比例解行程问题

小学六年级奥数 第 0 页 共 7 页 比例解行程问题比例解行程问题 教学目标 1 熟知行程中三个量的比例关系 2 运用比例关系解决行程问题 知识精讲 比例的知识是小学数学最后一个重要内容 从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学 压轴知识点 的角色 从一个工具性的知识点而言 比例在解很多应用题时有着 得天独厚 的优势 往往体现在方法的灵活性和 思维的巧妙性上 使得一道看似很难的题目变得简单明了 比例的技巧不仅可用于解行程问题 对于工 程问题 分数百分数应用题也有广泛的应用 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况 我们将甲 乙的速度 时间 路程分别用来表示 大体可分为以下两种情况 vvtts s 乙乙乙甲甲甲 1 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时 经过同一段时间后 他们走过的路程之比就等 于他们的速度之比 这里因为时间相同 即 所以由 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 ttt 乙甲 ss tt vv 甲乙 乙甲 乙甲 得到 甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 ss t vv 甲乙 乙甲 sv sv 甲甲 乙乙 2 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时 走过相同的路程时 2 个物体所用的时间之比等 于他们速度的反比 这里因为路程相同 即 由 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 sss 乙甲 svtsvt 乙乙乙甲甲甲 得 甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比 svtvt 乙乙甲甲 vt vt 甲乙 乙甲 典型例题 模块一 比例初步 利用简单倍比关系进行解题 例例 1 难度等级 难度等级 上午 上午 8 点点 8 分 小明骑自行车从家里出发 分 小明骑自行车从家里出发 8 分钟后 爸爸骑摩托车去追分钟后 爸爸骑摩托车去追 他 在离家他 在离家 4 千米的地方追上了他千米的地方追上了他 然后爸爸立即回家 到家后又立刻回头去追小明 再追上小然后爸爸立即回家 到家后又立刻回头去追小明 再追上小 明的时候 离家恰好是明的时候 离家恰好是 8 千米 这时是几点几分 千米 这时是几点几分 解析解析 画一张简单的示意图 图上可以看出 从爸爸第一次追上到第二次追上 小明走了 8 4 4 千米 而爸爸骑的距离是 4 8 12 千米 这就知道 爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12 4 3 倍 按照这个倍 数计算 小明骑 8 千米 爸爸可以骑行 8 3 24 千米 但事实上 爸爸少用了 8 分钟 骑行 了 4 12 16 千米 少骑行 24 16 8 千米 摩托车的速度是 8 8 1 千米 分 爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟 8 8 16 32 所以这时是 8 点 32 分 注意注意 小明第 2 个 4 千米 也就是从到的过程中 爸爸一共走 12 千米 这一点是本题的关键 对时AB 间相同或距离相同 但运动速度 方式不同的两种状态 是一大类行程问题的关键 本题的解 答就巧妙地运用了这一点 巩固巩固 难度等级 难度等级 欢欢和贝贝是同班同学 并且住在同一栋楼里 早晨 欢欢和贝贝是同班同学 并且住在同一栋楼里 早晨 7 40 欢欢从 欢欢从 家出发骑车去学校 家出发骑车去学校 7 46 追上了一直匀速步行的贝贝 看到身穿校服的贝贝才想起学校的通追上了一直匀速步行的贝贝 看到身穿校服的贝贝才想起学校的通 知 欢欢立即调头 并将速度提高到原来的知 欢欢立即调头 并将速度提高到原来的 2 倍 回家换好校服 再赶往学校 欢欢倍 回家换好校服 再赶往学校 欢欢 8 00 赶赶 到学校时 贝贝也恰好到学校 如果欢欢在家换校服用去到学校时 贝贝也恰好到学校 如果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计 那么贝贝从分钟且调头时间不计 那么贝贝从 家里出发时是几点几分 家里出发时是几点几分 