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函数 同步 练习 苏教版 必修

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函数函数 基础自测基础自测 1 与函数 f x x 是相同函数的是 A y B y C y elnx D y log22x 2 x x x 2 答案答案 A 2 设 M x 0 x 2 N y 0 y 3 给出下列四个图形 如图所示 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关 系的有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案答案 C 3 若对应关系 f A B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射 则下面说法错误的是 A A 中的每一个元素在集合 B 中都有对应元素 B A 中两个元素在 B 中的对应元素必定不同 C B 中两个元素若在 A 中有对应元素 则它们必定不同 D B 中的元素在 A 中可能没有对应元素 答案答案 B 4 如图所示 三个图象各表示两个变量 x y 的对应关系 则有 A 都表示映射 且 表示 y 为 x 的函数 B 都表示 y 是 x 的函数 C 仅 表示 y 是 x 的函数 D 都不能表示 y 是 x 的函数 答案答案 C 5 已知 f x2 5x 则 f x x 1 答案答案 x 0 2 51 x x 例例 1 1 给出下列两个条件 1 f 1 x 2 xx 2 f x 为二次函数且 f 0 3 f x 2 f x 4x 2 试分别求出 f x 的解析式 解解 1 令 t 1 t 1 x t 1 2 x 则 f t t 1 2 2 t 1 t2 1 即 f x x2 1 x 1 2 设 f x ax2 bx c a 0 f x 2 a x 2 2 b x 2 c 则 f x 2 f x 4ax 4a 2b 4x 2 又 f 0 3c 3 f x x2 x 3 224 44 ba a 1 1 b a 例例 2 2 已知函数 f x 0 1 0 1 0 2 x x x xx 1 画出函数的图象 2 求 f 1 f 1 f的值 1 f 解解 1 分别作出 f x 在 x 0 x 0 x 0 段上的图象 如图所示 作法略 2 f 1 12 1 f 1 f f 1 1 1 1 1 1 f 例例 3 3 12 分 某摩托车生产企业 上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元 辆 出厂价为 1 2 万元 辆 年销售量为 1 000 辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为 x 0 x 1 则出 厂价相应提高的比例为 0 75x 同时预计年销售量增加的比例为 0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式 2 为使本年度利润比上年有所增加 问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内 解解 1 依题意 本年度每辆摩托车的成本为 1 x 万元 而出厂价为 1 2 1 0 75x 万元 销售量为 1 000 1 0 6x 辆 故利润 y 1 2 1 0 75x 1 x 1 000 1 0 6x 4 分 整理得 y 60 x2 20 x 200 0 x 1 6 分 2 要保证本年度利润比上一年有所增加 则 y 1 2 1 1 000 0 8 分 即 60 x2 20 x 200 200 0 即 3x2 x 0 10 分 解得 0 x 适合 0 x 1 3 1 故为保证本年度利润比上年有所增加 投入成本增加的比例 x 的取值范围是 0 x 11 分 3 1 答答 1 函数关系式为 y 60 x2 20 x 200 0 x 1 2 投入成本增加的比例 x 的范围是 0 12 分 3 1 1 1 已知 f lgx 求 f x 1 2 x 2 已知 f x 是一次函数 且满足 3f x 1 2f x 1 2x 17 求 f x 3 已知 f x 满足 2f x f 3x 求 f x x 1 解解 1 令 1 t 则 x x 2 1 2 t f t lg f x lg x 1 1 2 t1 2 x 2 设 f x ax b 则 3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax b 5a 2x 17 a 2 b 7 故 f x 2x 7 3 2f x f 3x x 1 把 中的 x 换成 得 2f f x x 1 x 1 x 3 2 得 3f x 6x f x 2x x 3 x 1 2 在同一平面直角坐标系中 函数 y f x 和 y g x 的图象关于直线 y x 对称 现将 y g x 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位 再沿 y 轴向上平移 1 个单位 所得图象是由两条线段组成的折线 如图所示 则函数 f x 的表达式 为 A f x B f x 20 2 2 01 22 x x xx 20 2 2 01 22 x x xx C f x D f x 42 1 2 21 22 x x xx 42 3 2 21 62 x x xx 答案答案 A 3 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD 2a BC a BAD 45 作直线 MN AD 交 AD 于 M 交折线 ABCD 于 N 记 AM x 试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数 并写出函数的定义域 解解 作 BH AD H 为垂足 CG AD G 为垂足 依题意 则有 AH AG a 2 a 2 3 1 当 M 位于点 H 的左侧时 N AB 由于 AM x BAD 45 MN x y S AMN x2 