2017北京中考复习-数学热点专题突破专题一-动态几何与函数图象专题二-图形变换

热点专题突破热点专题突破专题一专题一 动态几何与函数图象专题二动态几何与函数图象专题二 图形变换图形变换 动态几何与函数图象问题是近年来中考的一个热点问题 解这类题目要 以静制动 即把动态问题 变为静态问题来解 而静态问题又是动态问题的特殊情况 其考点类 型主要有两类 一是根据条件研究动元素的变化趋势 特殊位置 来判断函数图象 二是 根据条件求出函数关系式 由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值 动态几何与 函数图象问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类 典例诠释典例诠释 1 动态几何与函数图象 根据条件研究动元素的变化趋势 特殊位置 来判断与函数图 象的对应关系 例 1 2016 石景山一模 为了锻炼学生身体素质 训练定向越野技能 某校在一公园内 举行定向越野挑战赛 路线图如图 2 1 1 所示 点 E 为矩形 ABCD 边 AD 的中点 在矩 形 ABCD 的四个顶点处都有定位仪 可监测运动员的越野进程 其中一位运动员 P 从 点 B 出发 沿着 B E D 的路线匀速行进 到达点 D 设运动员 P 的运动时间为 t 到 监测点的距离为 y 现有 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 1 1 所示 则这一信息的 来源是 图 2 1 1 A 监测点 AB 监测点 BC 监测点 CD 监测点 D 答案 C 名师点评 本题主要考查了动点问题的函数图象 解答本题要注意依次判断各点 位置的可能性 分别假设这个监测点在点 A B C D 然后结合函数图象的变化趋势进行 判断 利用排除法即可得出答案 例 2 2016 朝阳一模 如图 2 1 2 在等边三角形 ABC 中 AB 2 G 是 BC 边上一个 动点且不与点 B C 重合 H 是 AC 边上一点 且 AGH 30 设 BG x 图中某条线段长 为 y y 与 x 满足的函数关系的图象大致如图 2 1 2 所示 则这条线段可能是图中的 图 2 1 2 A 线段 CGB 线段 AGC 线段 AHD 线段 CH 答案 D 名师点评 本题主要考查了动点问题的函数图象 解答本题要注意依次判断各条 线段的可能性 分别假设线段 CG 线段 AG 线段 AH 线段 CH 长为 y 然后结合函 数图象的变化趋势进行判断 也可先根据函数图象上的特殊点的取值排除选项 然后再 根据图形变化趋势进行求解 例 3 2015 通州一模 如图 2 1 3 在 Rt ABC 中 ACB 90 D 为斜边 AB 的中点 动点 P 从 B 点出发 沿 B C A 运动 如图 2 1 3 所示 设 y 点 P 运动的路 程为 x 若 y 与 x 之间的函数图象如图 2 1 3 所示 则 ABC 的面积为 图 2 1 3 A 4B 6C 12D 14 答案 B 名师点评 本题主要考查了动点问题的函数图象 由已知易得 动点 P 沿 B C A 运动过程中 DBP 的面积底 BD 不变 BD 边上的高是先增大再减小 再结合图 2 1 3 易得 BC 值 AC 值 可计算 ABC 的面积 例 4 2015 顺义二模 如图 2 1 4 大小两个正方形在同一水平线上 小正方形从图 的位置开始 匀速向右平移 到图 的位置停止运动 如果设运动时间为 x 大小正方 形重叠部分的面积为 y 则下列图象中 能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 图 2 1 4 A B C D 答案 C 名师点评 本题主要考查了动点问题的函数图象 关键是理解图形运动过程中的几 个分界点 小正方形运动过程中 y 与 x 的函数关系为分段函数 即按照自变量 x 分为 三段 通过分析 y 随 x 的变化而变化的趋势及相应的自变量的取值范围解决问题 例 5 2015 海淀二模 如图 2 1 5 所示 点 Q 表示蜜蜂 它从点 P 出发 按照着箭头所 示的方向沿 P A B P C D P 的路径匀速飞行 此飞行路径是一个以直线 l 为对 称轴的轴对称图形 在直线 l 上的点 O 处 点 O 与点 P 不重合 利用仪器测量了 POQ 的大小 设蜜蜂飞行时间为 x POQ 的大小为 y 则下列图象中 能表示 y 与 x 的函 数关系的图象大致是 图 2 1 5 A B C D 答案 D 名师点评 本题主要考查了动点问题的函数图象 本题关键先分析 POQ 的增减情 况 再确定 