6 5 x 象的对应编号 2 思路分析 3 个函数的定义域 值域 单调性都相同 具有类似的草图 仅从草图已 无法区分这三者了 只能更为 精细 地考察和函数值的大小 不妨取 x 2 试一试 略解 当 x 2 时 3 个函数值分别为 因为 y 为增函数 6 5 4 3 2 1 2 2 2 t 2 x 2 时 图象 的对应点纵坐标最大 图象 的对而图中所以 222 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 应点纵坐标最小 所以 y 对应的图象依次为 6 5 4 3 2 1 xyxyx 和 评述 一般地 当 越大大时 幂函数图像在 x 1 对应的部分越 高 此外 本题 方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象 例 2 比较下列各题中两个值的大小 1 2 5 3 5 3 3 2 与 14 3 3 2 3 2 与 3 4 log23 与 log23 1 5 4 3 2 与 思路分析 1 中两数有相同的指数 故可将这两者看做同一函数的两 5 3 5 3 xy 个不同函数值 利用函数单调性比较两数大小 略解 1 因为是 0 上的减函数 又所以 5 3 xy 32 5 3 5 3 3 2 2 因为 14 3 14 3 0 3 2 3 2 3 2 所以上的减函数又是xy 3 因为 y 5 4 3 2 3 2 3 2 5 4 3 2 所以又上的增函数是 x 4 因为 y log2x 是 0 上的增函数 又 3 3 1 所以 log230 a 1 时 上式等价于 logax 1 即 x a 0 a 1 时 上式等价于 0 logaxx a 3 所以 当 a 1 时 函数定义域为 a 而当 0 a1 则 f x yy是 y 的增函数 所以 yy 1212只有惟一解 y 12 即原方程有解 12 6 x 例 5 比较下列各组数的大小 1 sin48 cos313 2 cos96 sin96 tan69 思路分析 比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值 然后利 用函数单调性来比较 另一种方法是寻找某个中介量 如 0 1 等 略解 1 cos313 cos 360 47 cos47 sin43 sin48 所以 cos313 sin48 2 因为钝角的余弦小于 0 正弦大于 0 所以 cos96 0 0 sin96 tan45 1 所以 cos96 sin96 tan69 例 6 已知 x 0 比较 cos sinx 与 sin cosx 的大小 4 略解 sin 2 sin cos sinxx cos sin sin cos sin 2 sin sin cos sin 2 cos 2 2 sin 2 2cossin 1 cos1 2 sin 2 1 2 0 xx xx xx tyxx xxx 即 所以 所以 上的增函数是且又因为 时当 例 7 已知 比较下列三数的大小 4 0 10 b cos sin cossin 0 0coslog sin sin0coslogsinlog 10 1 cos 2 2 sin0 4 0 sin coslog cos sin coslogcoslog coslog coslogsinlog cosloglog sin yzxyz ttf zx b zyx bb b bb bb b bb b 即 又 上的增函数是 即 又解 例 8 求下列函数的最小正周期 1 y tanx cotx 2 y sin cosx 3 y cos sinx 略解 1 因为 22 2sin 2 1 2cos cossin cossin cottan 22 xctg x x xx xx xx 所以函数 y tanx cotx 的最小正周期 T 2 2 因为 sin cos x 2 sin cosx 所以 2 是函数 y sin cosx 的周期 设最小 正周期为 T 若 0 T 2 则 sin cos x T sin cosx 特别地 令 x 0 sin cosT sinl 而另一方面 0 T 2 1 cosT 1 由正弦函数的单调性和 sin cosT sinl 与 sin cosT sinl 矛盾 所以假设不成立 综上 函数 y sin cosx 的最小正周期为 2 3 因为 cos sin x cos sinx cos sinx 所以 是函数 y cos sinx 的周 期 仿 2 可证函数 y cos sinx 的最小正周期为 评述 1 求函数最小正周期时 应尽量将函数化简 2 对于由两个函数 f x 和 5 g x 复合而成的函数 f g x 如果 g x 是周期函数 且其最小正周期为 T1 那么 f g x 也是周期函数 且 T1仍是 f g x 的一个周期 但未必是它的最小正周期 例 9 判断下列函数的周期性 若是周期函数 试求出其最小正周期 1 y 2sinx 3cos6x 2 5 2 y sin x cos2x 略解 1 y 2sinx 和 y 3cos6x 的最小正周期分别是 的 2 5 5 4 35 4 因此和 3 最小公倍数 4 是 y 2sinx 3cos6x 的周期 可以证明 4 也是它的最小正周期 2 5 2 y sin x 和 cox2x 的周期分别为 2 和 因为不是有理数 所以 2 和 没有 2 最小公倍数 此处倍数应为整数倍 可以证明 y sin x cos2x 不是周期函数 证明 假设 T 是函数 y sin x cos2x 的周期 则 sin x T cos2 x T sin x cos2x sin x T sin x cos2x cos2 x T 2sinTcos x T 2sinTsin 2x T 2 2 令 x 0 得 2cosTsinT 2sin2T 2 2 即 sinTcosT sin2T 2 2 而令 x 2 化简得 sinTcosT sinTsin T 4 2 2 令 x 2 得 sinTcosT sinTsin T 4 2 2 由 得 sinTsin T 4 sinTsin T 4