2018年高考数学真题较难题汇编

2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 1 已知四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 侧棱长均相等 E 是线段 AB 上的点 不含端点 设 SE 与 BC 所成的角为 1 SE 与平面 ABCD 所成的角为 2 二面角 S AB C 的平面角为 3 则 A 1 2 3B 3 2 1C 1 3 2D 2 3 1 2 已知 a b e 是平面向量 e 是单位向量 若非零向量 a 与 e 的夹角为 向量 b 满足 3 b2 4e b 3 0 则 a b 的最小值是 A 1B 1C 2D 2 333 3 已知 a1 a2 a3 a4成等比数列 且 a1 a2 a3 a4 ln a1 a2 a3 若 a1 1 则 A a1 a3 a2a3 a2 a4C a1a4D a1 a3 a2 a4 4 已知 R 函数 f x 当 2 时 不等式 f x 0 的解集是 若 x 4 x x2 4x 3 x 1 上两点 A B 满足 2 则当 m 时 点 x 2 4APPB B 横坐标的绝对值最大 7 15 分 如图 已知点 P 是 y 轴左侧 不含 y 轴 一点 抛物线 C y2 4x 上存在不同的两点 A B 满足 PA PB 的中点均在 C 上 1 设 AB 中点为 M 证明 PM 垂直于 y 轴 2 若 P 是半椭圆 x2 1 x8 8ln2 2 若 a 3 4ln2 证明 对于任意 k 0 直线 y kx a 与曲线 y f x 有唯一公共点 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 PM B A O y x 9 函数满足 且在区间上 f x 4 f xf x x R 2 2 则的值为 cos 02 2 1 20 2 x x f x xx 15 f f 10 如图所示 正方体的棱长为 2 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11 若函数在内有且只有一个零点 则在上的最大值与最小 32 21 f xxaxa R 0 f x 1 1 值的和为 12 在平面直角坐标系中 A 为直线上在第一象限内的点 以 AB 为直径的圆 C 与xOy 2l yx 5 0 B 直线 l 交于另一点 D 若 则点 A 的横坐标为 0AB CD 13 在中 角所对的边分别为 的平分线交于点 D 且ABC A B C a b c120ABC ABC AC 则的最小值为 1BD 4ac 14 已知集合 将的所有元素从小到大依次排列构 21 Ax xnn N 2 n Bx xn NAB 成一个数列 记为数列的前 n 项和 则使得成立的 n 的最小值为 n a n S n a 1 12 nn Sa 17 本小题满分 14 分 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆 O 的一段圆弧 P 为此圆弧的中点 和线段 MNMPN 构成 已知圆 O 的半径为 40 米 点 P 到 MN 的距离为 50 米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形 ABCD 大棚 内的地块形状为 要求均在线段上 CDP A BMN 均在圆弧上 设 OC 与 MN 所成的角为 C D 1 用分别表示矩形和的面积 并确定的ABCDCDP sin 取值范围 2 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且 甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当为何值时 4 3 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系中 椭圆 C 过点 焦xOy 1 3 2 点 圆 O 的直径为 12 3 0 3 0 FF 12 FF 1 求椭圆 C 及圆 O 的方程 2 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 求点 P 的坐标 直线 l 与椭圆 C 交于两点 若的面积为 求直线 l 的方程 A BOAB 2 6 7 19 本小题满分 16 分 记分别为函数的导函数 若存在 满足且 fx g x f x g x 0 x R 00 f xg x 00 fxg x 则称为函数与的一个 S 点 网 0 x f x g x 1 证明 函数与不存在 S 点 f xx 2 22g xxx 2 若函数与存在 S 点 求实数 a 的值 2 1f xax lng xx 3 已知函数 对任意 判断是否存在 使函数与 2 f xxa e x b g x x 0a 0b f x 在区间内存在 S 点 并说明理由 g x 0 20 本小题满分 16 分 设是首项为 公差为 d 的等差数列 是首项为 公比为 q 的等比数列 n a 1 a n b 1 设 若对均成立 求 d 的取值范围 11 0 1 2abq 1 nn abb 1 2 3 4n 2 若 证明 存在 使得对均成立 11 0 1 2 m abmq Nd R 1 nn abb 2 3 1nm 并求的取值范围 用表示 1 b m q 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷 8 在平面直角坐标系中 已知点 A 1 0 B 2 0 E F 是 y 轴上的两个动点 且 EF 2 则BFAE 