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课题 回归 分析 基本 思想 及其 初步 应用

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课题 回归分析的基本思想及其初步应用 教学设计 一 教学目一 教学目标标分析分析 数学课程标准 中指出教材提供的一些案例所涉及到的统计模型都是学生将来在走向 社会时所要面临的 常见的统计模型 如回归 独立性 假设检验等 在一定的程度上 很好 地理解和应用这些统计模型会对将来学生的生活和工作质量起到一定的促进作用 另外 通 过对这些统计模型的学习 学生将学习到一些经典的统计方法与统计思想 体验解决特殊问 题的统计过程及统计方法 进而感受到统计思想在解决实际问题过程中的作用 高中新课程中增加的有关统计学初步的内容 先后出现在 必修 3 和 选修 1 2 文 科 选修 2 3 理科 中 在必修模块中 我们学习过关于抽样 用样本估计总体 线性 回归等基本知识 本章中 我们将在此基础上 通过对典型案例的讨论 进一步讨论线性回归 分析方法及其应用 并初步了解独立性检验的基本思想 认识统计方法在决策中的作用 根据以上分析 确定教学目标教学目标如下 1 1 知识与技能知识与技能 通过典型案例的探究 进一步了解回归分析的基本思想 方法及初步应用 2 2 过程与方法过程与方法 让学生经历数据处理的过程 培养他们对数据的直观感觉 体会统计方法的特点 认识 统计方法的应用 3 3 情感目标情感目标 从实际问题中激发好奇心 求知欲 通过案例的分析 使学生了解回归分析在生活实际 中的应用 增强数学 取之生活 用于生活 的意识 提高学习兴趣 二 教学内容解析二 教学内容解析 本节即 3 1 节包括以下几部分内容 1 回归分析的部分内容在必修 3 中已出现过 比如画散点图 最小二乘法估计的思想 最小二乘法估计的计算公式 建立回归直线方程进 行预报等 2 教材通过对典型案例 女大学生身高和体重的关系 进一步深入探讨一元线 性回归模型 分析了模型中随机误差项的原因 从相关系数的角度研究两个变量间线性相关 关系的强弱 让学生了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型 3 从一元线性回归模型 的残差平方和的角度给出了相关指数的含义 运用相关指数的数据分析模型拟合的效果 并介 绍从残差分析的角度研究选用回归模型是否合适的问题 引导学生体会模型诊断的思想 4 通 过非线性相关关系转化成线性相关关系建立回归模型开阔学生的思路 使学生了解可以用其他 形式的回归模型来拟合观测数据 5 通过讨论非线性相关关系的例子 学习对同一样本数据运 用不同模型进行拟合 通过相关指数比较拟合效果 选取最优的拟合模型 回归分析的基本思想及其初步应用 的教学分四个课时完成 第一课时 介绍线性回 归模型的数学表达式 解释随机误差项产生的原因 使学生能正确理解回归方程的预报结果 第二课时 从相关系数 相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果 以及建立回归 模型的基本步骤 第三课时 介绍两个变量非线性相关关系 第四课时 回归分析的应用 本 节课是第一课时的内容 根据以上分析 本节课的教学重点教学重点确定为 理解回归分析的基本思想 掌握求回归直线方程的步骤以及对随机误差 的认识 三 教学三 教学问题诊问题诊断断 本节课的教学难点教学难点确定为 随机误差项的来源和对预报变量的影响 四 教学四 教学对对策分析策分析 本节课是需采用多媒体课件辅助教学 同时考虑到要培养学生们对数据的直观感觉 对 数据的准确及时处理 要求每个学生自带计算器 五 五 教学基本流程教学基本流程 六 教学六 教学过过程程设计设计 1 1 创设情境 导入新课 创设情境 导入新课 在 福尔摩斯探案全集 中著名的探案故事 血字的研究 中有这样的一个情节 福尔 摩斯应英格兰探长的求助 帮助侦破一起杀人案 一到现场 福尔摩斯就开始仔细地搜寻犯罪 嫌疑人的脚印 