0 x 2 1 2 a 2 当 M 位于 HG 之间时 由于 AM x MN BN x 2 a 2 a y S直角梯形 AMNB x x ax 2 2 1 a 2 a 2 1 2 3 2 8 2 ax aa 3 当 M 位于点 G 的右侧时 由于 AM x MN MD 2a x y S梯形 ABCD S MDN 2 2 3 4 5 2 2 1 44 2 1 4 3 2 2 1 2 2 2 1 2 222 2 2 axa a axxxaxa a xaaa a 综上 y aax a axx a a x a ax a xx 2 2 3 4 5 2 2 1 2 3 282 1 2 0 2 1 2 2 2 2 一 选择题选择题 1 下列函数中 与函数 y x 相同的函数是 A y B y 2 C y lg10 x D y x x 2 x x 2 log 2 答案答案 C 2 设 M x 2 x 2 N y 0 y 2 函数 f x 的定义域为 M 值域为 N 则 f x 的图象可以是图中的 答案答案 B 3 若 f x 则 f 1 的值为 6 log 6 3 2 xx xxf A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 C 4 已知 f 则 f x 的解析式可取为 2 2 1 1 1 1 x x x x A B C D 2 1x x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 2 1x x 答案答案 C 5 函数 f x lg 3x 1 的定义域是 x x 1 3 2 A B C 1 D 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 答案答案 C 6 2008 陕西理陕西理 11 定义在 R R 上的函数 f x 满足 f x y f x f y 2xy x y R R f 1 2 则 f 3 等于 A 2 B 3 C 6 D 9 答案答案 C 二 填空题二 填空题 7 已知函数 f x g x 分别由下表给出 则 f g 1 的值 为 满足 f g x g f x 的 x 的值是 答案答案 1 2 8 已知函数 x f x g x 其中 f x 是 x 的正比例函数 g x 是 x 的反比例函数 且 16 1 8 3 1 则 x 答案答案 3x x 5 三 解答题三 解答题 9 1 设 f x 是定义在实数集 R R 上的函数 满足 f 0 1 且对任意实数 a b 有 f a b f a b 2a b 1 求 f x 2 函数 f x x 1 1 满足 2f x f x lg x 1 求 f x 解解 1 依题意令 a b x 则 f x x f x x 2x x 1 即 f 0 f x x2 x 而 f 0 1 f x x2 x 1 2 以 x 代 x 依题意有 2f x f x lg 1 x 又 2f x f x lg 1 x 两式联立消去 f x 得 3f x lg 1 x 2lg 1 x f x lg 1 x x2 x3 1 x 1 3 1 10 已知函数 f x 和 g x 的图象关于原点对称 且 f x x2 2x 1 求 g x 的解析式 2 解不等式 g x f x x 1 解解 1 设函数 y f x 的图象上任一点 Q x0 y0 关于原点的对称点为 P x y 则 即 0 2 0 2 0 0 yy xx 0 0 yy xx 点 Q x0 y0 在函数 y f x 的图象上 y x2 2x 即 y x2 2x 故 g x x2 2x 2 由 g x 可得 2x2 x 1 0 1 xxf 当 x 1 时 2x2 x 1 0 此时不等式无解 当 x 1 时 2x2 x 1 0 1 x 因此 原不等式的解集为 2 1 2 1 1 11 如图所示 有一块半径为 R 的半圆形钢板 计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状 它的下底 AB 是 O 的直径 且上底 CD 的端点在圆周上 写出梯形周长 y 关于腰长 x 的函数关系式 并求出它的定义域 解解 AB 2R C D 在 O 的半圆周上 设腰长 AD BC x 作 DE AB 垂足为 E 连接 BD 那么 ADB 是直角 x123 f x 131 x123 g x 321 由此 Rt ADE Rt ABD AD2 AE AB 即 AE CD AB 2AE 2R R x 2 2 R x 2 所以 y 2R 2x 2R 即 y 2x 4R R x 2 R x 2 再由 解得 0 x R 所以 y 2x 4R 定义域为 0 R 02 0 2 0 2 2 R x R R x x 2 R x 2 2 12 某租赁公司拥有汽车 100 辆 当每辆车的月租金为 3 000 元时 可全部租出 当每辆车的月租金每增加 50 元时 未租 出的车将会增加一辆 租出的车每月需要维护费 150 元 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 1 当每辆车的月租金定为 3 600 元时 能租出多少辆车 2 当每辆车的月租金定为多少元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少 解解 1 当每辆车的月租金定为 3 600 元时 未租出的车辆数为 12 所以这时租出了 88 辆车 50 00036003 2 设每辆车的月租金定为 x 元 则租赁公司的月收益为 f x 100 50 50 0003 150 50 0003 x x x 整理得 f x 162x 21 000 x 4 050 2 307 050 50 2 x 50 1 所以 当 x 4 050 时 f x 最大 最大值为 f 4 050 307 050 即当每辆车的月租金定为 4 050 元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益为 307 050 元 2 2 函数的定义域 值域 基础自测基础自测 1 2008 全国全国 理理 1 函数 y 的定义域为 xxx 1 A x x 0 B x x 1 