高考数学冲刺复习 数学精练23

1 O B C F1F2 D x y 第 3 题 数学精练 数学精练 2323 1 1 在棱长为 4 的正方体 1111 ABCDABC D 中 E F 分别为棱 1 AA 11 DC 上的动点 点 G为正方形 11 B BCC 的中心 则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中 面积的最 大值为 答案 12 2 2 若 12 sina xxa x 对任意的 0 2 x 都成立 则 21 aa 的最小值为 答案 2 1 3 3 如图 在平面直角坐标系xOy中 F1 F2分别为椭圆 2 2 22 1 y x ab 0ab 的左 右焦点 B C分别为椭圆 的上 下顶点 直线BF2与椭圆的另一交点为 D 若 12 7 cos 25 FBF 则直线CD的斜率为 答案 12 25 4 4 各项均为正偶数的数列a1 a2 a3 a4中 前三项依次成公差为d d 0 的等差数 列 后三项 依次成公比为q的等比数列 若 41 88aa 则q的所有可能的值构成的集合为 答案 58 37 5 在斜三角形ABC中 角A B C的对边分别为 a b c 1 若2sincossinACB 求 a c 的值 2 A 第 16 题 B C D D1 C1 B1 A1 M 2 若sin 2 3sinABB 求 tan tan A C 的值 解 1 由正弦定理 得 sin sin Aa Bb 从而2sincossinACB 可化为2 cosaCb 3 分 由余弦定理 得 222 2 2 abc ab ab 整理得ac 即1 a c 7 分 2 在斜三角形ABC中 ABC 所以sin 2 3sinABB 可化为 sin3sinACAC 即 sin3sinACAC 10 分 故sincoscossin3 sincoscossin ACACACAC 整理 得4sincos2cossinACAC 12 分 因为 ABC是斜三角形 所以 sinAcosAcosC0 所以 tan1 tan2 A C 14 分 6 6 如图 在六面体 1111 ABCDABC D 中 11 AACC 11 ABAD ABAD 求证 1 1 AABD 2 11 BBDD 证明 1 取线段 BD的中点M 连结AM 1 AM 因为 11 ADAB ADAB 所以 BDAM 1 BDAM 3 分 又 1 AMAMM 1 AMAM 平面 1 A AM 所以BD 平面 1 A AM 而 1 AA 平面 1 A AM 所以 1 AABD 7 分 2 因为 11 AACC 1 AA 平面 11 D DCC 1 CC 平面 11 D DCC 所以 1 AA平面 11 D DCC 9 分 3 又 1 AA 平面 11 A ADD 平面 11 A ADD 平面 111 D DCCDD 11 分 所以 11 AADD 同理得 11 AABB 所以 11 BBDD 14 分 7 将 52 名志愿者分成 A B 两组参加义务植树活动 A 组种植 150 捆白杨树苗 B 组种 植 200 捆 沙棘树苗 假定 A B 两组同时开始种植 1 根据历年统计 每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 5 小时 种植一捆沙棘树苗 用时 1 2 小时 应如何分配 A B 两组的人数 使植树活动持续时间最短 2 在按 1 分配的人数种植 1 小时后发现 每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍 为 2 5 小时 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 3 小时 于是从 A 组抽调 6 名志愿者 加入 B 组继 续种植 求植树活动所持续的时间 解 1 设 A 组人数为 x 且052x x N 则 A 组活动所需时间 2 150 605 f x xx 2 分 B 组活动所需时间 1 200 1002 5252 g x xx 4 分 令 f xg x 即 60100 52xx 解得 39 2 x 所以两组同时开始的植树活动所需时间 60 19 100 20 52 xx x F x xx x N N 6 分 而 60 19 19 F 25 20 8 F 故 19 20 FF 所以当 A B 两组人数分别为20 32 时 使植树活动持续时间最 短 8 分 4 第 18 题 x y O 1 C 2 C C 才 