无穷级数知识点

复习1 无穷级数无穷级数 1 级数收敛充要条件 部分和存在且极值唯一 即 存在 称级数收敛 1 lim nk n k Su 2 若任意项级数收敛 发散 则称条件收敛 若收敛 则称级数 1 n n u 1 n n u 1 n n u 1 n n u 绝对收敛 绝对收敛的级数一定条件收敛 1 n n u 2 任何级数收敛的必要条件是lim0 n n u 3 若有两个级数和 1 n n u 1 n n v 11 nn nn usv 则 1 nn n uvs 11 nn nn uvs 收敛 发散 则发散 1 n n u 1 n n v 1 nn n uv 若二者都发散 则不确定 如发散 而收敛 1 nn n uv 11 1 1 kk 1 1 10 k 4 三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数 a 等比级数 0 1 1 1 n n a rar r 收敛 r 发散 b P 级数 1 1 p n n 收敛 p1 发散 p1 c 对数级数 2 1 ln p n nn 收敛 p1 发散 p1 5 三个重要结论重要结论 收敛存在 正项 不变号 级数收收 1 1 nn n aa lim n n a n a 2 n a 反之不成立 和都收敛收 收 2 n a 2 n b nn a b nn ab nn 或 复习2 6 常用收敛快慢 正整数 由慢到快ln 0 1 nn nnaann 连续型 由慢到快ln 0 1 xx xxaax 7 正项 不变号 级数敛散性的判据与常用技巧 1 达朗贝尔比值法比值法 1 1 lim1 lim0 1 n n nn n n l u l l u l 收 发 实际上导致了 单独讨论 当为连乘时 2 柯西根值法根值法 1 lim1 1 n nn n l ul ln l 收 发 当为某次方时 单独讨论 3 比阶法比阶法 代数式 1111 nnnnnn nnnn uvvuuv 收敛收敛 发散发散 极限式 其中 和都是正项级数 lim n n n u A v 1 n n u 1 n n v 1111 11 1111 0 0 nnnnnnnn nnnn nnnnnn nn nnnnnnnn nnnn Auvuvvuuv Auvukvuv Avuvuuvvu 是的高阶无穷小收敛收敛 发散发散 是的同阶无穷小和敛散性相同 是的高阶无穷小收敛收敛 发散发散 3 2 2 11111222 lnlnln 1 1111 n n nn u nnnnnnn n n 也可选用基准级数就可知原级 111 322 000 1 2 21 0 113 nnn n n xx dxudxxdx xx n 3 1 2 1 n n 8 任意项级数的敛散性的判据与常用技巧 莱布尼茨判交错级数莱布尼茨判交错级数 任意项级数的特例 收lim0 n n u 1nn uu 0 1 n n n u 敛 这是一个必要条件 如果 不满足 则必发散 若只有 不满足 则不一定 0 1 n n n u 收敛还是发散 要使用绝对收敛判别其敛散性 复习3 任意项级数判敛使用绝对值 使之转换为正项级数 即绝对收敛 条件收敛或发散 任意项级数判敛的两个重要技巧 微分积分法微分积分法 换成连续变量 再利用微积分相关定理与性质 a 阶无穷小试探法阶无穷小试探法 在不能估计出通项的无穷小阶次时 使用该试探法 bk 9 幂级数 0 0 n n n axx 1 阿贝尔 阿贝尔 Abel 定理 定理 如果级数当点收敛 则级数在圆 0 n n n a x 2 000 1 0 00 n n xxxxa x 因为显然收敛 域内绝对收敛 如果级数当点发散 则级数在圆域外发散 由 0 xx 0 n n n a x 1 xx 1 xx 阿贝尔 Abel 定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域 这一定理是引入 幂级数收敛半径 收敛区间和收敛区域概念的理论依据 注意 除外 该定理 00 0 xxx 并没有完全保证圆上每一点的敛散性 正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键 如 推论 如果不是仅在一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个 0 n n n a x 0 x 确定的正数存在 使得 R 1 n n n xR xR