其理由是他可以根据犯罪嫌疑人的脚印长度来推测犯罪嫌疑人的身高 师 师 情境创设 的故事中福尔摩斯推理的依据是什么 设计意图设计意图 从生活的实例出发 让学生充分体会数学与实际生活的联系 激发学生的学习兴 趣 师 师 问几位学生的身高和鞋码 师 师 在一般情况下 人的脚长与身高之间是什么关系 活动结果活动结果 一般情况下 身高与脚长是有一定关系的 通常脚大的人个子会比较高 设计意图 设计意图 复习两个变量之间的关系 为线性回归分析作好铺垫 师 师 说明回归分析的内容 回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用的方法 也可以说是寻找这 两个变量间的数学关系式并进行统计推断的一种方法 这种关系式中最简单的是线性回归 设计意图 设计意图 使学生对回归分析有初步了解 师 师 试设计一个方案 来分析人的脚长与身高之间的关系 并以此为依据来预报脚长为 26 5cm 的人的身高 需要用统计方法解决这个问题 设计意图 设计意图 让学生回忆统计方法解决问题的基本过程 使当前的学习与 必修 3 中随机抽 样和样本估计总体的知识相联系起来 从而使学生进一步掌握用统计方法解决问题的基本步 骤 为后续学习做准备 2 2 合作探究 收获新知 深入认识 合作探究 收获新知 深入认识 探究一探究一 线性回归方程线性回归方程 案例案例 1 1 人的脚长与身高人的脚长与身高 探究探究 为了弄清人的身高与脚长之间存在的关系 我们抽取一个样本 鞋码 cm101111 51315 51620232525 526 身高 cm65699097110109138156167172179 分析思路教师演示学生整理 活动结果活动结果 1 画散点图 由于是根据脚长预报身高 因此选取鞋码为自变量 x 身高为因变量 y 画出散点图如图 创设情境 导入新 课 合作探究 收获新 知 课堂小结 课后作业 1 所示 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 051015202530 鞋码 cm 身高 cm 图 1 判断二者是否具有线性关系 从图 1 可以看出 样本点呈条状分布 脚长和身高有很好的线性相关关系 因此可以用线性 回归直线近似刻画它们之间的关系 如图 2 所示 图 图 2 2 建立回归方程 由计算器可得 602 6 b965 4 a 于是得到回归方程为965 4 602 6 y x 3 预报和决策 由此规律可由脚印长度估计身高 如当 x 26 5cm 时 身高约为 179 9cm 设计意图设计意图 进一步熟悉线性回归分析的具体步骤 提高学生的数据处理能力 并让学生在应用 中进一步掌握公式的应用 一元线性回归分析的基本步骤 一元线性回归分析的基本步骤 对问题分析判断 将变量分为自变量和因变量 画出两个 变量的散点图 求回归直线方程 用回归直线方程进行预报 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 051015202530 鞋码 cm 身高 cm 师师 散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关性 还有其他依据吗 师 师 有时散点图的各点并不集中在一条直线的附近 仍然可以按照求回归直线方程的步骤求 回归直线 显然这样的回归直线没有实际意义 在怎样的情况下求得的回归直线方程才有实 际意义 如何对一组数据之间的线性相关程度作出定量分析 学生活动学生活动 独立思考或相互讨论 活动结果活动结果 需要对 x y 的线性相关性进行检验 利用公式可求上述问题的相关系数 由得 r 0 9924 yy xx y x n i n i yxn r n i n i n i i i 2 1 2 2 1 2 1 所以二者具有很强的相关性 所以可以利用脚印推测身高 注意 注意 1 且越接近于 1 两个变量的线性相关性越强 越接近于 0 线性相1r rr 关性越弱 2 称为正相关 称为负相关 0r 0 r 设计意图设计意图 复习判断变量线性相关的方法 进一步熟悉相关系数的计算公式 练习 练习 