解析解析 欢欢从出发到追上贝贝用了 6 分钟 她调头后速度提高到原来的 2 倍 根据路程一定 时间比 等于速度的反比 她回到家所用的时间为 3 分钟 换衣服用时 6 分钟 所以她再从家里出发 到到达学校用了 20 6 3 6 5 分钟 故她以原速度到达学校需要 10 分钟 最开始她追上贝贝 用了 6 分钟 还剩下 4 分钟的路程 而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟 所以欢欢的 6 分 钟路程贝贝要走 14 6 4 21 分钟 也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟 所以 小学六年级奥数 第 1 页 共 7 页 贝贝是 7 点 25 分出发的 例例 2 难度等级难度等级 甲 乙两车分别同时从甲 乙两车分别同时从 A B 两地相对开出 第一次在离两地相对开出 第一次在离 A 地地 95 千米处相千米处相 遇 相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回 第二次在离遇 相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回 第二次在离 B 地地 25 千米处相遇 求千米处相遇 求 A B 两地两地 间的距离 间的距离 解析解析 画线段示意图 实线表示甲车行进的路线 虚线表示乙车行进的路线 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A B 两地间距离 第二次相遇意味着两车共行了三个 A B 两地间的距离 当甲 乙两车共行了一个 A B 两地间的距离时 甲车行了 95 千米 当 它们共行三个 A B 两地间的距离时 甲车就行了 3 个 95 千米 即 95 3 285 千米 而这 285 千米比一个 A B 两地间的距离多 25 千米 可得 95 3 25 285 25 260 千米 巩固巩固 难度等级 难度等级 地铁有 地铁有 A B 两站 甲 乙二人都要在两站间往返行走两站 甲 乙二人都要在两站间往返行走 两人分别从两人分别从 A B 两站同时出发 他们第一次相遇时距两站同时出发 他们第一次相遇时距 A 站站 800 米 第二次相遇时距米 第二次相遇时距 B 站站 500 米米 问 问 两站相距多远 两站相距多远 解析解析 从起点到第一次迎面相遇地点 两人共同完成 1 个全长 从起点到第二次迎面相遇地点 两人 共同完成 3 个全长 一个全程中甲走 1 段 800 米 3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米 画 图可知 由 3 倍关系得到 A B 两站的距离为 800 3 500 1900 米 巩固巩固 难度等级 难度等级 如右图 如右图 A B 是圆的直径的两端 甲在是圆的直径的两端 甲在 A 点 乙在点 乙在 B 点同时出发点同时出发 反向而行 两人在反向而行 两人在 C 点第一次相遇 在点第一次相遇 在 D 点第二次相遇点第二次相遇 已知已知 C 离离 A 有有 80 米 米 D 离离 B 有有 60 米 求这个圆的周长米 求这个圆的周长 解析解析 根据总结可知 第二次相遇时 乙一共走了 80 3 240 米 两人的总路程和为一周半 又甲所 走路程比一周少 60 米 说明乙的路程比半周多 60 米 那么圆形场地的半周长为 240 60 180 米 周长为 180 2 360 米 例例 3 难度等级 难度等级 甲 乙两人从相距 甲 乙两人从相距 490 米的米的 A B 两地同时步行出发 相向而行 两地同时步行出发 相向而行 丙与甲同时从丙与甲同时从 A 出发 在甲 乙二人之间来回跑步出发 在甲 乙二人之间来回跑步 遇到乙立即返回 遇到甲也立即返回遇到乙立即返回 遇到甲也立即返回 已 已 知丙每分钟跑知丙每分钟跑 240 米 甲每分钟走米 甲每分钟走 40 米 当丙第一次折返回来并与甲相遇时 甲 乙二人相米 当丙第一次折返回来并与甲相遇时 甲 乙二人相 距距 210 米 那么乙每分钟走米 那么乙每分钟走 米 甲下一次遇到丙时 甲 乙相距米 甲下一次遇到丙时 甲 乙相距 米 米 解析解析 如图所示 丙 丙丙 E DCBA 假设乙 丙在处相遇 然后丙返回 并在处与甲相遇 此时乙则从走处到处 根据CDCE 题意可知米 由于丙的速度是甲的速度的 6 倍 那么相同时间内丙跑的路程是甲走的210DE 路程的 6 倍 也就是从到再到的长度是的 6 倍 