高中数学《函数模型及其应用》文字素材（5） 新人教A版必修1

用心 爱心 专心 1 函数模型及其应用函数模型及其应用 高中最重要的部分应该算是函数 但是函数一提 必定要联系域的问题 域为何 域就是区间 一个范围 这也就是集合的本意了 注意关键性的概念 元素 集合 子集 交集 并集 补集 真 属于 包含 空 非空 区间开闭 文 氏图 书写很重要 常用集合 N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 I 复数集 集合容易被考到的知识点就是集合的无序性和不重复性 集合的几种表示方法 枚举法 X X 区间 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 含 N 个元素的集合包含 2 N 个子集 如何证明 大家想想吧 集合一般都是运用在函数的域的方面 单独出题概率较小 而且难度不大 可能结合的地方有排列组合二项式定理 补充几个集合公式 A B C A B A C A B C A C B C A B A B A B 中间一步算抽象过程吧 A B A B A B 中间一步算抽象过程吧 2 函数 篇头废话 千头万头重中之重 几乎是大部分高中数学的生命线 很多老师都没办法把函数说清楚明白学生更是一知半解 因为函数本身的复杂程度就很高而且题目在高考中出现的比例很大结合性很强 所以一定要把函数理解透彻 否则步履维艰 用心 爱心 专心 2 进入正题 i 函数 众所周知 解析式 定义域 同等重要 一般说来分析函数从以下几个方面入手 两域 定义域 值域 四性 单调性 奇偶性 周期性 最值性 代数角度 分析解析式 重在运算 几何角度 研究几何意义 重在理解图象以及变化 ii 定义域 值域 一般说来按照基本初等函数的定义域性质就可以解决 到后面分析基本初等函数时会涉及到 值域问题得放到后面讨论 先把四性讲清楚了 iii 四性 iii 1 单调性 请大家熟悉定义证明过程 定义证明 f x 定义域假设为 k 设 x1 x2 k 且 x1 x2 若 f x1 f x2 f x 在 k 上是单调递增 反之则为单调递减 至少明白一下书写格式 这个是原理 很多问题的出发点还是回归原理的 数学是很严谨的 所以表述越准确越好 表述严谨格式条理清楚很有可能在考试中获得意外的 分数 在图象上表现为的形式就是图象沿着 x 轴从左到右连续逐渐升高为增函数 反之为减 如书的性质一般 书上都简单考试都不简单 这句话看上去很简单 实际会有如何变化 我们先 暂时举很复杂的代数的例子来研究这句话 举个最简单的例子看看 我们从 连续 两字入手 如果不连续那会什么样的状况呢 不连续就意味着分段嘛 我给大家看个函数 比如说吧 f x x x 1 2 4 5 那么这个函数是增函数还是减函数 画图在这上面真有点需要创造性 y 用心 爱心 专心 3 x 1 2 4 5 几乎所有的人都会回答是增函数 凭什么他不是增函数呢 是从左到右连续增高啊 就只有一 点 非连续 其实 这个问题应该这样来说明该函数的单调性 f x 在区间 1 2 和区间 4 5 上是单调递增的 要分开说明 为什么呢 我再来一个例子那就显而易见了 f x 在 x 1 2 4 5 的情况下的解析式 x 1 2 时 f x x x 4 5 时 f x x 3 单调性又如何了呢 如图 y x 1 2 4 5 这下说它不是单调函数么 你看除了连续不符合外其他是不是都符合 从做到右递增 所以 必须要明确这个问题 强调单调性也需要把定义域说明白 iii 2 奇偶性 我们讨论函数需要保持一个习惯 无论是学习还是解题都需要保持先考虑定义域然后考虑解 析式的事 所以讨论奇偶性 首先得保证一个大前提 定义域在对称区间 在这个大前提下我们 才可以考虑奇偶性 考点很有可能这样 题目式子复杂 比较具有迷惑性 与以前做过的题目很相似 但是就是无法证明出式子的奇偶 性 就是因为往往定义域没有被考虑到 恰恰定义域不对称 然后才叫恍然大悟 但是这样的题 目到事后也不会有所警觉 都是认为不过就是少考虑一点而已 其实是知识的疏漏导致 定义域对称的情况下 