高中数学必修五知识点公式总结

WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 必修五数学公式概念 第一章 解三角形 1 1 正弦定理和余弦定理 1 1 1 正弦定理 1 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 sinsinsin abc ABC 正弦定理推论 为三角形外接圆的半径 2 sinsinsin abc R ABC R 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC sinsinsin sinsinsin aAbBaA bBcCcC sin sin sina b cABC sinsinsinsinsinsin abcabc ABCABC 2 解三角形的概念 一般地 我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素 任何一个三角形都有六个元素 三条边和三个内角 在三角形中 已知三 cba CBA 角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 3 正弦定理确定三角形解的情况 图 形关 系 式解 的 个 数 sinabA ab 一 解 sinbAab 两 解 为 锐 角A sinabA 无 解 ba 一 解 A 为 钝 角 或 直 角 ba 无 解 4 任意三角形面积公式为 WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 2 111 sinsinsin 2224 2sinsinsin 2 ABC abc SbcAacBabC R r p papbpcabcRABC A 1 1 2 余弦定理 5 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cosbaccaB 222 2coscababC 余弦定理推论 222 cos 2 bca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 abc C ab 6 不常用的三角函数值 15 75 105 165 sin 4 26 4 26 4 26 4 26 cos 4 26 4 26 4 26 4 26 tan32 32 32 32 1 2 应用举例 1 方位角 如图 1 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 2 方向角 如图 2 从指定线到目标方向线所成的小于 90 的水平角 指定方向线是指 正北或正南或正西或正东 3 仰角和俯角 如图 3 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标 视线在水平视线上方时叫做仰角 目标视线在水平视线下方时叫做俯角 1 方位角 2 方向角 3 仰角和俯角 4 视角 4 视角 如图 4 观察物体的两端 视线张开的角度称为视角 5 铅直平行 于海平面垂直的平面 6 坡角与坡比 如图 5 坡面与水平面所成的夹角叫坡角 坡面的铅 直高度与水平宽度的比叫坡比 h i l 5 坡角与坡比 WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 第二章 数 列 2 1 数列的概念与简单表示法 1 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列 数列中的每一个数都叫做这个数列 的项 数列中的每一项和它的序号有关 排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 也叫首 项 排在第二位的数称为这个数列的第 2 项 排在第位的数称为这个数列的第项 nn 所以 数列的一般形式可以写成 简记为 1 a 2 a 3 a n a n a 2 数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示 n ann 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 3 数列的递推公式 如果已知数列的第 1 项 或前几项 且从第 2 项 或某一项 开始 的任一项与它的前一项 或前几项 间的关系可以用一个公式表示 那 n a1 n a2 n 么这个公式叫做这个数列的递推公式 定义式为 12 1 nn aa1 n 4 数列与函数 数列可以看成以正整数集 或它的有限子集 为 N 1 2 3 4 n 定义域的函数 当自变量按照从大到小的顺序依次取值时 所对应的一列函数 nfan 值 通项公式可以看成函数的解析式 5 数列的单调性 若数列满足 对一切正整数 都有 或 n an1 nn aa 1 nn aa 则称数列为递增数列 或递减数列 n a 判断方法 转化为函数 借助函数的单调性 求数列的单调性 作差比较法 即作差比较与的大小 1 n a n a 2 2 等差数列 1 等差数列的定义 一般地 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同 一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差常用字母 表示 定义式为 或 ddaa nn 1 2 n n Ndaa nn 1 n N 2 等差中项 由三个数 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 这时 aAb 叫做与的等差中项 Aab 是 的等差中项 Aab 2 ba A baA 2 AbaA 3 等差中项判定等差数列 任取相邻的三项 则 1 n a n a 1 n a nn 2 N 成等差数列 是等差数列 1 n a n a 1 n a 11 2 nnn aaa2 n n a WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 4 等差数列的通项公式 其中为首项 为公差 变形为 1 1 n aand 1 ad 1 1 n aa d n 5 通项公式的变形 其中为第项 变形为 dmnaa mn m am mn aa d mn 6 等差数列的性质 1 若 且 则nmpq Nqpnm qpnm aaaa 2 若 则 pnm2 pnm aaa2 3 若 成等差数列 则 成等差关系 mpn m a p a n a 4 若成等差数列 公差为 首项为 n a qpnan pqp 5 若成等差数列 则也成等差数列 n c n a 6 如果都是等差数列 则 也是等差数列 n a n b qpan mn qbpa 2 3 等差数列的前 项和n 1 一般数列与的关系为 n a n s 2 1 1 1 nSS nS a nn n 2 等差数列前项和的公式 n dnn na aan S n n 2 1 2 1 1 3 等差数列前项和公式的函数特征 1 由 n n d an d d nn naSn 222 1 1 2 1 令 则为等差数列 为常数 其中 2 d A 2 1 d aB n a nn BAnS 2 BA 若 即 则是关于的无常数项的二次函数 若Ad2 baa 1 0 A0 d n Sn 即 则 2 若为等差数列 也是等差数列 公0 A0 d 1 naSn n a n Sn 差为 2 d 3 若为等差数列 也成等差数列 n a 232 kkKkk SSSSS 4 若 则 5 若 则mSn nSm