考研数三2003-2013年(历年真题_答案详解)word版333_免.doc

2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =，b =.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a = 1. 极限化为，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【评注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) 0，则f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，则g(x) 0.(2) 设函数f (u , v)由关系式f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =，所以，.(3) 设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t，.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为于是二次型的矩阵为 ,由初等变换得 ,从而 , 即二次型的秩为2. 【详解二】因为, 其中 .所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 .【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于, 的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 .【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 , ,故应填 .【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在(- , +)内有定义，且，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x) = |x(1 - x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. C 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 d 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x (-d , 0)时，f (x) = -x(1 - x)，当x (0 , d)时，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n )，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，都发散，而收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (11) 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点，使得 f (a).(B) 至少存在一点，使得 f (b).(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知在a , b上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；另外，由极限的保号性，至少存在一点使得，即. 同理，至少存在一点使得. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . D 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又 与等价, 故, 即, 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=, 而且根据已知条件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得. 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限= 2 .【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 =（2） 微分方程满足初始条件的特解为 .【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 ，积分得 ，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数，则 .【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】 , ,于是 .（4）设行向量组，线性相关，且，则a= .【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】 由题设，有 , 得，但题设，故（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则= .【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 =+ + =（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 =，知可能极值点为x=1,x=2，且 ，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).（8）设,其中，则(A) . （B）.(C) . (D) . A 【分析】 关键在于比较、与在区域上的大小.【详解】 在区域上，有，从而有 由于cosx在 上为单调减函数，于是 因此 ，故应选(A).（9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是 (A) 收敛，发散 . （B） 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. D 【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】 取，则发散，收敛，但与均发散，排除(A),(B)选项，且发散，进一步排除(C), 故应选(D). 事实上，级数的部分和数列极限存在.（10）设,下列命题中正确的是f(0)是极大值，是极小值. （B） f(0)是极小值，是极大值.（C） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. B 【分析】 先求出，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 ，显然 ，又 ，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界. (D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. C 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】 设f(x)=, 则f(x)及均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又在（0，1）内有界，但在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C). （12）设矩阵A= 满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为(A) . (B) 3. (C) . (D) . A 【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.【详解】 由及，有，其中为的代数余子式，且或 而，于是，且 故正确选项为(A).（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 ，则 ， .由于线性无关，于是有 当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ，可见，线性无关的充要条件是故应选(D).（14） 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是(A) (B) (C)(D) C 【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：【详解】 由正态总体抽样分布的性质知， 故的置信度为0.90的置信区间是，即故应选(C).2006年考研数学（三）真题解析一、填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1） 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，所以. 故 . （2）设函数在的某邻域内可导,且，则 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又，故 . （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ，故 . （4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 2 .【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以.（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度 .则 .【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 则 .（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，所以 .二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，故应选(). （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 C 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 令，则. 所以存在，故本题选（C）. （9）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(). 或利用排除法： 取，则可排除选项（），（）； 取，则可排除选项（）.故（）项正确.（10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是 ，故原方程的通解为 ，故应选().【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. 【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 .消去，得 ,整理得 .（因为），若，则.故选（）.（12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是若线性相关，则线性相关. 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选().（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）. （）.（）. （）. 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得 ，而 ，则有.故应选（）.（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 则必有 (B) (C) (D) A 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得， 则 ，即. 其中是标准正态分布的分布函数. 又是单调不减函数，则，即.故选(A).2007年考研数学（三）真题解析一、选择题1.【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当时， 故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上， 或.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.2.【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取，则，但在不可导，故选（D）. 事实上， 在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 3.【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得 ， . 所以 ，故选（C）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.4.【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，则， 故应选（B）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.5.【分析】本题考查需求弹性的概念.【详解】选（D）. 商品需求弹性的绝对值等于 ， 故选（D）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.6.【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】， 所以 是曲线的水平渐近线； ，所以是曲线的垂直渐近线； ， ，所以是曲线的斜渐近线. 故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意当时的极限不同.7.【分析】本题考查由线性无关的向量组构造的另一向量组的线性相关性. 一般令，若，则线性相关；若，则线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由可知应选（A）.或者因为，而， 所以线性相关，故选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.8【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得的特征值，并考虑到实对称矩阵必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. 【详解】 由可得， 所以的特征值为3,3,0；而的特征值为1,1,0. 所以与不相似，但是与的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以与合同，故选（B）.【评注】若矩阵与相似，则与具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算与的特征值可立即排除（A）（C）.9.【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标 ， 故选（C）.【评注】本题属基本题型. 10.【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用与的独立性和公式可求解.【详解】因为服从二维正态分布，且与不相关，所以与独立，所以.故，应选（A）.【评注】若服从二维正态分布，则与不相关与与独立是等价的. 二、填空题 11.【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为，所以.【评注】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小；（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小；（3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小. 12.【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】，则，故.【评注】本题为基础题型.13.【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用求导公式可得， 所以.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 14.【分析】本题为齐次方程的求解，可令.【详解】令，则原方程变为. 两边积分得 ， 即，将代入左式得 ， 故满足条件的方程的特解为 ，即，.【评注】本题为基础题型. 15.【分析】先将求出，然后利用定义判断其秩.【详解】.【评注】本题为基础题型.16.【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下： A1/211(A) 1Oyx 所求概率.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.2008年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】【详解】 ，所以是函数的可去间断点(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积(3)【答案】【详解】，故不存在所以存在故选.(4)【答案】【详解】用极坐标得 所以 .(5)【答案】【详解】，.故均可逆(6)【答案】【详解】记，则又，所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似由于实对称矩阵相似必合同，故正确.(7)【答案】【详解】.(8)【答案】 【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、由，得 所以 所以. 排除. 故选择.二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知，所以因为 ，又因为在内连续，必在处连续所以 ，即.(10)【答案】【详解】，令，得所以 .(11)【答案】【详解】.(12)【答案】【详解】由，两端积分得，所以，又，所以.(13)【答案】3【详解】的特征值为，所以的特征值为，所以的特征值为，所以.(14)【答案】【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 .2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为 (A)1. (B)2. (C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】 则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B），. (C)，. （D），.【答案】A. 【解析】为等价无穷小，则 故排除(B)、(C).另外存在，蕴含了故排除(D).所以本题选(A).（3）使不等式成立的