那么ACDAD 可见 那么丙从到所用的 6 22 5CDADADAD 3 5ACAD 5 7 CDAC CD 时间是从到所用时间的 那么这段时间内乙 丙所走的路程之和 加 是前一段时AC 5 7 CDCE 间内乙 丙所走的路程之和 加 即全程 的 所以 而ACBC 5 7 5 490350 7 CDCE 可得 210CDCEDE 280CD 70CE 小学六年级奥数 第 2 页 共 7 页 相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的倍 所以丙的速度是乙的速度的 4 倍 那280704 么乙的速度为 米 分 即乙每分钟走 60 米 240460 当这一次丙与甲相遇后 三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同 只是甲 乙之间的距 离改变了 变为原来的 但三人的速度不变 可知运动过程中的比例关系都不改变 2103 4907 那么当下一次甲 丙相遇时 甲 乙之间的距离也是此时距离的 为米 3 7 3 21090 7 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲 乙两车同时从 甲 乙两车同时从 A 地出发 不停地往返行驶于地出发 不停地往返行驶于 A B 两地之两地之 间 已知甲车的速度比乙车快 并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中间 已知甲车的速度比乙车快 并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地 甲车的速地 甲车的速 度是乙车速度的多少倍 度是乙车速度的多少倍 解析解析 第一次相遇时两车合走了两个全程 而乙车走了 AC 这一段路 第二次相遇两车又合走了两个 全程 而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地 也就是 2 个 BC 段 由于两次的总行程相等 所以每次乙车走的路程也相等 所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长 而从第一次相遇到第二次 相遇之间 甲车走了 2 个 AC 段 根据时间一定 速度比等于路程的比 甲车 乙车的速度比 为 2 AC 2 BC 2 1 所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍 例例 4 难度等级 难度等级 甲 乙两人同时从 甲 乙两人同时从 A 地出发 在地出发 在 A B 两地之间匀速往返行走 甲两地之间匀速往返行走 甲 的速度大于乙的速度 甲每次到达的速度大于乙的速度 甲每次到达 A 地 地 B 地或遇到乙都会调头往回走 除此以外 两人在地或遇到乙都会调头往回走 除此以外 两人在 A B 之间行走方向不会改变 已知两人第一次相遇点距离之间行走方向不会改变 已知两人第一次相遇点距离 B 地地 1800 米 第三次相遇点距离米 第三次相遇点距离 B 地地 800 米 那么第二次相遇的地点距离米 那么第二次相遇的地点距离 B 地多少米 地多少米 解析解析 设甲 乙两人的速度分别为 全程为 s 第二次相遇的地点距离 B 地 x 米 1 v 2 v 由于甲的速度大于乙的速度 所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的 这 时甲 乙合走了两个全程 第一次相遇的地点与 B 地的距离为 那么 12 1 1212 2vvs vss vvvv 第一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为 两人第一次相遇后 甲调头向 B 地走 12 12 vv vv 乙则继续向 B 地走 这样一个过程与第一次相遇前相似 只是这次的 全程 为第一次相遇的地 点到 B 地的距离 即 1800 米 根据上面的分析可知第二次相遇的地点到 B 地的距离与第一 次相遇的地点到 B 地的距离的比为 类似分析可知 第三次相遇的地点到 B 地的距离 12 12 vv vv 与第二次相遇的地点到 B 地的距离的比为 那么 得到 故第 12 12 vv vv 800 1800 x x 1200 x 二次相遇的地点距离 B 地 1200 米 例例 5 难度等级 难度等级 每天早晨 小刚定时离家步行上学 张大爷也定时出家门散步 他们相 每天早晨 小刚定时离家步行上学 张大爷也定时出家门散步 他们相 