高中数学知识要点重温（10）定比分点、平移、正余弦函数知识点分析

用心 爱心 专心 高中数学知识要点重温 高中数学知识要点重温 10 定比分点 平移 正余弦定理 定比分点 平移 正余弦定理 1 若 21 PPPP 则称点P分有向线段 21P P 所成的比为 注意 定比 不是 比 点分有向线段所成的比 是用数乘向量定义的 而不是两个向量的比 当P为外分点时 为负 内分点时 为正 P为中点时 1 若起点 1 P x1 y1 终点 2 P x2 y2 则分点 P x0 y0 的坐标为 x0 1 21 xx y0 1 21 yy 由此推出 中点公式及三角形的重心公式 在 ABC 中 若 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 则 ABC 的重心 G 123 3 xxx 123 3 yyy 举例 1 设 O 0 0 A 1 0 B 0 1 点 P 是线段 AB 上的一个动点 ABAP 若 PBPAABOP 则 的去值范围是 A 2 1 1 B 1 2 2 1 C 2 1 1 2 2 D 1 2 2 1 2 2 解析 思路一 ABAP PBAPAP PBAP 1 即 P 分有向线段 AB所成的比为 1 由定比分点坐标公式得 P 1 于是有OP 1 AB 1 1 PA PB 1 1 1 1 1 2 2 4 1 0 1 2 2 1 2 2 思路二 记 P x y 由 ABAP 得 x 1 y x 1 y 即 P 1 以下同 思路一 思路三 AB 1 1 AP PA OP APOA 1 PB ABPA 1 1 以下同 思路一 举例 2 已知 ABC 中 点 B 3 1 C 2 1 是定点 顶点 A 在圆 x 2 2 y 4 2 4 上 运动 求 ABC 的重心 G 的轨迹方程 解析 记 G x y A x0 y0 由重心公式得 x 3 1 0 x y 3 0 y 于是有 x0 3x 1 y0 3y 而 A 点在圆 x 2 2 y 4 2 4 上运动 3x 1 2 2 3y 4 2 4 化简得 用心 爱心 专心 9 4 3 4 1 22 yx 巩固 已知 P 是曲线 C y xn n N 上异于原点的任意一点 过 P 的切线l分别交 X 轴 Y 轴于 Q R 两点 且 QRPQ 2 1 求 n 的值 迁移 已知 xfy 是定义在 R 上的单调函数 实数 21 xx 1 1 21 xx a 1 12 xx 若 21 ffxfxf 则 A 0 B 0 C 10 D 1 2 关注点 函数图象 曲线 按某向量平移导致的坐标 解析式 方程 的变化 点 M x y 按向量a m n 平移得到点 M x m y n 曲线 C f x y 0 按向量a m n 平移得到曲线 C f x m y n 0 函数图象 曲线 按某向量平移的问题可以先 翻译 成向左 右 向上 下 平移 再按函数图象变换的规律 图进标退 操作 注意 向量无论怎样平移 其 坐标都不发生变化 举例 将直线 x by 1 0 按向量a 1 1 平移后与圆 x2 4x y2 3 0 相切 则 k 解析 思路一 直线l x by 1 0 按向量a平移即 向右 向下各平移 1 个单位 亦即 x 变为 x 1 y 变为 y 1 得直线 l x by b 0 圆 x 2 2 y2 1 直线 l 与圆相切 则有 1 1 2 2 b b 得 b 4 3 思路二 圆 M x 2 2 y2 1 按向量 a平移 x 变成 x 1 y 变成 y 1 后 得 圆 M x 1 2 y 1 2 1 圆 M 与直线l x by 1 0 相切 有 1 1 2 2 b b 得 b 4 3 思路三 圆心 M 2 0 按向量 a平移后得 M 1 1 M 到直线l的距离为 1 巩固 1 已知点 A 1 2 B 4 2 向量 AB按 a 1 3 平移后所得向量的坐标为 A 3 0 B 4 3 C 4 3 D 4 3 巩固 2 若把一个函数的图象按a 3 2 平移后得到函数 y cosx 的图象 则原图象 的函数解析式为 A y cos x 3 2 B y cos x 3 2 用心 爱心 专心 A BC P O C y cos x 3 2 D y cos x 3 2 迁移 已知函数 f x 3 sinxcosx 3cos2x 2 1 x R 将 f x 表示成 Asin 2x B 的形式 其中 A 0 0 0 则边 c 所对的角 C 为最大角 cosC 8 1 542 362516 