应用数理统计--第三章习题及答案

1 习题三习题三 2 2 设总体的分布密度为 1 01 0 xx f x 其其 为其样本 求参数的矩估计量和极大似然估计量 现测得样本观测 1 n XX 1 2 值为 0 1 0 2 0 9 0 8 0 7 0 7 求参数的估计值 解解 计算其最大似然估计 1 11 1 1 11 ln ln 1 ln nn n nii ii n ni i Lxxxx Lxxnx 1 1 2 1 ln ln0 1 10 2112 ln n ni i n i i dn Lxxx d n x 其矩估计为 13 4 0 1 0 2 0 9 0 8 0 7 0 7 66 X 3077 0 1 21 2 1 2 1 1 1 1 0 1 0 2 1 X X X x dxxEX 所以 12 1 1 2 1 1 ln n i i Xn X X 12 0 3077 0 2112 3 3 设元件无故障工作时间 X 具有指数分布 取 1000 个元件工作时间的记录数据 经分 组后得到它的频数分布为 组中值 i x 5 15 25 35 45 55 65 频 数 i 365 245 150 100 70 45 25 如果各组中数据都取为组中值 试用最大似然法求参数的点估计 解解 最大似然估计 2 1 1 lnln i n xnnx n i LxxeeLnnx 7 1 1120000 ln0 20 10001000 ii i dn LnxXxv dX 1 0 05 X 4 4 已知某种灯泡寿命服从正态分布 在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取 10 只 测得 其寿命 单位 小时 为 1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948 设总体参数都未知 试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用 1300 小时以上 的概率 解解 设灯泡的寿命为 极大似然估计为 x 2 xN 22 1 1 n i i xxx n 根据样本数据得到 2 997 1 17235 81 经计算得 这个星期生产的灯泡能使用 1300 小时的概率为 0 0075 5 5 为检验某种自来水消毒设备的效果 现从消毒后的水中随机抽取 50 升 化验每升水中 大肠杆 菌的个数 假定一升水中大肠杆菌个数服从 Poisson 分布 其化验结果如下 大肠杆菌数 升 0 1 2 3 4 5 6 升 数 i l 17 20 10 2 1 0 0 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时 才能使上述情况的概率为最大 解解 设为每升水中大肠杆菌个数 由 3 题 2 问知 x xP Ex 的最大似然估计为 所以 x 1 50 1 42 310 220 117 0 X L 所以平均每升氺中大肠杆菌个数为 1 时 出现上述情况的概率最大 8 8 设是来自总体 X 的样本 并且 EX DX 是样本均值和样本方差 1 n XX 2 2 X S 试确定常数 使是的无偏估计量 c 22 XcS 2 3 解解 2 222222222 E XcSEXcESDXE Xcc n 所以 1 c n 9 9 设 是的两个独立的无偏估计量 并且的方差是的方差的两倍 试确定 1 2 1 2 常数 c1 c2 使得为的线性最小方差无偏估计量 11 c 22 c 解 解 设 22 12 2 2DD 1 12212121221 11E cccccccccc 2 222222 1 1221211 2221D cccccc AA 2 22 1111 21321cccc 当 上式达到最小 此时 1 21 2 33 c 21 2 1 3 cc 10 10 设总体 X 具有如下密度函数 1 01 0 xx f x 其0 其其 是来自于总体 X 的样本 对可估计函数 求的有效估计量 1 n XX 1 g g g 并确定 R C 下界 解解 因为似然函数 11 1 1 L lnln 1 ln ii n nnn ni i xxxxLnx 111 lnlnlnln 0 iii dn Lxnxnxg dnn 所以取统计量 1 ln i Tx n 111 111 0 000 1 lnlnlnln i EXx xdxxdxxxxdx 4 得 所以是无偏估计量 1 ET g 1 ln i Tx n 令 由定理 2 3 2 知 T 是有效估计量 由 cn 2 2 1 1 g DT cnn 所以 C R 方差下界为 2 1 n 11 11 设是来自于总体 X 的样本 总体 X 的概率分布为 1 n XX 1 1 1 0 1 01 2 xx f xx 1 求参数的极大似然估计量 2 试问极大似然估计是否是有效估计量 如果是 请求它的方差和信息量 D I 3 试问是否是相合估计量 书上没有这个问题 解解 1 1 1 1 11 22 lnln n ln 1 ii ii xx n xnx n i ii Lxx Lxx n 1 ln0 1 1 n xixi dn Lxi d 得到最大似然估计量 1 xi n 2 11 0011 101 22 ExiE xi E xi nn 所以 11 ExiE xi nn 所以是无偏估计量 由定理 2 3 2 得到是有效估 1 n c 1 xi n 计量 信息量 c 1 1 I n 5 3 1 1 D0 n c n 所以 T 也是相合估计量 1212 从一批螺钉中随机地取 16 枚 测得其长度 单位 cm 为 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 设钉长分布为正态 在如下两种情况下 试求总体均值的 90 置信区间 1 若已知 0 01cm 2 若未知 解解 因为2 125 16 0 171 Xns 0 950 95 10 95 1 65 151 753 2 t 1 计算 0 950 95 0 010 01 2 1209 2 1291 1616 XbaX 所以 置信区间为 1 1212 129 2 计算 0 950 95 0 01710 0171 152 1175 152 1325 1616 XtbXt 所以 置信区间为 2 115 2 135 1313 随机地取某种炮弹 9 发做试验 测得炮口速度的样本标准差 s 11 m s 设炮口速度 服从正态分布 求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 95 的置信区间 解解 由题意标准差的置信度为 0 95 的置信区间为 0 9750 025 22 22 1 1 8 8 nSnS 计算得 0 9750 025 22 22 1 1 11 9 0 05 7 431 21 072 8 8 nSnS Snab 所以 置信区间为 7 431 21 072 14 14 随机地从 A 批导线中抽取 4 根 并从 B 批导线中抽取 5 根 测得其电阻 为 A 批导线 0 143 0 142 0 143 0 137 B 批导线 0 140 0 142 0 136 0 138 0 140 6 设测试数据分别服从和 并且它们相互独立 又均未知 求参 2 1 N 2 2 N 2 12 数的置信度为 95 的置信区间 12 解解 由题意 这是两正太总体 在方差未知且相等条件下 对总体均值差的估计 置信区间为 12 1 122 11 2 w XYtnnS nn 计算得 2626 AB12 0 14125 0 1392 8 25 10 5 2 10 4 5 0 05xySSnn 26 WW0 975 6 57 10 0 00255 7 2 365 0 0022 0 0063SStab A 所以 0 0022 0 0063 15 15 有两位化验员 A B 他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了 10 次 测定 其测定值的方差依次为 0 5419 和 0 6065 设与分别为 A B 所测量数据的 2 s 2 A 2 B 总体的方差 正态总体 求方差比 的置信度为 95 的置信区间 2 A 2 B 解解 由题意 这是两正