向而行 并且准时在途中相遇 有一天 小刚提早出门 因此比平时早向而行 并且准时在途中相遇 有一天 小刚提早出门 因此比平时早 7 分钟与张大爷相分钟与张大爷相 遇 已知小刚步行速度是每分钟遇 已知小刚步行速度是每分钟 70 米 张大爷步行速度是每分钟米 张大爷步行速度是每分钟 40 米 那么这一天小刚比平米 那么这一天小刚比平 时早出门多少分钟 时早出门多少分钟 解析解析 比平时早 7 分钟相遇 那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走 的路程 所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了 70 40 7 770 米 因此小刚比平时 早出门 770 70 11 分钟 模块二 时间相同速度比等于路程比 例例 6 难度等级 难度等级 A B 两地相距两地相距 7200 米 甲 乙分别从米 甲 乙分别从 A B 两地同时出发 结果两地同时出发 结果 在距在距 B 地地 2400 米处相遇 如果乙的速度提高到原来的米处相遇 如果乙的速度提高到原来的 3 倍 那么两人可提前倍 那么两人可提前 10 分钟相遇 分钟相遇 则甲的速度是每分钟行多少米 则甲的速度是每分钟行多少米 解析解析 第一种情况中相遇时乙走了 2400 米 根据时间一定 速度比等于路程之比 最初甲 乙的速 度比为 7200 2400 2400 2 1 所以第一情况中相遇时甲走了全程的 2 3 乙的速度提高 3 倍后 两人速度比为 2 3 根据时间一定 路程比等于速度之比 所以第二种情况中相遇时甲 走了全程的 两种情况相比 甲的速度没有变化 只是第二种情况比第一种情况少走 33 325 10 分钟 所以甲的速度为 米 分 33 6000 9150 58 例例 7 难度等级 难度等级 甲 乙二人分别从 甲 乙二人分别从 A B 两地同时出发 相向而行 甲 乙的速度之两地同时出发 相向而行 甲 乙的速度之 小学六年级奥数 第 3 页 共 7 页 比是比是 4 3 二人相遇后继续行进 甲到达 二人相遇后继续行进 甲到达 B 地和乙到达地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回 已知二人地后都立即沿原路返回 已知二人 第二次相遇的地点距第一次相遇的地点第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30 千米 则千米 则 A B 两地相距多少千米 两地相距多少千米 解析解析 两个人同时出发相向而行 相遇时时间相等 路程比等于速度之比 即两个人相遇时所走过的 路程比为 4 3 第一次相遇时甲走了全程的 4 7 第二次相遇时甲 乙两个人共走了 3 个全程 三个全程中甲走了个全程 与第一次相遇地点的距离为个全程 所以 45 31 77 542 1 777 A B 两地相距 千米 2 30105 7 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲 乙两车分别从 甲 乙两车分别从 A B 两地出发 在两地出发 在 A B 之间不断往返行驶 之间不断往返行驶 已知甲车的速度是乙车的速度的已知甲车的速度是乙车的速度的 并且甲 乙两车第 并且甲 乙两车第 2007 次相遇 这里特指面对面的相遇 次相遇 这里特指面对面的相遇 3 7 的地点与第的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距次相遇的地点恰好相距 120 千米 那么 千米 那么 A B 两地之间的距离等于多少两地之间的距离等于多少 千米 千米 解析解析 甲 乙速度之比是 3 7 所以我们可以设整个路程为 3 7 10 份 这样一个全程中甲走 3 份 第 2007 次相遇时甲总共走了 3 2007 2 1 12039 份 第 2008 次相遇时甲总共走了 3 2008 2 1 12045 份 所以总长为 120 12045 12040 12040 12039 10 300 米 例例 8 难度等级 难度等级 B 地在地在 A C 两地之间 甲从两地之间 甲从 B 地到地到 A 地去送信 甲出发地去送信 甲出发 10 分后 分后 乙从乙从 B 地出发到地出发到 C 地去送另一封信 乙出发后地去送另一封信 乙出发后 10 分 丙发现甲 乙刚好把两封信拿颠倒了 分 丙发现甲 乙刚好把两封信拿颠倒了 于是他从于是他从 B 地出发骑车去追赶甲和乙 以便把信调过来 已知甲 乙的速度相等 