222 kk kkk C arccos8 1 举例 2 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 a2 b2 6c2 则 CBAtan cot cot 的值为 解析 对 CBAtan cot cot 切化弦 得 CBA C cossinsin sin 2 再由正弦定理得 Cab c cos 2 再对 cosC 使用余弦定理得 222 2 2 cba c 将 a2 b2 6c2 代入接得原式等于5 2 巩固 1 若 ABC 三边成等差数列 则 B 的范围是 若 ABC 三边成等比数列 则 B 的范围是 巩固 2 若三角形三边 a b c 满足 a2 c2 b2 ac 且 a c 13 2 求角 C 的大小 迁移 已知 ABC 中 sinA sinB 3 cocB 3 sinC BC 3 则 ABC 的周长的取值范围是 4 关注正弦定理中的 外接圆 直径 涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理 举例 ABC 中 AB 9 AC 15 BAC 1200 它所在平面外一点 P 到 ABC 三个顶点的距 离是 14 那么点 P 到平面 ABC 的距离是 解析 记 P 在平面 ABC 上的射影为 O PA PB PC OA OB OC 即 O 是 ABC 的外心 只需求出 OA ABC 的外接圆的半径 记为 R 在 ABC 中由余弦定理知 BC 21 在由正弦定理知 2R 0 120sin 21 14 3 OA 7 3 得 PO 7 用心 爱心 专心 BC A D 2 a 巩固 已知 O 的半径为 R 若它的内接 ABC 中 2R sin2A sin2C 2a b sinB 求 1 C 的大小 2 ABC 的面积的最大值 迁移 直线l 0 nnmyx 过点 34 4 A 若可行域 0 03 y yx nmyx 的外接圆直径为 3 314 则实数n的值是 5 正 余弦定理是解三角形的最主要工具 涉及三角形中的两个 或三个 角的问题常用 正弦定理 只涉及三角形中的一个角常用余弦定理 关注两定理在解相关实际问题中的运用 举例 1 已知 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 BC 边上的高为2 a 则 c b b c 的最 大值为 A 2 2 B 2 C 2 D 4 解析 c b b c bc bc 22 这个形式很容易联想到余弦定理 cosA bc acb 2 222 而条件中的 高 容易联想到面积 Abc a asin 2 即 Abcasin2 2 将 代入 得 sin cos2 22 AAbccb c b b c 2 cosA sinA 2 2sin A 4 当 A 4 时取得最大值 2 2 故选 A 举例 2 如图 已知 A B C 是一条直路上的三点 AB 与 BC 各等于 1 千米 从三点分别遥望塔 M 在 A 处看见塔在北偏东 450 方向 在 B 处看见塔在正 东方向 在 C 处看见塔在南偏东 600 方向 求塔到 直路 ABC 的最短距离 解析 已知 AB BC 1 AMB 450 CMB 300 CMA 750 易见 MBC 与 MBA 面积相等 AMsin450 CMsin300 即 CM 2 AM 记 AM a 则 CM 2a 在 MAC 中 AC 2 由余弦定理得 4 3a2 2 2a2cos750 a2 34 4 记 M 到 AC 的距离为h 则 2a2sin750 2h 用心 爱心 专心 得h 13 357 塔到直路 ABC 的最短距离为 13 357 巩固 1 如图 半圆 O 的直径为 2 A 为直径延长线上一点 且 OA 2 B 为半圆周长上任意一点 以 AB 为边作等边 ABC 问 B 点 在什么位置时 四边形 OACB 的面积最大 并求出这个最大面积 巩固 2 一艘海岸缉私艇巡逻至 A 处时发现在其正东方向 20km的 海面 B 处有一艘走私船正以 hvkm 的速度向北偏东 300 的 方向逃窜 缉私艇以 3hvkm 的速度沿 的方向追击 才能最快截获走私船 若v 40 3 则追击 时间至少为 分钟 简答 1 巩固 3 迁移 A 2 巩固 1 A 巩固 2 倒行逆施 函数 y cosx 的图象按 a 3 2 平移 选 D 迁移 1 1 3 2 2sin 3 xxf 2 1 6 3 巩固 1 0 3 0 3 巩固 2 450