的最小值为 9 有编号互不相同的五个砝码 其中 5 克 3 克 1 克砝码各一个 2 克砝码两个 从中随机选取三 个 则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 结果用最简分数表示 10 设等比数列 an 的通项公式为 an q 1 n N 前 n 项和为 Sn 若 1 Sn1 lim 2 n n a 则 q 11 已知常数 a 0 函数 2 2 2 2 f x ax 的图像经过点 6 5 p p 1 5 Q q 若236 p q pq 则 a 12 已知实数 x x y y 满足 1xy 1xy 2 1 2 x xy y 则 1 2 xy 1 2 xy 的最大值为 16 设 D 是含数 1 的有限实数集 f x 是定义在 D 上的函数 若f x 的图像绕原点逆时针旋转 6 后与原图像重合 则在以下各项中 1f 的可能取值只能是 A 3 B 3 2 C 3 3 D 0 20 本题满分 本题满分 16 分 第分 第 1 小题满分小题满分 4 分 第分 第 2 小题满分小题满分 6 分 第分 第 2 小题满分小题满分 6 分 第分 第 3 小题满分小题满分 6 分 分 设常数 t 2 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 F 2 0 直线 l x t 曲线曲线 8yx 00 xty l 与 x 轴交于点 A 与 交于点 B P Q 分别是曲线 与线段 AB 上的动点 1 用 t 为表示点 B 到点 F 的距离 2 设 t 3 2FQ 线段 OQ 的中点在直线 FP 上 求 AQP 的面积 3 设 t 8 是否存在以 FP FQ 为邻边的矩形 FPEQ 使得点 E 在 上 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 21 本题满分 18 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 给定无穷数列 an 若无穷数列 bn 满足 对任意 nN 都有 1 nn ba 则称 nn ba与 接近 1 设 an 是首项为 1 公比为 2 1 的等比数列 1 1 nn ba nN 判断数列 n b 是否与 n a 接近 并说明理由 2 设数列 an 的前四项为 a 1 a 2 a 4 8 bn 是一个与 an 接近的数列 记集合 4 M x x bi i 1 2 3 4 求 M 中元素的个数 m 3 已知 an 是公差为 d 的等差数列 若存在数列 bn 满足 bn 与 an 接近 且在 b b b b b201 b200中至少有 100 个为正数 求 d 的取值范围 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 4 十二平均律 是通用的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例 为这个理论的发展做 出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份 依次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 若第一个单音的频率为f 则第八个单 12 2 音的频率为 A B 3 2f 32 2 f C D 125 2 f 127 2 f 7 在平面直角坐标系中 记d为点P cos sin 到直线的距离 当 m变化时 d 20 xmy 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 设集合则 1 4 2 Ax yxyaxyxay A 对任意实数a B 对任意实数a 2 1 2 1 A A C 当且仅当af 0 对任意的x 0 2 都成立 则f x 在 0 2 上是增函数 为假命 题的一个函数是 14 已知椭圆 双曲线 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的 22 22 1 0 xy Mab ab 22 22 1 xy N mn 四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 则椭圆M的离心率为 双曲线 N的离心率为 18 本小题13分 设函数 f x 2 41 43axaxa ex 若曲线y f x 在点 1 处的切线与轴平行 求a 1 f x 若在x 2处取得极小值 求a的取值范围 f x 19 本小题 14 分 已知抛物线C 2px经过点 1 2 过点Q 0 1 的直线l与抛物线C有两个不同的交 2 y P 点A B 且直线PA交y轴于M 直线PB交y轴于N 求直线l的斜率的取值范围 设O为原点 求证 为定值 QMQO QNQO 11 20 本小题14分 设n为正整数 集合A 对于集合A中的任意元素 12 0 1 1 2 nn t tttkn 和 记 12 n x xx 12 n y yy M 11112222 1 2 nnnn xyxyxyxyxyxy 当n 3 时 若 求M 和M 的值 1 1 0 0 1 1 当n 4 时 设B是A的子集 且满足 对于B中的任意元素 当相同时 M 是奇数 当不同时 M 是偶数 求集合B中元素个数的最大值 给定不小于 2 的n 设B是A的子集 且满足 对于B中的任意两个不同的元素 M 0 写出一个集合B 使其元素个数最多 并说明理由 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 w 7 在平面坐标系中 