C x x 1 0 D x 0 x 1 答案答案 C 2 函数 f x 3x 0 x 2 的反函数的定义域为 A 0 B 1 9 C 0 1 D 9 答案答案 B 2 若函数 f x loga x 1 a 0 且 a 1 的定义域和值域都是 0 1 则 a 等于 A B C D 2 3 1 2 2 2 答案答案 D 4 函数 y 的值域是 x x1 A B C 0 1 D 0 2 1 2 1 2 1 0 答案答案 B 5 若函数 y x2 3x 4 的定义域为 0 m 值域为 则 m 的取值范围是 4 4 25 A B C 0 3 D 3 2 3 3 2 3 3 2 3 答案答案 B 例例 1 1 求下列函数的定义域 1 y xx x 1 0 2 y 2 32 5 3 1 x x 3 y 1 1 xx 解解 1 由题意得化简得 0 01 xx x 1 xx x 即故函数的定义域为 x x 0 且 x 1 0 1 x x 2 由题意可得解得 05 03 2 2 x x 55 3 x x 故函数的定义域为 x x 且 x 553 3 要使函数有意义 必须有 即 x 1 故函数的定义域为 1 01 01 x x 1 1 x x 例例 2 2 设函数 y f x 的定义域为 0 1 求下列函数的定义域 1 y f 3x 2 y f x 1 3 y f 3 1 3 1 xfx 4 y f x a f x a 解解 1 0 3x 1 故 0 x 3 1 y f 3x 的定义域为 0 3 1 2 仿 1 解得定义域为 1 3 由条件 y 的定义域是 f与定义域的交集 3 1 x 3 1 x 列出不等式组 3 2 3 1 3 4 3 1 3 2 3 1 1 3 1 0 1 3 1 0 x x x x x 故 y f的定义域为 3 1 3 1 xfx 3 2 3 1 由条件得讨论 1 1 10 10 axa axa ax ax 当即 0 a 时 定义域为 a 1 a 11 1 aa aa 2 1 当即 a 0 时 定义域为 a 1 a 1 aa aa 2 1 综上所述 当 0 a 时 定义域为 a 1 a 2 1 当 a 0 时 定义域为 a 1 a 2 1 例例 3 3 求下列函数的值域 1 y 2 y x 1 2 2 xx xx x21 3 y 1e 1e x x 解解 1 方法一方法一 配方法 y 1 而 1 1 2 xx 4 3 4 3 2 1 1 22 xxx 0 值域为 3 4 1 1 2 xx 1 3 1 y 1 3 1 方法二方法二 判别式法 由 y 得 y 1 1 2 2 xx xx 0 1 2 yxyx y 1 时 1 又 R R 必须 1 y 2 4y y 1 0 yx x 函数的值域为 1 3 1 y 1 y 1 3 1 2 方法一方法一 单调性法 定义域 函数 y x y 均在上递增 故 y 2 1 xxx21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 函数的值域为 2 1 方法二方法二 换元法 令 t 则 t 0 且 x x21 2 1 2 t y t 1 2 1 t 0 2 1 2 1 y 2 1 3 由 y 得 ex 1e 1e x x 1 1 y y ex 0 即 0 解得 1 y 1 y y 1 1 函数的值域为 y 1 y 1 例例 4 4 12 分 若函数 f x x2 x a 的定义域和值域均为 1 b b 1 求 a b 的值 2 1 解解 f x x 1 2 a 2 分 2 1 2 1 其对称轴为 x 1 即 1 b 为 f x 的单调递增区间 4 分 f x min f 1 a 1 6 分 2 1 f x max f b b2 b a b 8 分 2 1 由 解得 12 分 3 2 3 b a 1 求下列函数的定义域 1 y x 1 0 2 y 5x 4 0 2 12 2lg xx x 34lg 2 x x 3 y lgcosx 4 y lg ax k 2x a 0 2 25x 解解 1 由得 01 012 02 2 x xx x 1 43 2 x x x 所以 3 x 2 且 x 1 故所求函数的定义域为 3 1 1 2 2 由得 045 134 034 x x x 5 4 2 1 4 3 x x x 函数的定义域为 5 4 5 4 2 1 2 1 4 3 3 由 得 0cos 025 2 x x 2 2 2 2 55 Zkkxk x 借助于数轴 解这个不等式组 得函数的定义域为 5 2 3 2 2 2 3 5 4 由 ax k 2x 0 x k a 0 若 k 0 x 0 x R R 2 a 2 a 若 k 0 则当 1 即 a 2 时 2 a 函数的定义域为 x x log k 2 a 当 0 1 即 0 a 2 时 2 a 函数的定义域为 x x log k 2 a 当 1 即 a 2 时 2 a 则有 1x k 若 0 k 1 则函数的定义域为 R R 若 k 1 则 x 即原式无意义 2 若函数 f x 的定义域是 0 1 则 f x a f x a 0 a 的定义域是 2 1 A B a 1 a C a 1 a D 0 1 答案答案 B 3 求下列函数的值域 1 y 52 1 x x 2 y x 2 1x 解解 1 分离常数法 y 0 52 2 7 2 1 x 52 2 7 x y 故函数的值域是 y y R R 且 y 2 1 2 1 2 方法一方法一 换元法 1 x2 0 令 x sin 则有 y sincos sin2 2 1 故函数值域为 0 2 1 方法二方法二 y x 4 1 2 1 1 22242 xxxx 0 y 即函数的值域为 2 1 2 1 0 4 2008 广东重点中学联考广东重点中学联考 已知函数 f x x2 4ax 2a 6 x R R 1 求函数的值域为 0 时的 a 的值 2 若函数的值均为非负值 求函数 f a 2 a a 3 的值域 解解 1 函数的值域为 0 16a2 4 2a 6 02a2 a 3 0 a 1 或 a 2 3 2 对一切 x R R 函数值均非负 8 2a2 a 3 0 1 a a 3 0 2 3 f a 2 a a 3 a2 3a 2 a 2 a 2 3 4 17 2 