丙的速度是地出发骑车去追赶甲和乙 以便把信调过来 已知甲 乙的速度相等 丙的速度是 甲 乙速度的甲 乙速度的 3 倍 丙从出发到把信调过来后返回倍 丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间 地至少要用多少时间 解析解析 根据题意当丙发现甲 乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲 乙位置如下 10分 分 10分 分 10分 分 C B A 因为丙的速度是甲 乙的 3 倍 分步讨论如下 1 若丙先去追及乙 因时间相同丙的速度是乙的 3 倍 比乙多走两倍乙走需要 10 分钟 所以 丙用时间为 10 3 1 5 分钟 此时拿上乙拿错的信 5分 分 5分 分 10分 分 10分 分 10分 分 C B A 当丙再回到 B 点用 5 分钟 此时甲已经距 B 地有 10 10 5 5 30 分钟 同理丙追及时间 为 30 3 1 15 分钟 此时给甲应该送的信 换回乙应该送的信 在给乙送信 此时乙已经距 B 地 10 5 5 15 15 50 分钟 此时追及乙需要 50 3 1 25 分钟 返回 B 地需要 25 分钟 所以共需要时间为 5 5 15 15 25 25 90 分钟 2 同理先追及甲需要时间为 120 分钟 例例 9 难度等级 难度等级 甲 乙两人同时从 甲 乙两人同时从 A B 两点出发 甲每分钟行两点出发 甲每分钟行 80 米 乙每分钟行米 乙每分钟行 60 米 出发一段时间后 两人在距中点的米 出发一段时间后 两人在距中点的 C 处相遇 如果甲出发后在途中某地停留了处相遇 如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟 分钟 两人将在距中点的两人将在距中点的 D 处相遇 且中点距处相遇 且中点距 C D 距离相等 问距离相等 问 A B 两点相距多少米 两点相距多少米 解析解析 甲 乙两人速度比为 相遇的时候时间相等 路程比等于速度之比 相遇时甲走80 604 3 了全程的 乙走了全程的 第二次甲停留 乙没有停留 且前后两次相遇地点距离中点相 4 7 3 7 等 所以第二次乙行了全程的 甲行了全程的 由于甲 乙速度比为 4 3 根据时间一定 4 7 3 7 路程比等于速度之比 所以甲行走期间乙走了 所以甲停留期间乙行了 33 74 4331 7744 所以 A B 两点的距离为 米 1 60 71680 4 例例 10 难度等级 难度等级 甲 乙两车分别从 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 相向而行 出发时 甲 两地同时出发 相向而行 出发时 甲 小学六年级奥数 第 4 页 共 7 页 乙的速度之比是乙的速度之比是 5 4 相遇后甲的速度减少 相遇后甲的速度减少 20 乙的速度增加 乙的速度增加 20 这样当甲到达 这样当甲到达 B 地地 时 乙离时 乙离 A 地还有地还有 10 千米 那么千米 那么 A B 两地相距多少千米 两地相距多少千米 解析解析 两车相遇时甲走了全程的 乙走了全程的 之后甲的速度减少 20 乙的速度增加 5 9 4 9 20 此时甲 乙的速度比为 所以甲到达 B 地时 乙又5 120 4 120 5 6 走了 距离 A 地 所以 A B 两地的距离为 千米 468 9515 581 91545 1 10450 45 例例 11 难度等级 难度等级 早晨 小张骑车从甲地出发去乙地 下午 早晨 小张骑车从甲地出发去乙地 下午 1 点 小王开车也从甲地点 小王开车也从甲地 出发 前往乙地 下午出发 前往乙地 下午 2 点时两人之间的距离是点时两人之间的距离是 15 千米 下午千米 下午 3 点时 两人之间的距离还点时 两人之间的距离还 是是 l5 千米 下午千米 下午 4 点时小王到达乙地 晚上点时小王到达乙地 晚上 7 点小张到达乙地 小张是早晨几点出发 点小张到达乙地 小张是早晨几点出发 解析解析 从题中可以看出小王的速度比小张块 下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米 下午 3 点时 两人之间的距离还是 l5 千米 所以下午 2 点时小王距小张 15 千米 下午 3 点时小王超过小 张 15 千米 可知两人的速度差是每小时 30 千米 由下午 3 点开始计算 小王再有 1 小时就 可走完全程 在这 1 小时当中 小王比小张多走 30 千米 那小张 3 小时走了 15 