POQ 增大的过程用的时间要大于 POQ 减小的过程用的时间 也可由轴 对称图形的定义看出图象为 C D 中的一个 然后再根据 POQ 大小与时间的变化得出 答案 2 动态几何与函数图象 根据条件求出函数关系式 由函数关系式判断函数图象或求 相应变量的值 例 1 2016 东城一模 如图 2 1 6 点 A 的坐标为 0 1 点 B 是 x 轴正半轴上的一动点 以 AB 为边作等腰 Rt ABC 使 BAC 90 设点 B 的横坐标为 x 设点 C 的纵坐标为 y 能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 图 2 1 6 A B C D 答案 A 名师点评 本题主要考查了动点问题的函数图象 过点 C 作 CD y 轴于点 D 可证 CDA BOA 从而可得 C 点的坐标 y 与 x 的函数关系 此题得解 例 2 2016 大兴一模 在五边形 ABCDE 中 B 90 AB BC CD 1 AB CD M 是 CD 边的中点 点 P 由点 A 出发 按 A B C M 的顺序运动 设点 P 经过的路程 x 为自变量 APM 的面积为 y 则函数 y 的大致图象是 图 2 1 7 A B C D 答案 A 名师点评 本题主要考查了动点问题的函数图象 从点 P 的运动路径分析 分三段 考虑 点 P 在 AB 上运动 点 P 在 BC 上运动 点 P 在 CM 上运动 分别求出 y 与 x 的函数表达式 继而可得出函数图象 真题演练真题演练 1 2015 北京 一个寻宝游戏的寻宝通道如图 2 1 8 所示 通道由在同一平面内的 AB BC CA OA OB OC 组成 为记录寻宝者的进行路线 在 BC 的中点 M 处放置 了一台定位仪器 设寻宝者行进的时间为 x 寻宝者与定位仪器之间的距离为 y 若寻 宝者匀速行进 且表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 1 8 所示 则寻宝者的行 进路线可能为 图 2 1 8 A A O BB B A CC B O CD C B O 答案 C 2 2014 北京 已知点 A 为某封闭图形边界上一定点 动点 P 从点 A 出发 沿其边界顺 时针匀速运动一周 设点 P 运动的时间为 x 线段 AP 的长为 y 表示 y 与 x 的函数关系的 图象大致如图 2 1 9 则该封闭图形可能是 图 2 1 9 A B C D 答案 A 3 2013 北京 如图 2 1 10 点 P 是以 O 为圆心 AB 为直径的半圆上的动点 AB 2 设弦 AP 的长为 x APO 的面积为 y 则下列图象中 能表示 y 与 x 的函数关系的图 象大致是 图 2 1 10 A B C D 答案 A 4 2012 北京 小翔在如图 2 1 11 所示的场地上匀速跑步 他从点 A 出发 沿箭头所 示方向经过点 B 跑到点 C 共用时 30 秒 他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的 跑步过程 设小翔跑步的时间为 t 单位 秒 他与教练的距离为 y 单位 米 表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 1 11 所示 则这个固定位置可能是图 中的 图 2 1 11 A 点 MB 点 NC 点 PD 点 Q 答案 D 5 2016 石景山二模 如图 2 1 12 在等边 ABC 中 点 D 是 BC 边的中点 点 P 为 AB 边上的一个动点 设 AP x 图 中线段 DP 的长为 y 若表示 y 与 x 的函数关系的 图象如图 2 1 12 所示 则等边 ABC 的面积为 图 2 1 12 A 4B 2C 12D 4 3 3 答案 D 6 2016 门头沟一模 如图 2 1 13 在平面直角坐标系 xOy 中 四边形 OABC 是矩形 点 A 4 0 C 0 3 直线 y x 由原点开始向上平移 所得的直线 y x b 与矩形 1 2 1 2 两边分别交于 M N 两点 设 OMN 面积为 S 那么能表示 S 与 b 函数关系的图象大致 是 图 2 1 13 A B C D 答案 B 专题二专题二 图形变换图形变换 图形的平移 轴对称 旋转是近年中考的热点题型 它主要考查学生的观察与实 验能力 探索与实践能力 因此在解题时应注意 熟练掌握图形的轴对称 图形的平 移 图形的旋转的基本性质和基本方法 结合具体问题大胆尝试 动手操作 探究发 现其内在规律是解答操作题的基本方法 典例诠释典例诠释 1 图形变换 平移 例 2014 海淀二模 