是圆上的四段弧 如图 AAAA AB CD EF GH 22 1xy 点P在其中一段上 角以O 为始边 OP为终边 若 则P所在的圆弧是 tancossin A B C D A AB A CD A EF A GH 8 设集合则 1 4 2 Ax yxyaxyxay A 对任意实数a 2 1 A B 对任意实数a 2 1 A C 当且仅当ab 0 的左焦点为F 上顶点为B 已知椭圆的离心率为 点A的坐标为 22 22 1 xx ab 5 3 且 0 b6 2FBAB I 求椭圆的方程 II 设直线l 与椭圆在第一象限的交点为P 且l与直线AB交于点Q 若 0 ykx k O为原点 求k的值 5 2 sin 4 AQ AOQ PQ 20 本小题满分本小题满分 1414 分分 已知函数 其中a 1 x f xa logag xx I 求函数的单调区间 lnh xf xxa II 若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行 证 yf x 11 xf x yg x 22 xg x 明 12 2lnln ln a xg x a III 证明当时 存在直线l 使l是曲线的切线 也是曲线的切线 1 e ae yf x yg x 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 w 8 在如图的平面图形中 已知 1 2 120OMONMON 则的值为2 2 BMMA CNNA BC OM A B 15 9 C D 06 13 已知a b R 且a 3b 6 0 则 2a 的最小值为 1 8b 14 已知a R 函数若对任意x 3 f x 恒成立 则a 2 2 220 220 xxax f x xxax x 的取值范围是 17 本小题满分 13 分 如图 在四面体ABCD中 ABC是等边三角形 平面ABC 平面ABD 点M为棱AB的中点 AB 2 AD BAD 90 2 3 求证 AD BC 求异面直线BC与MD所成角的余弦值 求直线CD与平面ABD所成角的正弦值 18 本小题满分 13 分 设 an 是等差数列 其前n项和为Sn n N bn 是等比数列 公比大于 0 其前n项和为 Tn n N 已知b1 1 b3 b2 2 b4 a3 a5 b5 a4 2a6 求Sn和Tn 若Sn T1 T2 Tn an 4bn 求正整数n的值 19 本小题满分 14 分 设椭圆 的右顶点为A 上顶点为B 已知椭圆的离心率为 22 22 1 0 xy ab ab 5 3 13AB I 求椭圆的方程 II 设直线与椭圆交于两点 与直线交于点M 且点P M均在第四象限 0 l ykx k P QlAB 若的面积是面积的 2 倍 求k的值 BPM BPQ 20 本小题满分 14 分 设函数 其中 且是公差为的等差数列 123 f xxtxtxt 123 t t t R 123 t t td I 若 求曲线在点处的切线方程 2 0 1 td yf x 0 0 f II 若 求的极值 3d f x III 若曲线 与直线有三个互异的公共点 求d的取值范围 yf x 12 6 3yxt 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 1l 8 设抛物线的焦点为 过点且斜率为的直线与交于 两点 则 2 4Cyx F 20 2 3 CMN FM FN A 5B 6C 7D 8 9 已知函数 若存在 2 个零点 则的取值范围是 0 ln0 x ex f x xx g xf xxa g xa A B C D 10 0 1 1 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个 半圆构成 三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边 直ABCBC 角边 的三边所围成的区域记为 黑色部分记ABACABC 为 其余部分记为 在整个图形中随机取一点 此点取自 的概率分别记为 则 1 p 2 p 3 p A B C D 12 pp 13 pp 23 pp 123 ppp 11 已知双曲线 为坐标原点 为的右焦点 过的直线与的两条渐近线的交点 2 2 1 3 x Cy OFCFC 分别为 若为直角三角形 则MNOMN MN A B 3C D 4 3 2 2 3 12 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面所成的角都相等 则截此正方体所得截面面积的 最大值为 A B C D 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 16 已知函数 则的最小值是 2sinsin2f xxx f x 18 12 分 如图 四边形为正方形 分别为 ABCDEFAD 的中点 以为折痕把折起 使点到达点BCDFDFC C 的位置 且 PPFBF 1 证明 平面平面 PEF ABFD 2 求与平面所成角的正弦值 DPABFD 19 12 分 设椭圆的右焦点为 过的直线 与交于 两点 点的坐标为 2 2 1 2 x Cy FFlCABM 20 1 当 与轴垂直时 求直线的方程 lxAM 2 设为坐标原点 证明 OOMAOMB 20 12 分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验出 不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作检验 再根据检验结果决定是否对余 