关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y 万元 有如下的统计资料 使用年限 x 23456 维修费用 y 2 23 85 56 57 0 1 根据表中数据 确定设备的使用年限和所支出的维修费用的相关关系 2 估计使用年限为 10 年时 维修费用是多少 解 解 1 由题意知 使用年限 x 为自变量 维修费用 y 为因变量 作散点图 如图 3 图 3 从图 3 可以看出 样本点呈条状分布 使用年限和所支出的维修费用有很好的线性相关关系 因 此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系 2 由已知数据制成表格 i12345 合计 xi2345620 yi2 23 85 56 57 025 0 1 2 3 4 5 6 7 8 01234567 使用年限 年 维修费用 万元 y x i i 4 411 422 032 542 0112 3 2 xi 4916253690 4 5 90 112 3xy 5 1 2 i ix 5 1i i iyx 所以有 1 23b 08 0 a 所以线性回归方程为08 0 23 1 y x 所以当 x 10 时 12 38 万元 y 08 0 1023 1 即估计使用年限为 10 年时 维修费用是 12 38 万元 设计意图设计意图 通过课堂练习 夯实基础 探究二探究二 随机误差随机误差 师师 脚长为 26 5cm 时 身高一定是 179 9cm 吗 学生活动学生活动 独立思考也可相互讨论 教师加以适当的引导提示 活动结果活动结果 不一定 但一般可以认为此人身高在 179 9cm 左右 设计意图设计意图 让学生正确理解 线性 回归方程预测结果的含义 师师 为什么根据得到的回归直线方程这个一次函数求出的结论不一定是实际值 活动结果活动结果 显然 从图 2 可以看出 样本点并不是都在直线上 只是分布在直线的附近 这说明 回归直线方程这个一次函数并不能准确地反映 y 与 x 间的关系 而是存在一定的差别 师师 为什么会出现这样的情况呢 活动结果活动结果 因为所有的样本点不共线 所以回归直线方程只能近似地刻画脚长和身高的关系 大 部分样本点不在直线上 说明存在其他因素的影响 例如样本采集中存在测量误差 所以 y 与 x 间的关系仅由直线表示是不完全的 所以我们把二者之间的关系表示为 称为ey abx 线性回归模型线性回归模型 其中 为模型的未知参数 称为随机误差随机误差 abe 师师 线性函数模型与线性回归模型有什么关系 abx yey abx 活动结果活动结果 1 线性函数模型只能近似地刻画自变量 x 与因变量 y 之间的关系 所以把影响 因变量 y 的其他因素引进来 从而把函数模型改为线性回归模型 它与一次eey abx 函数模型的不同之处是增加了随机误差项 因变量 y 的值由自变量 x 和随机误差共同确ee 定 即自变量 x 只能解释部分 y 的变化 在统计中 把自变量 x 称为解释变量 因变量 y 称为 预报变量 2 利用解释变量对预报变量进行预报 估计时 随机误差产生的主要来源有以下几e 种 所用确定性函数不恰当 忽略了某些因素的影响 观测误差 设计意图设计意图 突破本节课的难点 充分认识随机误差的来源和对预报变量的影响 e 3 课堂小结 感悟提高 课堂小结 感悟提高 1 知识收获 进一步学习回归分析的基本思想以及求回归直线方程的步骤 正确认识随机误差 的产生原因 了解线性回归模型与函数的不同之处 e 2 方法收获 线性回归方程的求法 用样本估计总体的统计思想 设计意图设计意图 学生进行思考后 对本节课所学知识进行梳理 教师再进行补充概括 让本节课所 学的知识在学生的感悟中得以升华 4 课后作业 学以致用 课后作业 学以致用 我校学生的身高预报体重的回归方程是什么 解决这个问题时 要认真思考以下几个问题 1 要研究的问题是什么 2 如何设计抽样方案 3 查阅我国青少年标准身高体重资料 将身高值代入你所得回归方程 体重结果相同吗

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