在 ABC 中 ABC 90 D 为平面内一动点 AD a AC b 其 中 a b 为常数 且 a b 将 ABD 沿射线 BC 方向平移 得到 FCE 点 A B D 的 对应点分别为点 F C E 连接 BE 1 如图 2 2 1 若 D 在 ABC 内部 请在图 中画出 FCE 2 在 1 的条件下 若 AD BE 求 BE 的长 用含 a b 的式子表示 3 若 BAC 当线段 BE 的长度最大时 则 BAD 的大小为 当线段 BE 的长度最小时 则 BAD 的大小为 用含 的式子表示 备用图 图 2 2 1 解 1 如图 2 2 2 图 2 2 2 2 如图 2 2 3 连接 BF 图 2 2 3 将 ABD 沿射线 BC 方向平移 得到 FCE AD EF AD EF AB FC AB FC ABC 90 四边形 ABCF 为矩形 AC BF AD BE EF BE AD a AC b EF a BF b BE 2 2 3 180 提示 当线段 BE 的长度最大时 点 E 在 BF 的延长线上 由题意可知 ABD FCE 所以 BAD EFC 又因为 BFC BAC 所以 BE 的长度最大时 BAD 180 当 线段 BE 的长度最小时 点 E 在 BF 上 由题意可知 ABD FCE 所以 BAD EFC 又因为 BFC BAC 所以 BE 的长度最小时 BAD 名师点评 本题主要考查了勾股定理 全等三角形的判定及性质 矩形的判定及 性质 图形平移的性质 解答本题关键是要掌握图形平移后边的大小 形状不变 1 把 A D 向右平移 BC 的距离即可得到对应点 F E 然后连接 EF FC EC 即可 2 易证四边形 ABCF 为矩形 则 AC BF 在直角 BEF 中 利用勾股定理即可求解 3 当线段 BE 的长度最大时 点 E 在 BF 的延长线上 当线段 BE 的长度最小时 点 E 在 BF 上 2 图形变换 轴对称 例 1 2016 石景山一模 在正方形 ABCD 中 E 为边 CD 上一点 连接 BE 1 请你在图 2 2 4 中画出 BEM 使得 BEM 与 BEC 关于直线 BE 对称 2 若边 AD 上存在一点 F 使得 AF CE EF 请你在图 2 2 4 中探究 ABF 与 CBE 的数量关系 并证明 3 在 2 的条件下 若点 E 为边 CD 的三等分点 且 CE DE 请写出求 cos FED 的思 路 可以不写出计算结果 备用图 图 2 2 4 解 1 补全图形 如图 2 2 5 所示 图 2 2 5 2 ABF 与 CBE 的数量关系为 ABF CBE 45 证明如下 如图 2 2 6 连接 BF EF 延长 DC 到 G 使得 CG AF 连接 BG 图 2 2 6 四边形 ABCD 为正方形 AB BC A BCG ABC 90 BAF BCG BF BG ABF CBG AF CE EF EF GE BEF BEG FBE GBE ABF CBE ABF CBE 45 3 求解思路如下 a 设正方形的边长为 3a AF 为 x 则 EF x a DF 3a x b 在 Rt EFD 中 由 可得 从而得到 x 2 2 2 2 3 2 2 2 与 a 的关系 2x 3a c 根据 cos FED 可求得结果 2 名师点评 本题主要考查了轴对称的性质 正方形的性质以及勾股定理和全等三 角形的判定 全等三角形的性质等知识 解答本题关键是利用轴对称的性质得出对应 边相等 1 根据题意直接画出图形即可 2 方法一 连接 BF EF 延长 DC 到 G 使得 CG AF 连接 BG 可证 BAF BCG 从而可证 BEF BEG 可得答案 方法二 连接 BF EF 在 EF 上截取 EH CE 连接 BH 再证明三角形全等 此题得解 3 设正 方形的边长为 3a AF 为 x 则可表示 EF DF 在 Rt EFD 中 利用勾股定理得出 x 与 a 的关系 可求得结果 提示 要求写思路的题 要写清关键步骤 例 2 2015 怀柔一模 在等边 ABC 外侧作直线 AP 点 B 关于直线 AP 的对称点为 D 连接 BD CD 其中 CD 交直线 AP 于点 E 1 依题意补全图 2 2 7 2 若 PAB 30 求 ACE 的度数 3 如图 2 2 7 若 60 PAB 120 判断由线段 AB CE ED 可以构成一个含有多少 度角的三角形 并证明 图 2 2 7 解 1 补全图形 如图 2 2 8 所示 图 2 2 8 2 如图 2 2 8 连接 AD 点 D 与点 B 关于直线 AP 对称 AD AB DAP BAP 30 AB AC BAC 60 AD