下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 且各件产品是否为不合格品相互 01pp 独立 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 求的最大值点 fp fp 0 p 2 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的作为的值 已知每 0 pp 件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费 用 i 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 求 XEX ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 21 12 分 已知函数 1 lnf xxax x 1 讨论的单调性 f x 2 若存在两个极值点 证明 f x 1 x 2 x 12 12 2 f xf x a xx 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 1w 11 已知角的顶点为坐标原点 始边与轴的非负半轴重合 终边上有两点 且 x 1Aa 2Bb 则 2 cos2 3 ab A B C D 1 1 5 5 5 2 5 5 12 设函数 则满足的 x 的取值范围是 20 1 0 x x f x x 12f xfx A B C D 1 0 10 0 16 的内角的对边分别为 已知 ABC ABC abc sinsin4 sinsinbCcBaBC 则 的面积为 222 8bca ABC 18 12 分 如图 在平行四边形中 ABCM3ABAC 以为折痕将 折起 使点到达点 90ACM ACACMM 的位置 且 DABDA 1 证明 平面平面 ACD ABC 2 为线段上一点 为线段上一点 且 Q ADPBC 求三棱锥的体积 2 3 BPDQDA QABP 20 12 分 设抛物线 点 过点的直线 与交于 两点 2 2Cyx 20A 20B AlCMN 1 当 与 轴垂直时 求直线的方程 lxBM 2 证明 ABMABN 21 12 分 已知函数 eln1 x f xax 1 设是的极值点 求 并求的单调区间 2x f x a f x 2 证明 当时 1 e a 0f x 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 2l 3 函数的图象大致为 2 ee xx f x x 10 若在是减函数 则的最大值是 cossinf xxx a a a A B C D 4 2 3 4 11 已知是定义域为的奇函数 满足 若 f x 1 1 fxfx 1 2f 则 1 2 3 50 ffff A B 0C 2D 5050 12 已知 是椭圆的左 右焦点 是的左顶点 点在过且斜率为 1 F 2 F 22 22 1 0 xy Cab ab ACPA 的直线上 为等腰三角形 则的离心率为 3 6 12 PFF 12 120FF P C A B C D 2 3 1 2 1 3 1 4 16 已知圆锥的顶点为 母线 所成角的余弦值为 与圆锥底面所成角为 45 若SSASB 7 8 SA 的面积为 则该圆锥的侧面积为 SAB 5 15 19 12 分 设抛物线的焦点为 过且斜率为的直线 与 2 4Cyx FF 0 k k l 交于 两点 CAB 8AB 1 求 的方程 l 2 求过点 且与的准线相切的圆的方程 ABC 20 12 分 如图 在三棱锥中 PABC 2 2ABBC 为的中点 4PAPBPCAC OAC P A O C B M 1 证明 平面 PO ABC 2 若点在棱上 且二面角为 求与平面所成角的正弦值 MBCMPAC 30 PCPAM 21 12 分 已知函数 2 exf xax 1 若 证明 当时 1a 0 x 1f x 2 若在只有一个零点 求 f x 0 a 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 2w 11 已知 是椭圆的两个焦点 是上的一点 若 且 则的离心 1 F 2 FCPC 12 PFPF 21 60PF F C 率为 A B C D 3 1 2 23 31 2 31 12 已知是定义域为的奇函数 满足 若 则 f x 1 1 fxfx 1 2f 1 2 3 50 ffff A B 0C 2D 5050 16 已知圆锥的顶点为 母线 互相垂直 与圆锥底面所成角为 若的面积为 SSASBSA30 SAB 8 则该圆锥的体积为 19 12 分 如图 在三棱锥中 PABC 2 2ABBC 为的中点 4PAPBPCAC OAC 1 证明 平面 PO ABC 2 若点在棱上 且 求点到平面的距离 MBC2MCMB CPOM 20 12 分 设抛物线的焦点为 过且斜率为的直线 与交于 两点 2 4Cyx FF 0 k k lCAB 8AB 1 求 的方程 l 2 求过点 且与的准线相切的圆的方程 ABC 21 12 分 已知函数 32 1 1 3 f xxa xx 1 若 求的单调区间 3a f x 2 证明 只有一个零点 f x 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 3l 6 直线分别与 轴 轴交于 两点 点在圆上 则面积的取20 xy xyABP 2 2 22xy ABP 值范围是 A B C D 26 48 23 2 2 23 2 7 函数的图像大致为 42 2yxx 9 的内角的对边分别为 若的面积为 则ABC A