3 1 二次函数 f a 在上单调递减 f a min f f a max f 1 4 2 3 1 2 3 4 19 f a 的值域为 4 4 19 一 选择题一 选择题 1 已知函数 f x 的定义域为 0 2 函数 f的定义域为 1 x A 1 B 1 3 C 3 D 0 55 答案答案 B 2 2009 河南新郑二中模拟河南新郑二中模拟 函数 y 的定义域是 x x 2 1 log2 A B 1 2 C 2 D 2 2 1 答案答案 B 3 2008 湖北理湖北理 4 函数 f x ln 的定义域为 x 1 4323 22 xxxx A 4 2 B 4 0 0 1 C 4 0 0 1 D 4 0 0 1 答案答案 D 4 设 f x lg 则 f的定义域为 x x 2 2 2 2 x f x A 4 0 0 4 B 4 1 1 4 C 2 1 1 2 D 4 2 2 4 答案答案 B 5 设 f x g x 是二次函数 若 f g x 的值域是 0 则 g x 的值域是 1 1 2 xx xx A 1 1 B 1 0 C 0 D 1 答案答案 C 6 定义域为 R R 的函数 y f x 的值域为 a b 则函数 y f x a 的值域为 A 2a a b B a b C 0 b a D a a b 答案答案 B 二 填空题二 填空题 7 2008 安徽理安徽理 13 函数 f x 的定义域为 1 log 1 2 2 x x 答案答案 3 8 若函数 y lg 4 a 2x 的定义域为 R R 则实数 a 的取值范围为 答案答案 a 0 三 解答题三 解答题 9 1 求函数 f x 的定义域 2 2 9 2 1 x xxg 2 已知函数 f 2x 的定义域是 1 1 求 f log2x 的定义域 解解 1 要使函数有意义 则只需要 解得 3 x 0 或 2 x 3 33 02 09 02 2 2 x xx x xx或 即 故函数的定义域是 3 0 2 3 2 y f 2x 的定义域是 1 1 即 1 x 1 2x 2 2 1 函数 y f log2x 中 log2x 2 即 log2 log2x log24 x 4 2 1 22 故函数 f log2x 的定义域为 4 2 10 2007 北京理北京理 19 如图 有一块半椭圆形钢板 其长半轴长为 2r 短半轴长为 r 计划将此钢板切割成等腰梯形的 形状 下底 AB 是半椭圆的短轴 上底 CD 的端点在椭圆上 记 CD 2x 梯形面积为 S 1 求面积 S 以 x 为自变量的函数式 并写出其定义域 2 求面积 S 的最大值 解解 1 依题意 以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O xy 如图 则点 C 的横坐标为 x 点 C 的纵坐标 y 满足方程 y 0 1 4 2 2 2 2 r y r x 解得 y 2 0 x r S 2x 2r 2 22 xr 2 1 22 xr 2 x r 其定义域为 x 0 x r 22 xr 2 记 f x 4 x r 2 r2 x2 0 x r 则 8 x r 2 r 2x xf 令 0 得 x r 因为当 0 x 时 0 xf 2 1 2 r xf 当 x r 时 0 所以 f r 是 f x 的最大值 2 r xf 2 1 因此 当 x r 时 S 也取得最大值 最大值为 2 1 2 2 33 2 1 rrf 即梯形面积 S 的最大值为 2 33 2 r 11 已知二次函数 f x 的二次项系数为 a 且不等式 f x 2x 的解集为 1 3 1 若方程 f x 6a 0 有两个相等的根 求 f x 的解析式 2 若 f x 的最大值为正数 求 a 的取值范围 解解 1 f x 2x 0 的解集为 1 3 则可令 f x 2x a x 1 x 3 且 a 0 因而有 f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程 f x 6a 0 得 ax2 2 4a x 9a 0 因为方程 有两个相等的根 2 4a 2 4a 9a 0 即 5a2 4a 1 0 解得 a 1 或 a 5 1 由于 a 0 舍去 a 1 将 a 代入 式 得 f x 的解析式为 5 1 f x x2 x 5 1 5 6 5 3 2 由 f x ax2 2 1 2a x 3a a a aa a a x 14 21 2 2 及 a 0 可得 f x 的最大值为 由 14 2 a aa 0 0 14 2 a a aa 解得 a 2 或 2 a 0 故当 f x 的最大值为正数时 实数 a 的取值范围是 33 2 2 0 33 12 已知函数 f x 2x 1 的反函数为 g x log4 3x 1 1 xf 1 用定义证明在定义域上的单调性 1 xf 2 若 g x 求 x 的取值集合 D 1 xf 3 设函数 H x g x 当 x D 时 求函数 H x 的值域 2 1 1 xf 1 证明证明 函数 f x 的值域为 1 由 y 2x 1 得 x log2 y 1 所以 f 1 x log2 x 1 x 1 任取 1 x1 x2 log2 x1 1 log2 x2 1 1 xf 1 xf log2 1 1 2 1 x x 由 1 x1 x2 得 0 x1 1 x2 1 因此 0 1 得 log2 0 1 1 2 1 x x 1 1 2 1 x x 所以 x1 x2 1 f 1 f 故 x 在 1 上单调递增 1 f 2 解解 g x 即 log2 x 1 log4 3x 1 1 f 13 1 01 13 1 013 01 2 2 xx x xx x x 解得 0 x 1 所以 D 0 1 3 解解 H x g x f 1 x 2 1 log4 3x 1 log2 x 1 2 1 log2 2 1 1 13 x x 1 2 3 log 2 1 2 x 由 0 x 1 得 1 3 2 所以 0 log2 1 1 2 x 1 2 3 x 因此函数 H x 的值域为 2 1 0 2 3 函数的单调性与最大 小 值 基础自测基础自测 1 已知函数 y f x 是定义在 R R 上的增函数 则 f x 0 的根 A 有且只有一个 B 有 2 个 C 