AC DAC 120 2 ACE 60 60 180 ACE 30 3 线段 AB CE ED 可以构成一个含有 60 角的三角形 证明如下 连接 AD EB 如图 2 2 8 点 D 与点 B 关于直线 AP 对称 AD AB DE BE 可证得 EDA EBA AB AC AB AD AD AC ADE ACE ABE ACE 设 AC BE 交于点 F 又 AFB CFE BAC BEC 60 线段 AB CE ED 可以构成一个含 60 角的三角形 名师点评 本题主要考查了轴对称作图以及等腰三角形的性质 解答本题的关键是 根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质 1 根据题意作出图形 2 根据题意可得 DAP BAP 30 然后根据 AB AC BAC 60 得出 AD AC DAC 120 最后根据三角形的内角和公式求解 3 由线段 AB CE ED 可以构成一个含有 60 度角的三角形 连接 AD EB 根据对 称可得 EDA EBA 然后证得 AD AC 最后即可得出 BAC BEC 60 3 图形变换 旋转 例 1 2015 朝阳二模 数学活动课上 老师提出这样一个问题 如果 AB BC ABC 60 APC 30 连接 PB 那么 PA PB PC 之间会有怎样的等量关系呢 经过思考后 部分同学进行了如下的交流 小蕾 我将图形进行了特殊化 让点 P 在 BA 的延长线上 如图 2 2 9 得到了一个 猜想 2 2 2 小东 我假设点 P 在 ABC 的内部 根据题目条件 这个图形具有 共端点等线段 的 特点 可以利用旋转解决问题 旋转 PAB 后得到 P CB 并且可推出 PBP PCP 分别是等边三角形 直角三角形 就能得到猜想和证明方法 这时老师对同学们说 请 大家完成以下问题 1 如图 2 2 9 点 P 在 ABC 的内部 PA 4 PC 2 PB 3 用等式表示 PA PB PC 之间的数量关系 并证明 2 对于点 P 的其他位置 是否始终具有 中的结论 若是 请证明 若不是 请举例 说明 图 2 2 9 解 1 2 7 2 2 2 证明如下 如图 2 2 10 作 PBP ABC 60 且使 BP BP 连接 P C P P 1 2 图 2 2 10 AB CB ABP CBP PA P C A BCP 在四边形 ABCP 中 ABC 60 APC 30 A BCP 270 BCP BCP 270 PCP 360 BCP BCP 90 PBP 是等边三角形 PP PB 在 Rt PCP 中 2 2 2 2 2 2 2 点 P 在其他位置时 不是始终具有 中猜想的结论 举例 如图 2 2 11 当点 P 在 CB 的延长线上时 结论为 说明 答案不唯 2 2 2 一 图 2 2 11 名师点评 本题主要考查了旋转变换问题 解答本题的关键是正确作出旋转后的图 形 熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性质 1 根据结论代入即可填写 2 根据 ABP CBP 得出 PA P C A BCP 即可得出 PA PB PC 之间的数 量关系 3 当点 P 在 CB 的延长线上时 得出结论 说明 答案不唯一 备用图 图 2 2 12 例 2 2015 海淀一模 如图 2 2 12 在菱形 ABCD 中 ADC 120 点 E 是对角线 AC 上一点 连接 DE DEC 50 将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 50 并延长得到射线 BF 交 ED 的延长线于点 G 1 依题意补全图形 2 求证 EG BC 3 用等式表示线段 AE EG BG 之间的数量关系 1 解 补全图形 如图 2 2 13 所示 图 2 2 13 2 证法一 连接 BE 如图 2 2 13 四边形 ABCD 是菱形 AD BC ADC 120 DCB 60 AC 是菱形 ABCD 的对角线 DCA DCB 30 1 2 EDC 180 DEC DCA 100 由菱形的对称性可知 BEC DEC 50 EBC EDC 100 GEB DEC BEC 100 GEB CBE GBC 50 EBG EBC GBC 50 EBG BEC 在 GEB 与 CBE 中 GEB CBE EG BC 证法二 连接 BE 设 BG 与 EC 交于点 H 如图 2 2 13 四边形 ABCD 是菱形 AD BC ADC 120 DCB 60 AC 是菱形 ABCD 的对角线 DCA DCB 30 1 2 EDC 180 