代数方面 奇函数 f x f x 偶函数 f x f x 几何方面 用心 爱心 专心 4 奇函数 关于原点对称 在 0 点有意义时 f 0 0 偶函数 关于 y 轴对称 这里非奇非偶函数我就不多说了 要研究一个小问题 既奇又偶 大家试想一下既奇又偶函数有多少个 从概念出发 f x f x f x 所以 f x 0 是唯一的既奇又偶函数 回答曰 1 个 好了 改卷曰 o 分 为何 定义域考虑了么 首先 f x 0 如果不在对称区间 完了 不是 如果在的话可以有无数个对称区间 所以应该说 既奇又偶函数有无数个 只不过解析式只有一个 另外函数中考奇偶性的问题 单独出题很有可能考到以下这个类型 例 f x 在定义域内是奇函数 x 0 时 f x x 3 问 x 0 时候函数表达式 考的就是概念是否含糊 解 x 0 时 f x f x x 3 所以 f x 偶函数也可以如此出题 方法照旧 就是比较需要扎实的理解奇偶函数的意义 奇函数如果在 x 0 的时候为增函数 x0 f x af x x 轴上下方向拉伸 a 倍 a 0 f x f x y 轴左右颠倒 f x f x x 轴上下颠倒 f x f x 关于原点做对称变化 f x f x y 轴左边抹去 把右边的图象沿 y 轴对称覆盖到左边 用心 爱心 专心 5 f x f x x 轴下面抹去 把下面的图象沿 x 轴对称翻到下面去 f x f 1 x 关于直线 y x 做对称变化 容易混淆的就是为什么括号内部的变化就是相反的而括号外部就正常和符号变化一致呢 按 上海的大部分老师的口诀就是 上加下减 左加右减 这样最容易出问题 题目稍微改 改学生就 over 掉了 比如 f x f x t f x g x t 这两种放在一起大家都容易看出差别 但是分开来说却极其会被混淆 不妨这样想 都按 就是相反方向变化 乘就是压缩的思路想 f x 在 x 轴方向上的变化很简单一下就看出来 是按这个规律的 但是最容易混淆的就是 y 这方向的问题 f x f x t 这个就是向上移动 t 个单位 而不是相反方向变化 f x af x 这个就是沿 y 轴的方向以 x 轴为基拉伸 a 倍 也不是缩小 为什么呢 其实仔细看看就明白 f x f x t g x f x g x t f x af x g x f x 1 a g x 这样的思路就清楚了许多 规律可以得到统一了 还有一些口诀 也贴上吧 一 集合与函数 内容子交并补集 还有幂指对函数 性质奇偶与增减 观察图象最明显 复合函数式出现 性质乘法法则辨 若要详细证明它 还须将那定义抓 指数与对数函数 两者互为反函数 底数非 1 的正数 1 两边增减变故 函数定义域好求 分母不能等于 0 偶次方根须非负 零和负数无对数 正切函数角不直 余切函数角不平 其余函数实数集 多种情况求交集 两个互为反函数 单调性质都相同 图象互为轴对称 Y X 是对称轴 求解非常有规律 反解换元定义域 反函数的定义域 原来函数的值域 幂函数性质易记 指数化既约分数 函数性质看指数 奇母奇子奇函数 奇母偶子偶函数 偶母非奇偶函数 图象第一象限内 函数增减看正负 二 三角函数 三角函数是函数 象限符号坐标注 函数图象单位圆 周期奇偶增减现 同角关系很重要 化简证明都需要 正六边形顶点处 从上到下弦切割 中心记上数字 1 连结顶点三角形 向下三角平方和 倒数关系是对角 顶点任意一函数 等于后面两根除 诱导公式就是好 负化正后大化小 变成税角好查表 化简证明少不了 二的一半整数倍 奇数化余偶不变 将其后者视锐角 符号原来函数判 两角和的余弦值 化为单角好求值 余弦积减正弦积 换角变形众公式 和差化积须同名 互余角度变名称 计算证明角先行 注意结构函数名 保持基本量不变 繁难向着简易变 用心 爱心 专心 6 逆反原则作指导 升幂降次和差积 条件等式的证明 方程思想指路明 万能公式不一般 化为有理式居先 公式顺用和逆用 变形运用加巧用 1 加余弦想余弦 1 减余弦想正弦 幂升一次角减半 升幂降次它为范 三角函数反函数 实质就是求角度 先求三角函数值 再判角取值范围 利用直角三角形 形象直观好换名 简单三角的方程