至多有一个 D 以上均不对 答案答案 C 2 2008 保定联考保定联考 已知 f x 是 R R 上的增函数 若令 F x f 1 x f 1 x 则 F x 是 R R 上的 A 增函数 B 减函数 C 先减后增的函数 D 先增后减的函数 答案答案 B 3 若函数 f x x2 a2 4a 1 x 2 在区间 1 上是减函数 则 a 的取值范围是 A 3 1 B 3 1 C 1 3 D 1 3 答案答案 C 4 函数 f x x3 ax2 bx c 其中 a b c R R 则 a2 3b 0 时 f x 是 A 增函数 B 减函数 C 常数函数 D 单调性不确定的函数 答案答案 A 5 2009 成都检测成都检测 已知函数 f x x2 2x 3 在闭区间 0 m 上最大值为 3 最小值为 2 则 m 的取值范 围为 A 1 B 0 2 C 2 D 1 2 答案答案 D 例例 1 1 已知函数 f x ax a 1 1 2 x x 证明 函数 f x 在 1 上为增函数 证明证明 方法一方法一 任取 x1 x2 1 不妨设 x1 x2 则 x2 x1 0 1 且 0 12x x a 1x a 又 x1 1 0 x2 1 0 0 1 12112 x xxxx aaaa 0 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 21 12 21 2112 1 1 2 2 xx xx xx xxxx x x x x 于是 f x2 f x1 0 12 xx aa 1 2 1 2 1 1 2 2 x x x x 故函数 f x 在 1 上为增函数 方法二方法二 f x ax 1 a 1 1 3 x 求导数得 axlna a 1 当 x 1 时 axlna 0 0 xf 2 1 3 x 2 1 3 x 0 在 1 上恒成立 则 f x 在 1 上为增函数 xf 方法三方法三 a 1 y ax为增函数 又 y 在 1 上也是增函数 1 3 1 1 2 xx x y ax 在 1 上为增函数 1 2 x x 例例 2 2 判断函数 f x 在定义域上的单调性 1 2 x 解解 函数的定义域为 x x 1 或 x 1 则 f x 1 2 x 可分解成两个简单函数 f x x2 1 的形式 当 x 1 时 u x 为增函数 为增函数 xuxu xu f x 在 1 上为增函数 当 x 1 时 u x 为减函数 为减函数 1 2 x xu f x 在 1 上为减函数 1 2 x 例例 3 3 求下列函数的最值与值域 1 y 4 2 y x 3 y 2 23xx x 4 4 2 1 22 xx 解解 1 由 3 2x x2 0 得函数定义域为 1 3 又 t 3 2x x2 4 x 1 2 t 0 4 0 2 从而 当 x 1 时 ymin 2 当 x 1 或 x 3 时 ymax 4 故值域为 2 4 t 2 方法一方法一 函数 y x 是定义域为 x x 0 上的奇函数 故其图象关于原点对称 故只讨论 x 0 时 即可知 x 0 时 x 4 的最值 当 x 0 时 y x 2 4 等号当且仅当 x 2 时取得 当 x 0 时 y 4 x 4 x x 4 等号当且仅当 x 2 时取得 综上函数的值域为 4 4 无最值 方法二方法二 任取 x1 x2 且 x1 x2 因为 f x1 f x2 x1 x2 1 4 x 2 4 x 4 21 2121 xx xxxx 所以当 x 2 或 x 2 时 f x 递增 当 2 x 0 或 0 x 2 时 f x 递减 故 x 2 时 f x 最大值 f 2 4 x 2 时 f x 最小值 f 2 4 所以所求函数的值域为 4 4 无最大 小 值 3 将函数式变形为 y 2222 20 2 10 0 xx 可视为动点 M x 0 与定点 A 0 1 B 2 2 距离之和 连结 AB 则直线 AB 与 x 轴的交点 横坐标 即为所 求的最小值点 ymin AB 可求得 x 时 ymin 13 21 20 22 3 2 13 显然无最大值 故值域为 13 例例 4 4 12 分 函数 f x 对任意的 a b R R 都有 f a b f a f b 1 并且当 x 0 时 f x 1 1 求证 f x 是 R R 上的增函数 2 若 f 4 5 解不等式 f 3m2 m 2 3 解解 1 设 x1 x2 R R 且 x1 x2 则 x2 x1 0 f x2 x1 1 2 分 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 5 分 f x2 f x1 即 f x 是 R R 上的增函数 6 分 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 8 分 原不等式可化为 f 3m2 m 2 f 2 f x 是 R R 上的增函数 3m2 m 2 2 10 分 解得 1 m 故解集为 1 12 分 3 4 3 4 1 讨论函数 f x x a 0 的单调性 x a 解解 方法一方法一 显然 f x 为奇函数 所以先讨论函数 f x 在 0 上的单调性 设 x1 x2 0 则 f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 1 1 x a 2 x a 21x x a 当 0 x2 x1 时 1 a 21x x a 则 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 故 f x 在 0 上是减函数 a 当 x1 x2 时 0 1 则 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 a 21x x a 故 f x 在 上是增函数 f x 是奇函数 a f x 分别在 上为增函数 aa f x 分别在 0 0 上为减函数 aa 方法二方法二 由 1 0 可得 x xf 2 x a a 当 x 或 x 时 0 f x 分别在 上是增函数 aa xf aa 同理 0 x 或 x 0 时 0 aa xf 即 f x 分别在 0 0 上是减函数 aa 2 求函数 y 4x x2 的单调区间 