30 45 千 米 故小张的速度是 45 3 15 千米 时 小王的速度是 15 30 45 千米 时 全程是 45 3 135 千米 小张走完全程用了 135 15 9 小时 所以他是上午 10 点出发的 例例 12 难度等级 难度等级 从甲地到乙地 需先走一段下坡路 再走一段平路 最后再走一段 从甲地到乙地 需先走一段下坡路 再走一段平路 最后再走一段 上坡路 其中下坡路与上坡路的距离相等 陈明开车从甲地到乙地共用了上坡路 其中下坡路与上坡路的距离相等 陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时 其中第一小小时 其中第一小 时比第二小时多走时比第二小时多走 15 千米 第二小时比第三小时多走千米 第二小时比第三小时多走 25 千米 如果汽车走上坡路比走平路千米 如果汽车走上坡路比走平路 每小时慢每小时慢 30 千米 走下坡路比走平路每小时快千米 走下坡路比走平路每小时快 15 千米 那么甲乙两地相距多少千米 千米 那么甲乙两地相距多少千米 解析解析 由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确 所以需要先予以确定 从甲地到乙地共用 3 小时 如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路 也就是说走上坡路的 路程不需要 1 小时 那么由于下坡路与上坡路距离相等 而下坡速度更快 所以下坡更用不了 1 小时 这说明第一小时既走完了下坡路 又走了一段平路 而第二小时则是全在走平路 这样 的话 由于下坡速度大于平路速度 所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走 1 小时的路程 而这个路程恰好比以平路的速度走 1 小时的路程 即第二小时走的路程 多走 15 千米 所以这样 的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米 不合题意 所以假设不成立 即第三小时全部在走上坡路 如果第一小时全部在走下坡路 那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路 这样第二小 时走的路程将大于以平路的速度走 1 小时的路程 而第一小时走的路程比第二小时走的路程多 走的少于 15 千米 也不合题意 所以假设也不成立 故第一小时已走完下坡路 还走了一段平 路 所以整个行程为 第一小时已走完下坡路 还走了一段平路 第二小时走完平路 还走了一段 上坡路 第三小时全部在走上坡路 由于第二小时比第三小时多走 25 千米 而走平路比走上坡路的速度快每小时 30 千米 所以 第二小时内用在走平路上的时间为小时 其余的小时在走上坡路 5 2530 6 1 6 因为第一小时比第二小时多走了 15 千米 而小时的下坡路比上坡路要多走 6 1 千米 那么第一小时余下的下坡路所用的时间为小时 所以 1 30157 5 6 1 157 515 2 在第一小时中 有小时是在下坡路上走的 剩余的小时是在平路上走的 112 263 3 1 因此 陈明走下坡路用了小时 走平路用了小时 走上坡路用了小时 3 2157 366 17 1 66 因为下坡路与上坡路的距离相等 所以上坡路与下坡路的速度比是 那么下坡路的 2 7 4 7 3 6 速度为千米 时 平路的速度是每小时千米 上坡路的速度是每 7 3015105 74 1051590 小时千米 903060 那么甲 乙两地相距 千米 277 1059060245 366 小学六年级奥数 第 5 页 共 7 页 模块三 路程相同速度比等于时间的反比 例例 13 难度等级 难度等级 在一圆形跑道上 甲从 在一圆形跑道上 甲从 A 点 乙从点 乙从 B 点同时出发反向而行 点同时出发反向而行 6 分后两分后两 人相遇 再过人相遇 再过 4 分甲到达分甲到达 B 点 又过点 又过 8 分两人再次相遇分两人再次相遇 甲 乙环行一周各需要多少分 甲 乙环行一周各需要多少分 解析解析 由题意知 甲行 4 分相当于乙行 6 分 抓住走同一段路程时间或速度的比例关系 从第一次相遇到再次相遇 两人共走一周 各行 12 分 而乙行 12 分相当于甲行 8 分 所以 甲环行一周需 12 8 20 分 乙需 20 4 6 30 分 例例 14 难度等级 难度等级 上午 上午 8 点整 甲从点整 甲从 A 地出发匀速去地出发匀速去 B 地 地 8 点点 20 分甲与从分甲与从 B 地出地出 