2013年浙江高考理科数学试卷解析版

第 1 页 共 9 页 绝密 考试结束前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 数学 理科 数学 理科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 全卷共 5 页 选择题部分 1 至 3 页 非选择题部分 4 至 5 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共选择题部分 共 50 分 分 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸 规定的位置上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 不能答在试题卷上 参考公式参考公式 如果事件互斥 那么 A B P ABP AP B 如果事件相互独立 那么 A B P A BP AP B 如果事件在一次试验中发生的概率为 那么次独立重复试验中事件 恰好发生次的概率APnAk 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 台体的体积公式 1122 1 3 Vh SS SS 其中 分别表示台体的上 下面积 表示台体的高柱体体积公式 1 S 2 ShVSh 其中表示柱体的底面积 表示柱体的高Sh 锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积 表示锥体的高 1 3 VSh Sh 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 其中表示球的半径 3 4 3 VR R 第 2 页 共 9 页 选择题部分 共 50 分 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 1 已知 i 是虚数单位 则 1 i 2 i A 3 iB 1 3i C 3 3i D 1 i 命题意图 本题考查复数的四则运算 属于容易题 答案解析 B 2 设集合 S x x 2 T x x2 3x 4 0 则 RS T A 2 1 B 4 C 1 D 1 命题意图 本题考查集合的运算 属于容易题 答案解析 C 因为 RS x x 2 T x 4 x 1 所以 RS T 1 3 已知 x y 为正实数 则 A 2lgx lgy 2lgx 2lgyB 2lg x y 2lgx 2lgy C 2lgx lgy 2lgx 2lgy D 2lg xy 2lgx 2lgy 命题意图 本题考查指数和对数的运算性质 属于容易题 答案解析 D 由指数和对数的运算法则 易知选项 D 正确 4 已知函数 f x Acos x A 0 0 R 则 f x 是奇函数 是 的 2 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 命题意图 本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性 属于中档题 答案解析 B 由 f x 是奇函数可知 f 0 0 即 cos 0 解出 k k Z 所以选项 B 正确 2 5 某程序框图如图所示 若该程序运行后输出的值是 则 9 5 A a 4B a 5 C a 6D a 7 命题意图 本题考查算法程序框图 属于容易题 答案解析 A 6 已知 R sin 2cos 则 tan2 10 2 A B 4 3 3 4 C D 3 4 4 3 命题意图 本题考查三角公式的应用 解法多样 属于中档题 答案解析 C 由 sin 2cos 2 可得 进一步整理可得 10 2 2 sin2 4cos2 4sin cos sin2 cos2 10 4 3tan2 8tan 3 0 解得 tan 3 或 tan 于是 tan2 1 3 2tan 1 tan2 3 4 7 设 ABC P0是边 AB 上一定点 满足 P0B AB 且对于 AB 上任一点 P 恒有 则 1 4 PB PC P0B P0C A ABC 90 B BAC 90 C AB ACD AC BC 命题意图 本题考查向量数量积的几何意义 不等式恒成立的有关知识 属于中档题 C A B HP0P 开始 S 1 k 1 k a S S 1 k k 1 k k 1 输出 S 结束 是 否 第 5 题图 第 3 页 共 9 页 答案解析 D 由题意 设 4 则 1 过点 C 作 AB 的垂线 垂足为 H 在 AB 上任取一点 P AB P0B 设 HP0 a 则由数量积的几何意义可得 a 1 a 于是 PB PC PH PB PB PB P0B P0C P0H P0B 恒成立 相当于 a 1 a 恒成立 整理得 2 a 1 a 0 恒成立 只需 PB PC P0B P0C PB PB PB PB a 1 2 4a a 1 2 0 即可 于是 a 1 因此我们得到 HB 2 即 H 是 AB 的中点 故 ABC 是等腰三角 形 所以 AC BC 8 已知 e 为自然对数的底数 设函数 f x ex 1 x 1 k k 1 2 则 A 当 k 1 时 f x 在 x 1 处取到极小值 B 当 k 1 时 f x 在 x 1 处取到极大值 C 当 k 2 时 f x 在 x 1 处取到极小值 D 当 k 2 时 f x 在 x 1 处取到极大值 命题意图 本题考查极值的概念 属于中档题 答案解析 C 当 k 1 时 方程 f x 0 有两个解 x1 0 x2 1 由标根法可得 f x 的大致图象 于是选项 A B 错误 当 k 2 时 方程 f x 0 有三个解 x1 0 x2 x3 1 其中 1 是二重根 由标根法可得 f x 的大 致图象 易知选项 C 正确 9 如图 F1 F2是椭圆 C1 与双曲线 C2的公共焦点 A B x2 4 y2 1 分别是 C1 C2在第二 四象限的公共点 若四边形 AF1BF2为矩形 则 C2的离心率为 A B 23 C D 3 2 6 2 命题意图 本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质 属于中档题 答案解析 D 由题意 c AF2 AF1 4 AF2 AF1 2a 得 AF2 2 a 得 3 AF1 2 a 又 AF1 2 AF2 2 F1F2 2 所以 a 于是 e 2 c a 6 2 10 在空间中 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 B 记 B f A 设 是两个不同的平面 对空间任意一点 P Q1 f f P Q2 f f P 恒有 PQ1 PQ2 则 A 平面 与平面 垂直B 平面 与平面 所成的 锐 二面角为 45 C 平面 与平面 平行D 平面 与平面 所成的 锐 二面角为 60 命题意图 本题考查新定义问题的解决 重在知识的迁移 属于较难题 