nmS nm nm SS 0 nm S WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 6 若是均为等差数列 前项和分别是与 则有 nn ban n A n B 12 12 m m m m B A b a 7 在等差数列中 则存在最大值 则存 n a0 1 a0 d n S0 1 a0 d n S 在最小值 2 4 等比数列 1 等比数列 一般地如果一个数列从第 2 项起 每一项与它前一项的比等于同一常数 那 么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母表示 定q 0q 义式 1 n n a q a 2n 0 n a 0q 2 等比中项 如果在与中间插入一个数 使 成等比数列 那么叫做abGaGbG 与的等比数列 成等比数列 abaGb 2 Gb GabGab aG 两数同号才有等比中项 且有 2 个互为相反数 3 通项公式 其中首相为 公比为 1 1 1 nn n a aa qq q 1 aq 4 等比数列的性质 n m nm aa q nm N 2 5 等比数列的前 项和n 1 等比数列的前项和的公式 n 1 1 1 1 1 1 11 n n n na q S aq aa q q qq 2 等比数列的前项和的函数特征 当时 记n1q 1 11 1 111 n n n aq aa Sq qqq 即 1 1 a A q n n SAqA 3 等比数列的前项和的性质 在等比数列中 n 1 当 均不为零时 数列成等差数列 公比为 k S 2kk SS 32kk SS qk 2 nm n mnmmn SSq SSq S 3 或 m n m n a q a m n mn aaq mn N 4 若 则mnpq mnpq aaaa WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 5 若为等差数列 则为等比数列 n a n a C 6 若为正项等比数列 则是等差数列 n a logC n a 7 若 均为等比数列 则 n a n b 等仍是等比数列 公比分别为 0 k n nnnnn nn a aaaab ab 1 12 2 1 k q qqqq q qq 8 等比数列的增减性 当 或时 为递增数列 当 n a 1 0 1 a q 1 0 01 a q n a 或时 为递增减数列 1 0 01 a q 1 0 1 a q n a 4 由递推公式求数列通向法 1 累加法 变形 1nn aaf n 1nn aaf n 2 累乘法 变形 1nn aaf n 1n n a f n a 3 取倒数法 1 n n n pa a qap 4 构建新数列法 其中 均为常数 1nn apaq pq 1 0pq p 设为等比数列 1nn akp ak n ak 第三章 不等式 3 1 不等式关系与不等式 1 不等式定义 用不等号 表示不等关系的式子叫不等式 记作 等 用 或 连接的不等式叫严格不等式 用不 f xg x f xg x 或 连接的不等式叫非严格不等式 2 实数的基本性质 0 baba0 baba0 baba 实数的其他性质 0 0 0 0 abba b a 0 0 0 0 abba b a 0 0 0 ab b a WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 3 不等式的基本性质 1 对称性 2 传递性 abba cacbba 3 可加性 推论 1 移向法则 cbcaba bcacba 推论 2 同向不等式的相加法则 dbca dc ba 4 可乘性 0 ab acbc c 0 ab acbc c 5 同向相加 异向可减 ab acbd cd ab adbc dc 6 同向可乘 异项可除 0 0 ab acbd cd 0 0 ab ab dcdc 7 乘方法则 0ab nn ab n N1n 8 可开方性法则 0 nn abab n N2n 9 倒数法则 11 0 ab abab 3 2 一元二次不等式及其解法 1 一元二次不等式定义 我们把只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是的不等式 2 称为一元二次不等式 使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解 一元二次不等式的所有解组成的集合 叫做这个一元二次不等式的解集 2 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式三者之间的关系 2 4bac 0 0 0 2 0axbxc 的图像 0a 2 0axbxc 的根 0a 两个不相等的实数根 12 xx 两个相等的实数根 12 xx 没有实数根 2 0axbxc 的解集 0a 12 x xxxx 或 2 b x x a R WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 2 0axbxc 的解集 0a 12 x xxx 3 3 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 3 3 1 二元一次不等式 组 与平面区域 1 平面区域 一般地 在平面直角坐标系中 二元一次不等式表示直线0AxByC 某一侧所有点组成的平面区域 我们把直线画成虚线 以表示区域不包括0AxByC 边界 不等式表示的平面区域包括边界 把边界画成实线 0AxByC 2 平面区域的判定 一般地 当时 表示的上方区域 ykxb ykxb 当时 表示的下方区域 ykxb ykxb 3 3 2 简单的线性规划问题 3 线性规划有关概念 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 统称 线性规划问题 若约束条件是关于变量的一次不等式 方程 则成为线性约束条件 要求最大 小 值所涉及的关于变量 的一次解析式叫做线性目标函数 满足线性xy 约束条件的解 叫做可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标xy 函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 3 4 基本不等式 2 ab ab 1 主要不等式 设 则 当且仅当时取 ab R 22 2abab ab 2 基本不等式 设 则 当且仅当时取 0a 0b 2 ab ab ab 即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数 变形 2abab 3 应用 22 2 22 ababab ab ab 2 22 22 abab ab ab R 4 基本不等式的应用 1 如果和是定值 那么当且仅当时 积有最大值 xy S 2 S xy x y 2 4 S 2 如果积是定值 那么当且仅当时 和有最小值 x yPxyP xy 2 P 应注意以下几点 附 韦达定理 在函数 则 2 0axbxc 0a 12 b xx a 12 c x x a 射影定理 2 CDAD BD 2 ACAD AB 2 CBBD AB WORD 格式 整理版 优质 参考 资料 各项或各因式必须为整数 各项或各因式的和 或积 必须为常数 各项或各因式能够取相等的值 以上三个条件简称为 一正 二定 三相等 关于不等式其他补充内容 1 两点间的距离公式 设 则 111 P xy 222 P xy 22 121212 PPxxyy 2 点到直线的距