1 l 2 l 2 A 组所需时间为 1 2 15020 1 65 3 2067 小时 10 分 B 组所需时间为 2 20032 1 23 13 3263 小时 12 分 所以植树活动所持续的时间为 6 3 7 小时 14 分 8 8 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知圆 1 C 22 1 1xy 圆 2 C 22 3 4 1xy 1 若过点 1 1 0 C 的直线l被圆 2 C截得的弦长为 6 5 求直线l的方程 2 设动圆C同时平分圆 1 C的周长 圆 2 C的周 长 证明 动圆圆心C在一条定直线上 运动 动圆C是否经过定点 若经过 求出定点的 坐标 若不经过 请说明理由 解解 1 设直线l的方程为 1 yk x 即0kxyk 因为直线l被圆 2 C截得的弦长为 6 5 而圆 2 C的半径为 1 所以圆心 2 3 4 C 到l 0kxyk 的距离 为 2 44 4 5 1 k k 3 分 化简 得 2 1225120kk 解得 4 3 k 或 3 4 k 所以直线l的方程为 4340 xy 或3430 xy 6 分 2 证明 设圆心 C x y 由题意 得 12 CCCC 即 2222 1 3 4 xyxy 5 化简得30 xy 即动圆圆心C在定直线30 xy 上运 动 10 分 圆C过定点 设 3 C mm 则动圆C的半径为 222 1 11 1 3 CCmm 于是动圆C的方程为 2222 3 1 1 3 xmymmm 整理 得 22 622 1 0 xyym xy 14 分 由 22 10 620 xy xyy 得 3 12 2 3 22 2 x y 或 3 12 2 3 22 2 x y 所以定点的坐标为 33 12 22 22 33 12 22 22 16 分 9 9 已知函数 sinf xxx 1 设P Q是函数 f x图象上相异的两点 证明 直线PQ的斜率大于 0 2 求实数a的取值范围 使不等式 cosf xaxx 在 0 2 上恒成立 解 1 由题意 得 1cos0fxx 所以函数 sinf xxx 在 R R 上单调递增 设 11 P x y 22 Q xy 则有 12 12 0 yy xx 即0 PQ k 6 分 2 当0a 时 sin0cosf xxxaxx 恒成 立 8 分 当0a 时 令 cossincosg xf xaxxxxaxx 6 1cos cossin g xxaxxx 1 1 cossinaxaxx 当10a 即01a 时 11cossin0g xaxaxx 所以 g x在 0 2 上为单调增函数 所以 0 0sin00cos00g xga 符合题意 10 分 当10a 即1a 时 令 1 1 cossinh xg xaxaxx 于是 21 sincosh xaxaxx 因为1a 所以210a 从而 0h x 所以 h x在 0 2 上为单调增函数 所以 0 2 hh xh 即 2 1 2 ah xa 亦 即 2 1 2 ag xa 12 分 i 当20a 即12a 时 0g x 所以 g x在 0 2 上为单调增函数 于是 0 0g xg 符合题 意 14 分 ii 当20a 即2a 时 存在 0 0 2 x 使得 当 0 0 xx 时 有 0g x 此时 g x在 0 0 x 上为单调减函数 从而 0 0g xg 不能使 0g x 恒成立 综上所述 实数a的取值范围 为2a 16 分 2020 设数列 n a 的各项均为正数 若对任意的n N 存在k N 使得 2 2n knnk aaa 成 立 则称 7 数列 n a 为 Jk型 数列 1 若数列 n a 是 J2型 数列 且 2 8a 8 1a 求 2n a 2 若数列 n a 既是 J3型 数列 又是 J4型 数列 证明 数列 n a 是等比数 列 解 1 由题意 得 2 a 4 a 6 a 8 a 成等比数列 且公比 1 3 8 2 1 2 a q a 所以 4 1 22 1 2 n n n aa q 4 分 2 证明 由 n a 是 4 J 型 数列 得 1 a 5 a 9 a 13 a 17 a 21 a 成等比数列 设公比为t 6 分 由 n a 是 3 J型 数列 得 1 a 4 a 7 a 10 a 13 a 成等比数列 设公比为 1 2 a 5 a 8 a 11 a 14 a 成等比数列 设公比为 2 3 a 6 a 9 a 12 a 15 a 成等比数列 设公比为 3 则 4313 1 1 a t a 4