答案解析 A 用特殊法立即可知选项 A 正确 非选择题部分 共 100 分 二 填空题 每小题 4 分 共 28 分 11 设二项式的展开式中常数项为 A 则 A x 1 3 x 5 命题意图 考查二项式定理 属于容易题 答案解析 10 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的 体积等于 cm3 0 1 01 k 1 k 2 Ox y A B F1 F2 第 9 题图 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 第 12 题图 第 4 页 共 9 页 命题意图 本题考查三视图和体积计算 属于容易题 答案解析 24 由题意 该几何体为一个直三棱柱截去一个三棱锥所得 13 设 z kx y 其中实数 x y 满足若 z 的最大值为 12 则实数 k x y 2 0 x 2y 4 0 2x y 4 0 命题意图 本题考查线性规划 属于容易题 答案解析 2 作出平面区域即可 14 将 A B C D E F 六个字母排成一排 且 A B 均在 C 的同侧 则不同的排法有 种 用数 字作答 命题意图 本题考查排列组合 属于中档题 答案解析 480 第一类 字母 C 排在左边第一个位置 有 A 种 第二类 字母 C 排在左边第二个位 5 5 置 有 A A 种 第三类 字母 C 排在左边第三个位置 有 A A A A 种 由对称性可知共有 2 A 2 43 32 2 3 32 33 35 5 A A A A A A 480 种 2 4 3 32 2 3 32 3 3 3 15 设 F 为抛物线 C y2 4x 的焦点 过点 F 1 0 的直线 l 交抛物线 C 于 A B 两点 点 Q 为线段 AB 的中 点 若 FQ 2 则直线 l 的斜率等于 命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系 属于中档题 答案解析 1 设直线 l 的方程为 y k x 1 联立消去 y 得 k2x2 2k2 4 x k2 0 由 y k x 1 y2 4x 韦达定理 xA xB 于是 xQ 把 xQ带入 y k x 1 得到 yQ 根据 FQ 2k2 4 k2 xA xB 2 2 k2 1 2 k 解出 k 1 2 k2 2 2 2 k 2 2 16 在 ABC C 90 M 是 BC 的中点 若 sin BAM 则 sin BAC 1 3 命题意图 本题考查解三角形 属于中档题 答案解析 设 BC 2a AC b 则 AM AB sin ABM 6 3a2 b24a2 b2 sin ABC 在 ABM 中 由正弦定理 即 解得 2a2 b2 于是 AC AB BM sin BAM AM sin ABM a 1 3 sin BAC BC AB 6 3 17 设 e1 e2为单位向量 非零向量 b xe1 ye2 x y R 若 e1 e2的夹角为 则的最大值等于 6 x b b 命题意图 本题以向量为依托考查最值问题 属于较难题 答案解析 2 x b b x xe e1 ye e2 2 x x2 y2 3xy 1 x2 y2 3xy x2 1 y x 2 3y x 1 所以的最大值为 2 1 y x 3 2 2 1 4 x b b 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 18 本小题满分 14 分 在公差为 d 的等差数列 an 中 已知 a1 10 且 a1 2a2 2 5a3成等比数列 求 d an 若 d 0 求 a1 a2 a3 an 命题意图 本题考查等差数列 等比数列的概念 等差数列通项公式 求和公式等基础知识 同时考查 运算求解能力 答案解析 由题意 5a3 a1 2a2 2 2 第 5 页 共 9 页 即 d2 3d 4 0 故 d 1 或 d 4 所以 an n 11 n N 或 an 4n 6 n N 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 因为 db 0 的一个顶点 C1的长轴是圆 C2 x2 y2 4 的 x2 a2 y2 b2 1 直径 l1 l2是过点 P 且互相垂直的两条直线 其中 l1交圆 C2于 A B 两点 l2交椭圆 C1于另一点 D 求椭圆 C1的方程 求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程 命题意图 本题考查椭圆的几何性质 直线与圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系等基础知识 同时 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力 答案解析 由题意得 b 1 a 2 所以椭圆 C 的方程为 x2 4 y2 1 设 A x1 y1 B x2 y2 D x0 y0 由题意知直线 l1的斜率存在 不妨设其为 k 则直线 l1的方程为 y kx 1 又圆 C2 x2 y2 4 故点 O 到直线 l1的距离 d 1 k2 1 所以 AB 2 2 4 d2 4k2 3 k2 1 又 l1 l2 故直线 l2的方程为 x ky k 0 由 消去 y 整理得 4 k2 x2 8kx 0 故 x0 8k 4 k2 所以 PD 8k2 1 4 k2 设 ABD 的面积为 S 则 S AB PD 1 2 8 4k2 3 4 k2 所以 S 32 4k2 3 13 4k2 3 32 24k2 3 13 4k2 3 16 13 13 x O y B l1 l2 P D A 第 21 题图 第 8 页 共 9 页 当且仅当 k 时取等号 10 2 所以所求直线 l1的方程为 y x 1 10 2 22 本题满分 14 分 已知 a R 函数 f x x3 3x2 3ax 3a 3 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 当 x 0 2 时 求 f x 的最大值 命题意图 本题考查导数的几何意义 导数应用等基础知识 同时考查推理论证能力 分类讨论等分析 问题和解决问题的能力 答案解析 由题意 f x 3x2 6x 3a 故 f 1 3a 3 又 f 1 1 所以所求的切线方程为 y 3a 3 x 3a 4 由于 f x 3 x 1 2 3 a 1 0 x 2 故 当a 0 时 有 f x 0 此时 f x 在 0 2 上单调递减 故 f x max max f 0 f 2 3 3a 当a 1 时 有 f x 0 此时 f x 在 0 2 上单调递增 故 f x max max f 0 f 2 3a 1 当 0 a 1 时 设 x1 1 x2 1 则 1 a 1 a 0 x1 x20 f x1 f x2 4 1 a 0 1 a 从而 f x1 f x2 所以 f x max max f 0 f 2 f x1 1