高中数学学习必备的初中知识技能(第6讲-二元二次方程组)

1 第六讲第六讲 简单的二元二次方程组简单的二元二次方程组 在初中我们已经学习了一元一次方程 一元二次方程及二元一次方程组的解法 掌握了 用消元法解二元一次方程组 高中新课标必修 2 中学习圆锥曲线时 需要用到二元二次方程 组的解法 因此 本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法 含有两个未知数 且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程 叫做二元二次方程 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 或由两个二元二次方程组组 成的方程组 叫做二元二次方程组 一 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解 其蕴 含着转化思想 将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解 例例 1 解方程组 22 20 1 30 2 xy xy 分析 分析 由于方程 1 是二元一次方程 故可由方程 1 得 代入方程 2 消2yx 去 y 解 解 由 1 得 3 2yx 将 3 代入 2 得 解得 22 2 30 xx 12 11xx 或 把代入 3 得 把代入 3 得 1x 2 2y 1x 2 2y 原方程组的解是 11 11 11 22 xx yy 或 说明 说明 1 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤 由二元一次方程变形为用表示的方程 或用表示的方程 3 xyyx 把方程 3 代入二元二次方程 得一个一元二次方程 解消元后得到的一元二次方程 把一元二次方程的根 代入变形后的二元一次方程 3 求相应的未知数 的 值 写出答案 2 消 还是消 应由二元一次方程的系数来决定 若系数均为整数 那xy 么最好消去系数绝对值较小的 如方程 可以消去 210 xy x 变形 得 再代入消元 21xy 3 消元后 求出一元二次方程的根 应代入二元一次方程求另一未知数的值 不能代入二元二次方程求另一未知数的值 因为这样可能产生增根 这一点 切记 例例 2 解方程组 11 1 28 2 xy xy 2 分析 分析 本题可以用代入消元法解方程组 但注意到方程组的特点 可以把 看成xy 是方程的两根 则更容易求解 2 11280zz 解 解 根据一元二次方程的根与系数的关系 把 看成是方程的xy 2 11280zz 两根 解方程得 4z 或z 7 原方程组的解是 11 11 47 74 xx yy 或 说明 说明 1 对于这种对称性的方程组 利用一元二次方程的根与系数的关 xya xyb 系构造方程时 未知数要换成异于 的字母 如 xyz 2 对称形方程组的解也应是对称的 即有解 则必有解 4 7 x y 7 4 x y 二 由两个二元二次方程组成的方程组二 由两个二元二次方程组成的方程组 1 可因式分解型的方程组 可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程 则原方程组可转化为两个 方程组 其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成 例例 3 解方程组 22 22 5 1 43 2 xyxy xxyy 分析 分析 注意到方程 可分解成 即得 22 5 xyxy 5 0 xy xy 或 则可得到两个二元二次方程组 且每个方程组中均有一个方程0 xy 50 xy 为二元一次方程 解 解 由 1 得 22 5 0 5 0 5 0 xyxyxy xyxyxy xy 或0 xy 50 xy 原方程组可化为两个方程组 2222 500 4343 xyxy xxyyxxyy 或 用代入法解这两个方程组 得原方程组的解是 3124 12 34 431643 61 4343 xxxx yy yy 说明 说明 由两个二元二次方程组成的方程组中 有一个方程可以通过因式分解 化为两 个二元一次方程 则原方程组转化为解两个方程组 其中每一个方程组均有一个方程是二 元一次方程 3 例例 4 解方程组 2 2 12 1 4 2 xxy xyy 分析 分析 本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项 我们可以消去常数项 可得到 一个二次三项式的方程 对其因式分解 就可以转化为例 3 的类型 解 解 1 2 得 3 22 3 0 xxyxyy 即 22 230 3 0 xxyyxy xy 300 xyxy 或 原方程组可化为两个二元一次方程组 22 300 44 xyxy xyyxyy 用代入法解这两个方程组 得原方程组的解是 12 12 33 11 xx yy 说明 说明 若方程组的两个方程均缺一次项 则消去常数项 得到一个二元二次方程 此 方程与原方程组中的任一个方程联立 得到一个可因式分解型的二元二次方程组 例例 5 解方程组 22 26 1 5 2 xy xy 分析 分析 1 2 得 1 2 得 分2 2 36 3 xy 2 2 16 4 xy 别分解 3 4 可得四个二元一次方程组 解 解 1 2 得 2 1 2 得 222 236 3666xyxyxyxyxy 或2 222 216 1644xyxyxyxyxy 或 解此四个方程组 得原方程组的解是 3124 1234 1515 1551 xxxx yyyy 说明 说明 对称型方程组 如 都可以通过变形转化为 22 xya xyb 22 xya xyb 的形式 通过构造一元二次方程求解 xym xyn 2 可消二次项型的方程组 可消二次项型的方程组 例例 6 解方程组 3 1 38 2 xyx xyy 4 分析 分析 注意到两个方程都有项 所以可用加减法消之 得到一个二元一次方程 即xy 转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 解 解 1 得 3 2 3131 3 xyyx 代入 1 得 2 12 31 33311xxxxxx 或 分别代入 3 得 12 24yy 或 原方程组的解是 12 12 11 24 xx yy 或 说明 说明 若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例 则可用加减法消去二次项 得 到一个二元一次方程 把它与原方程组的任意一个方程联立 解此方程组 即得原方程组 的解 二元二次方程组类型多样 消元与降次是两种基本方法 具体问题具体解决 5 A 组组 1 解下列方程组 1 2 2 6xy yx 22 28 2 xy xy 3 4 22 1 235 xy xxyy 2 20 3210 xy xxy 2 解下列方程组 1 2 3 2 xy xy 1 6 xy xy 3 解下列方程组 1 2 2 23 0 1 xx yx 343 343 0 325 xyxy xy 3 4 22 2 0 8 xyxy xy 1 0 1 0 xy xy xy xy 4 解下列方程组 1 2 22 22 3 0 xy xy 16 8 xyx xyx B 组组 1 解下列方程组 1 2 2 23 2320 xy xyx 22 231 234330 xy xxyyxy 2 解下列方程组 1 2 3 2 xy xy 24 221 xy xy 3 解下列方程组 1 2 22 22 38 4 xy xxyy 22 4 221 xy xy 4 解下列方程组 练练 习习 6 1 2 22 5 2 xy xy 22 4 10 xy xy 第六讲第六讲 简单的二元二次方程组答案简单的二元二次方程组答案 A 组组 1 212 121 121 2 12 81010 3204 322 1 2 3 4 32 223 1010 3 44 xxx xxxx yyyy y yy 2 1212 1212 1232 1 2 21 23 xxxx yyyy 3 2 311212 13 12 122 3 713 203113 2 2 3 33 152 3113 14 4 x xxxxxx yy yy yyy 23 414 414 23 11 201 22 4 20110 22 xx xxx yyy yy 4 1 2 1234 1234 6666 2222 6666 2222 xxxx yyyy 4 3 x y B 组组 1 1 122 122 1 7 515 4 1 2 41 33 2 x xxx yyy y 2 12 12 1212 73