发匀速去发匀速去 A 地的乙相遇 相遇后甲将速度提高到原来的地的乙相遇 相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍 乙速度不变 倍 乙速度不变 8 点点 30 分 甲 分 甲 乙两人同时到达各自的目的地 那么 乙从乙两人同时到达各自的目的地 那么 乙从 B 地出发时是地出发时是 8 点几分 点几分 解析解析 甲 乙相遇时甲走了 20 分钟 之后甲的速度提高到原来的 3 倍 又走了 10 分钟到达目的 地 根据路程一定 时间比等于速度的反比 如果甲没提速 那么后面的路甲需要走 10 3 30 分钟 所以前后两段路程的比为 20 30 2 3 由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟 所以 甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟 也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟 所以乙从 B 地出发时是 8 点 5 分 例例 15 难度等级 难度等级 小芳从家到学校有两条一样长的路 一条是平路 另一条是一半上坡路 小芳从家到学校有两条一样长的路 一条是平路 另一条是一半上坡路 一半下坡路 小芳上学走这两条路所用的时间一样多 已知下坡的速度是平路的一半下坡路 小芳上学走这两条路所用的时间一样多 已知下坡的速度是平路的 1 6 倍 那么倍 那么 上坡的速度是平路速度的多少倍 上坡的速度是平路速度的多少倍 解析解析 设小芳上学路上所用时间为 2 那么走一半平路所需时间是 1 由于下坡路与一半平路的长度相 同 根据路程一定 时间比等于速度的反比 走下坡路所需时间是 因此 走上坡路 5 1 1 6 8 需要的时间是 那么 上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比 为 511 2 88 所以 上坡速度是平路速度的倍 11 1 8 11 8 8 11 例例 16 难度等级 难度等级 一列火车出发 一列火车出发 1 小时后因故停车小时后因故停车 0 5 小时 然后以原速的小时 然后以原速的前进 前进 3 4 最终到达目的地晚最终到达目的地晚 1 5 小时 若出发小时 若出发 1 小时后又前进小时后又前进 90 公里再因故停车公里再因故停车 0 5 小时 然后同样小时 然后同样 以原速的以原速的前进 则到达目的地仅晚前进 则到达目的地仅晚 1 小时 那么整个路程为多少公里小时 那么整个路程为多少公里 3 4 解析解析 出发 1 小时后因故停车 0 5 小时 然后以原速的前进 最终到达目的地晚 1 5 小时 所以 3 4 后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时 而速度为原来的 所用时间为 3 4 1 50 51 3 4 原来的 所以后面的一段路程原定时间为小时 原定全程为 4 小时 出发 1 4 3 4 1 1 3 3 小时后又前进 90 公里再因故停车 0 5 小时 然后同样以原速的前进 则到达目的地仅晚 1 3 4 小时 所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时所以后面的一段路程原 3 4 1 0 50 5 定时间为小时 类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程需要 4 0 5 1 1 5 3 小时而原定全程为 4 小时 所以整个路程为 公里 3 1 51 5 90 1 5 4240 例例 17 难度等级 难度等级 王叔叔开车从北京到上海 从开始出发 车速即比原计划的速度提高 王叔叔开车从北京到上海 从开始出发 车速即比原计划的速度提高 了了 1 9 结果提前一个半小时到达 返回时 按原计划的速度行驶 结果提前一个半小时到达 返回时 按原计划的速度行驶 280 千米后 将车速提高千米后 将车速提高 1 6 于是提前 于是提前 1 小时小时 40 分到达北京 北京 上海两市间的路程是多少千米 分到达北京 北京 上海两市间的路程是多少千米 解析解析 从开始出发 车速即比原计划的速度提高了 1 9 即车速为原计划的 10 9 则所用时间为原计划 的 1 10 9 9 10 即比原计划少用 1 10 的时间 所以一个半小时等于原计划时间的 1 10 原计划 小学六年级奥数 第 6 页 共 7 页 时间为 1 5 1 10 15 小时