2 1 log 解解 由 4x x2 0 得函数的定义域是 0 4 令 t 4x x2 则 y t 2 1 log t 4x x2 x 2 2 4 t 4x x2的单调减区间是 2 4 增区间是 0 2 又 y t 在 0 上是减函数 函数 y 4x x2 的单调减区间是 0 2 单调增区间是 2 4 2 1 log 2 1 log 3 在经济学中 函数 f x 的边际函数 Mf x 定义为 Mf x f x 1 f x 某公司每月最多生产 100 台报警系统装 置 生产 x x 0 台的收入函数为 R x 3 000 x 20 x2 单位 元 其成本函数为 C x 500 x 4 000 单位 元 利润是收入与成本之差 1 求利润函数 P x 及边际利润函数 MP x 2 利润函数 P x 与边际利润函数 MP x 是否具有相同的最大值 解解 1 P x R x C x 3 000 x 20 x2 500 x 4 000 20 x2 2 500 x 4 000 x 1 100 且 x N N MP x P x 1 P x 20 x 1 2 2 500 x 1 4 000 20 x2 2 500 x 4 000 2 480 40 x x 1 100 且 x N N 2 P x 20 x 2 74 125 当 x 62 或 63 时 P x max 74 120 元 2 125 因为 MP x 2 480 40 x 是减函数 所以当 x 1 时 MP x max 2 440 元 因此 利润函数 P x 与边际利润函数 MP x 不具有相同的最大值 4 2009 广西河池模拟广西河池模拟 已知定义在区间 0 上的函数 f x 满足 f f x1 f x2 且当 x 1 时 f x 0 2 1 x x 1 求 f 1 的值 2 判断 f x 的单调性 3 若 f 3 1 解不等式 f x 2 解解 1 令 x1 x2 0 代入得 f 1 f x1 f x1 0 故 f 1 0 2 任取 x1 x2 0 且 x1 x2 则 1 由于当 x 1 时 f x 0 2 1 x x 所以 f 0 即 f x1 f x2 0 因此 f x1 f x2 2 1 x x 所以函数 f x 在区间 0 上是单调递减函数 3 由 f f x1 f x2 得 f f 9 f 3 而 f 3 1 所以 f 9 2 2 1 x x 3 9 由于函数 f x 在区间 0 上是单调递减函数 由 f x f 9 得 x 9 x 9 或 x 9 因此不等式的解集为 x x 9 或 x 9 一 选择题一 选择题 1 函数 f x ln 4 3x x2 的单调递减区间是 A B C 1 D 4 2 3 2 3 2 3 2 3 答案答案 D 2 已知函数 f x 在区间 a b 上单调 且 f a f b 0 则方程 f x 0 在区间 a b 上 A 至少有一实根 B 至多有一实根 C 没有实根 D 必有惟一的实根 答案答案 D 3 函数 y lg x2 2x m 的值域是 R R 则 m 的取值范围是 A m 1 B m 1 C m 1 D m R R 答案答案 C 4 函数 f x x R R 的图象如下图所示 则函数 g x f logax 0 a 1 的单调减区间是 A 0 B 0 2 1 2 1 C 1 D aa1 a 答案答案 C 5 已知 f x 是 上的减函数 那么 a 的取值范围是 1 log 1 4 13 xx xaxa a A 0 1 B 0 3 1 C D 1 7 1 3 1 7 1 答案答案 C 6 已知函数 f x 3 2 x g x x2 2x 构造函数 y F x 定义如下 当 f x g x 时 F x g x 当 f x g x 时 F x f x 那么 F x A 有最大值 3 最小值 1 B 有最大值 3 无最小值 C 有最大值 7 2 无最小值 D 无最大值 也无最小值7 答案答案 C 二 填空题二 填空题 7 已知 y f x 是定义在 2 2 上的增函数 若 f m 1 f 1 2m 则 m 的取值范围是 答案答案 3 2 2 1 8 已知下列四个命题 若 f x 为减函数 则 f x 为增函数 若 f x 为增函数 则函数 g x 在其定义域内为减 1 xf 函数 若 f x 与 g x 均为 a b 上的增函数 则 f x g x 也是区间 a b 上的增函数 若 f x 与 g x 在 a b 上分别是递增与递减函数 且 g x 0 则在 a b 上是递增函数 其中正确命题的序号是 xg xf 答案答案 三 解答题三 解答题 9 已知 f x 在定义域 0 上为增函数 且满足 f xy f x f y f 3 1 试解不等式 f x f x 8 2 解解 根据题意 由 f 3 1 得 f 9 f 3 f 3 2 又 f x f x 8 f x x 8 故 f x x 8 f 9 f x 在定义域 0 上为增函数 解得 8 x 9 9 8 08 0 xx x x 10 函数 f x 对任意的实数 m n 有 f m n f m f n 且当 x 0 时有 f x 0 1 求证 f x 在 上为增函数 2 若 f 1 1 解不等式 f log2 x2 x 2 2 1 证明证明 设 x2 x1 则 x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 0 f x2 f x1 f x 在 上为增函数 2 解解 f 1 1 2 1 1 f 1 f 1 f 2 又 f log2 x2 x 2 2 f log2 x2 x 2 f 2 log2 x2 x 2 2 于是 0 6 02 2 2 xx xx 32 21 x xx或 即 2 x 1 或 2 x 3 原不等式的解集为 x 2 x 1 或 2 x 3 11 2008 青岛调研青岛调研 已知 f x x a ax x 1 若 a 2 试证 f x 在 2 内单调递增 2 若 a 0 且 f x 在 1 内单调递减 求 a 的取值范围 1 证明证明 任设 x1 x2 2 则 f x1 f x2 2 2 2 22 21 21 2 2 1 1 xx xx x x x x x1 2 x2 2 0 