DEC DCA 100 由菱形的对称性可知 BEC DEC 50 EBC EDC 100 GBC 50 EBG EBC GBC 50 BEC BH EH 在 GEH 与 CBH 中 GEH CBH EG BC 3 AE BG EG 3 名师点评 本题主要考查了旋转变换问题 菱形的性质 解答本题的关键是正确作 出旋转后的图形 根据题意证明三角形全等 1 根据题意可以补全图形 2 连接 BE 根据已知条件和图形可以证明 GEB CBE 得到答案 3 根据 GEB CBE 得到 EC BG EG BC 根据等腰三角形的性质和 BAC 30 求出 AB BC 的关系 得到答案 真题演练真题演练 1 2016 北京 在等边 ABC 中 1 如图 2 2 14 P Q 是 BC 边上两点 AP AQ BAP 20 求 AQB 的度数 2 点 P Q 是 BC 边上的两个动点 不与点 B C 重合 点 P 在点 Q 的左侧 且 AP AQ 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M 连接 AM PM 依题意将图 2 2 14 补全 小茹通过观察 实验 提出猜想 在点 P Q 运动的过程中 始终有 PA PM 小茹把 这个猜想与同学们进行交流 通过讨论 形成了证明该猜想的几种想法 想法 1 要证 PA PM 只需证 APM 是等边三角形 想法 2 在 BA 上取一点 N 使得 BN BP 要证明 PA PM 只需证 ANP PCM 想法 3 将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60 得到线段 BK 要证 PA PM 只需证 PA CK PM CK 请你参考上面的想法 帮助小茹证明 PA PM 一种方法即可 图 2 2 14 解 1 AP AQ AQB APC 而 APC B BAP 60 20 80 AQB 80 2 补全图如图 2 2 15 图 2 2 15 证明 ABC 为等边三角形 ABC ACB BAC 60 又 AP AQ APQ AQB BAP ABC APQ AQB CAQ ACB BAP CAQ 点 Q M 关于直线 AC 对称 AQ AM CAQ MAC PAM PAC MAC PAC BAP BAC 60 且 AP AQ AM APM 为等边三角形 PA PM 2 2015 北京 在正方形 ABCD 中 BD 是一条对角线 点 P 在射线 CD 上 与点 C D 不 重合 连接 AP 平移 ADP 使点 D 移动到点 C 得到 BCQ 过点 Q 作 QH BD 于 H 连接 AH PH 1 若点 P 在线段 CD 上 如图 2 2 16 依题意补全图 判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明 2 若点 P 在线段 CD 的延长线上 且 AHQ 152 正方形 ABCD 的边长为 1 请写出 求 DP 长的思路 可以不写出计算结果 图 2 2 16 解 1 如图 2 2 17 图 2 2 17 如图 2 2 17 连接 CH 四边形 ABCD 是正方形 QH BD HDQ 45 DHQ 是等腰直角三角形 HD HQ HQD HDQ 45 BCQ 是由 ADP 平移得到的 DP CQ 在 HDP 与 HQC 中 HDP HQC SAS PH CH HPC HCP BD 是正方形 ABCD 的对称轴 AH CH DAH HCP HPC DAH HPD HPC 180 HPD DAH 180 ADP AHP 360 HPD DAH 360 180 180 AHP 180 ADP 180 90 90 AH PH AH PH 2 如图 2 2 18 连接 CH 图 2 2 18 四边形 ABCD 是正方形 QH BD HDQ 45 DHQ 是等腰直角三角形 BCQ 由 ADP 平移得到 PD QC 过点 H 作 HR PC 于点 R QH BD BHQ 90 AHQ 152 AHB AHQ BHQ 152 90 62 ABD 45 又 ABH AHB HAB 180 HAB 180 AHB ABH 180 62 45 73 又 DAH HAB 90 DAH 90 HAB 90 73 17 由 1 同理可得 HCD DAH 17 设 DP x 则 DR HR RQ 1 2 CR CQ RQ x 1 2 1 2 在 Rt HRC 中 tan HCR 即 tan 17 即 tan 17 x 1 2 1 2 1 tan 17 1 tan 17 3 2014 北京 在正方形 ABCD 外侧作直线 AP 点 B