xRxRRa x 当 时 幂级数绝对收敛 当 时 幂级数发散 当 与时 幂级数可能收敛 也可能发散 我们称为的收敛半径 10 幂级数收敛半径 收敛区间和收敛区域 幂级数收敛半径 收敛区间和收敛区域 已知 若 则根据比值判敛法有 0 0 n n n axx 1 limlim n n n nn n a a a 或 收敛 1 000 1 1 lim1 lim nn nn nn aa xxxxxxR aa 收敛 收敛半径 R 1 1 lim 0 00 n n n a a RR Rx 全平面收敛 0 只有一个收敛点 复习4 收敛区间 级数在收敛 幂级数的收敛 00 xRxR 000 xxRxxRxR 区间是非空点集 对至少在处收敛 对至少在处收敛 由阿 0 0 n n n axx 0 xx 0 n n n a x 0 x 贝尔定理可以推出 幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点 收敛域 由于级数在收敛区间的端点上 收敛半径上 收敛性待定 故收敛域是R 或四种情况之一 00 xRxR 00 xRxR 00 xRxR 00 xRxR 3 在收敛区域内的性质 在收敛区域内的性质 1 的和函数连续并有任意阶导数 0 n n n a x f x 2 可逐项微分 0n 1 01 nn nn nn fxa xna x 3 可逐项积分 0n 1 00 00 1 xx nn n n nn a f x dxa x dxx n 4 绝对收敛 0 n n n a x 11 利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数 泰勒级数 利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数 泰勒级数 展开的充要条件是泰勒公式中余项 包括拉氏余项 佩亚若余项 为零 以下是几个 常用的麦克劳林展开结论 0 1 1 n n u u 1 1 u 0 1 1 1 nn n u u 1 1 u 0 n u n u e n u 21 0 sin 1 21 n n n u u n u 21 0 cos 1 2 n n n u u n u 复习5 1 1 11 1 ln 1 1 ln2 nn n nn u u nn 1 1 u 00 1 1 1 nn n nn n uuC u n 1 1 u 21 3 0 1 tan 213 n n u uuu n 21 3 0 1 1 arctan 213 nn n u uuu n 1 1 u 2 11 1 1 0101 1 ln 1 1 1111 1 1 1 1 n n nn nn nnnn xx nxxx n x ee nnnn 5 幂级数求和方法幂级数求和方法 函数项级数求和方法 一般先求收敛域 然后逐次积分或微分 利用上述 10 各泰勒级数结论进行零部件组 装 数项级数求和方法 构造辅助幂级数法 付立叶级数 1 周期函数展开成付里叶级数 周期函数展开成付里叶级数 为在上周期为的周期函数 则 f x ll 2l 0 1 1 cos cossin 12 sin l n l nn l n n l n af xxdx ann ll f xaxbx nll bf xxdx ll 其中 特别地 当时 l 0 1 1 cos cossin 12 sin n nn n n af xnxdx a f xanxbnx bf xnxdx 其中 当是偶函数 f x 复习6 0 0 1 0 0 1 12 cos cos 2 12 cos cos 2 l nn n nn n n xn x f xaaaf xdx lll lf xaanxaf xnxdx 当是奇函数 f x 0 1 0 1 2 sin sin 2 sin sin l nn n nn n n xn x f xbbf xdx lll lf xbnxbf xnxdx 2 非周期函数展开成付里叶级数方法 非周期函数展开成付里叶级数方法 如果非周期函数只是定义在区间 两种区间可以令相互转换 f x 0 0 l 或 tx l 为了利用付里叶级数展开 付里叶级数展开 必须将拓展 其方式有两种 即 f x 1 偶拓展 令 使成为上的周期偶函数 展开后 0 0 f xxl F x fxlx F x ll 取上的函数值即为的付里叶展开 0 xl f x 2 奇拓展 令 使成为上的周期奇函数 展开 0 0 f xxl F x fxlx F x