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 2 解解 任设 1 x1 x2 则 f x1 f x2 21 12 2 2 1 1 axax xxa ax x ax x a 0 x2 x1 0 要使 f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0 恒成立 a 1 综上所述知 0 a 1 12 已知函数 y f x 对任意 x y R R 均有 f x f y f x y 且当 x 0 时 f x 0 f 1 3 2 1 判断并证明 f x 在 R R 上的单调性 2 求 f x 在 3 3 上的最值 解解 1 f x 在 R R 上是单调递减函数 证明如下 令 x y 0 f 0 0 令 x y 可得 f x f x 在 R R 上任取 x1 x2 则 x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 又 x 0 时 f x 0 f x2 x1 0 即 f x2 f x1 由定义可知 f x 在 R R 上为单调递减函数 2 f x 在 R R 上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f 3 最大 f 3 最小 f 3 f 2 f 1 f 1 f 1 f 1 3 2 3 2 f 3 f 3 2 即 f x 在 3 3 上最大值为 2 最小值为 2 2 4 函数的奇偶性 基础自测基础自测 1 1 2008 福建理 福建理 4 函数 f x x3 sinx 1 x R R 若 f a 2 则 f a 的值为 A 3 B 0 C 1 D 2 答案答案 B 2 已知定义在 R R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 则 f 6 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 答案答案 B 3 2009 新郑二中模拟新郑二中模拟 设偶函数 f x loga x b 在 0 上单调递增 则 f a 1 与 f b 2 的大小关系为 A f a 1 f b 2 B f a 1 f b 2 C f a 1 f b 2 D f a 1 f b 2 答案答案 D 4 已知 f x 是奇函数 则实数 a 的值等于 12 2 12 x x a A 1 B 1 C 0 D 1 答案答案 A 5 函数 f x g x 在区间 a a a 0 上都是奇函数 则下列结论 f x g x 在 a a 上是奇函数 f x g x 在 a a 上是奇函数 f x g x 在 a a 上是偶函数 f 0 g 0 0 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 D 例例 1 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x 22 11xx 2 f x log2 x x R R 1 2 x 3 f x lg x 2 解解 1 x2 1 0 且 1 x2 0 x 1 即 f x 的定义域是 1 1 f 1 0 f 1 0 f 1 f 1 f 1 f 1 故 f x 既是奇函数又是偶函数 2 方法一方法一 易知 f x 的定义域为 R R 又 f x log2 x log2 log2 x f x 1 2 x 1 1 2 xx 1 2 x f x 是奇函数 方法二方法二 易知 f x 的定义域为 R R 又 f x f x log2 x log2 x log21 0 即 f x f x 1 2 x1 2 x f x 为奇函数 3 由 x 2 0 得 x 2 f x 的定义域 x x 2 关于原点不对称 故 f x 为非奇非偶函数 例例 2 2 已知函数 f x 当 x y R R 时 恒有 f x y f x f y 1 求证 f x 是奇函数 2 如果 x R R f x 0 并且 f 1 试求 f x 在区间 2 6 上的最值 2 1 1 证明证明 函数定义域为 R R 其定义域关于原点对称 f x y f x f y 令 y x f 0 f x f x 令 x y 0 f 0 f 0 f 0 得 f 0 0 f x f x 0 得 f x f x f x 为奇函数 2 解解 方法一方法一 设 x y R R f x y f x f y f x y f x f y x R R f x 0 f x y f x 0 f x y f x x y x f x 在 0 上是减函数 又 f x 为奇函数 f 0 0 f x 在 上是减函数 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 2 1 所求 f x 在区间 2 6 上的最大值为 1 最小值为 3 方法二方法二 设 x1 x2 且 x1 x2 R R 则 f x2 x1 f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 0 f x2 f x1 0 即 f x 在 R R 上单调递减 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 2 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 所求 f x 在区间 2 6 上的最大值为 1 最小值为 3 例例 3 3 12 分 已知函数 f x 的定义域为 R R 且满足 f x 2 f x 1 求证 f x 是周期函数 2 若 f x 为奇函数 且当 0 x 1 时 f x x 求使 f x 在 0 2 009 上的所有 x 的个数 2 1 2 1 1 证明证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 2 分 f x 是以 4 为周期的周期函数 3 分 2 解解 当 0 x 1 时 f x x 2 1 设 1 x 0 则 0 x 1 f x x x 2 1 2 1 f x 是奇函数 f x f x f x x 即 f x x 5 分 2 1 2 1 故 f x x 1 x 1 6 分 2 1 又设 1 x 3 则 1 x 2 1 f x 2 x 2 7 分 2 1 又 f x 2 f 2 x f x 2 f x f x f x x 2 2 1 f x x 2 1 x 3 8 分 2 1 f x 9 分 31 2 2 1 11 2 1 xx xx 由 f x 解得 x 1 2 1 f x 是以 4 为周期的周期函数 故 f x 的所有 x 4n 1 n Z Z 10 分 2 1 令 0 4n 1 2 009 则 n 4 1 2 0051 又 n Z Z 1 n 502 n Z Z 在 0 2 009 上共有 502 个 x 使 f x 12 分 2 1 1 判断下列各函数的奇偶性 1 f x x 2 x x 2 2 2 f x 2 2 1lg 2 2 x x 3 f x 1 2 1 0 1 2 xx x xx 解解 1 由 0 得定义域为 2 2 关于原点不对称 故 f x 为非奇非偶函数 x x 2 2 2 由得定义域为 1 0 0 1 0 2 2 01 2 2 x x 这时 f x 2 2 2 2 1lg 2 2 1lg x x x x f x f x 为偶函数 1lg 1lg 2 2 2 2 xf x x x x 3 x 1 时 f x x 2 x 1 f x x 2 x 2 f x x 1 时 f x x 2 x 1 f x x 2 f x 1 x 1 时 f x 0 1 x 1 f x 0 f x 对定义域内的每个 x 都有 f x f x 因此 f x 是偶函数 2 已知函数 y f x 的定义域为 R R 且对任意 a b R R 都有 f a b f a f b 且当 x 0 时 f x 0 恒成立 f 3 3 1 证明 函数 y f x 是 R R 上的减函数 2 证明 函数 y f x 是奇函数 3 试求函数 y f x 在 m n m n Z Z 上的值域 1 证明证明 设 x1 x2 R R 且 x1 x2 f x2 f x1 x2 x1 f x1 f x2 x1 x2 x1 0 f x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 f x1 故 f x 是 R R 上的减函数 2 证明证明 f a b f a f b 恒成立 可令 a b x 则有 f x f x f 0 又令 a b 0 则有 f 0 f 0 f 0 f 0 0 从而 x R R f x f x 0 f x f x 故 y f x 是奇函数 3 解解 由于 y f x 是 R R 上的单调递减函数 y f x 在 m n 上也是减函数 故 f x 在 m n 上的最大值 f x max f m 最小值 f x min f n 由于 f n f 1 n 1 f 1 f n 1 n f 1 同理 f m mf 1 又 f 3 3f 1 3 f 1 1 f m m f n n 函数 y f x 在 m n 上的值域为 n m 3 设 f x 是定义在 R R 上的偶函数 其图象关于直线 x 1 对称 对任意 x1 x2 0 都有 f x1 x2 2 1 f x1 f x2 且 f 1 a 0 1 求 f 及 f 2 1 4 1 2 证明 f x 是周期函数 3 记 an f 2n 求 an 2 1 n 1 解解 对 x1 x2 都有 f x1 x2 f x1 f x2 2 1 0 f x f 0 x 0 1 2 2 22 x f x f xx f 1 f 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 fff f 2 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 ffff f 1 a 0 f 4 1 2 1 4 1 2 1 afa 2 证明证明 y f x 的图象关于直线 x 1 对称 f x f 1 1 x 即 f x f 2 x x R R 又由 f x 是偶函数知 f x f x x R R f x f 2 x x R R 将上式中 x 用 x 代换 得 f x f x 2 x R R 这表明 f x 是 R R 上的周期函数 且 2 是它的一个周期 3 解解 由 1 知 f x 0 x 0 1 f f n n n f n nf 2 1 1 2 1 2 1 2 1 n nf n2 1 1 2 1 f f 又 f 2 1 2 1 n f n 2 1 2 1 n n f n 2 1 2 1 2 1 2 1 n a n fa f x 的一个周期是 2 an f 2n f an a n2 1 n2 1 n2 1 一 选择题一 选择题 1 f x g x 是定义在 R R 上的函数 h x f x g x 则 f x g x 均为偶函数 是 h x 为偶函数 的 A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 B 2 2008 重庆理重庆理 6 若定义在 R R 上的函数 f x 满足 对任意 x1 x2 R R 有 f x1 x2 f x1 f x2 1 则下列说 法一定正确的是 A f x 为奇函数 B f x 为偶函数 C f x 1 为奇函数 D f x 1 为偶函数 答案答案 C 3 已知函数 f x 是 R R 上的偶函数 g x 是 R R 上的奇函数 且 g x f x 1 若 f 0 2 则 f 2 008 的 值为 A 2 B 0 C 2 D 2 答案答案 A 4 已知函数 y f x 是定义在 R R 上的奇函数 则下列函数中是奇函数的是 y f x y f x y x f x y f x x A B C D 答案答案 D 5 设 f x 是 R R 上的偶函数 且在 0 上是减函数 若 x1 0 且 x1 x2 0 则 A f x1 f x2 B f x1 f x2 C f x1 f x2 D f x1 与 f x2 大小不确定 答案答案 A 6 已知 y f x 是定义在 R R 上的奇函数 当 x 0 时 f x

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