高中数学 综合测试题2 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 高中新课标数学选修 高中新课标数学选修 2 22 2 综合测试题 综合测试题 一 选择题 每题小题 5 分 1 设 y 2 x x 则x 0 1 上的最大值是 A 0 B 4 1 C 2 1 D 4 1 2 若质点 P 的运动方程为 S t 2t2 t S 的单位为米 t 的单位为秒 则当 t 1 时的瞬时 速度为 A 2 米 秒 B 3 米 秒 C 4 米 秒 D 5 米 秒 3 曲线 3 1 3 x 2 在点 1 3 5 处切线的倾斜角为 30 45 135 150 4 函数 y 2x 3 x的单调递减区间是 A 3 6 B 3 6 3 6 C 3 6 3 6 D 3 6 5 过曲线 3 x 上一点 且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是 3 x 3 x 3 1 6 曲线 3 1 3 x在点 3 1 处的切线与直线 的夹角为 30 45 60 90 7 已知函数 xf 3 x a 2 x b 的图象在点 P 1 0 处的切线与直线 3x y 0 平行 则 a b 的 值分别为 A 3 2 B 3 0 C 3 2 D 3 4 8 已知 xf a 3 x 3 2 x 2 若 1 f 4 则 a 的值等于 A 3 19 B 3 10 C 3 16 D 3 13 9 函数y 3 x 12x 16 在 3 3 上的最大值 最小值分别是 A 6 0 B 32 0 C 2 5 6 D 32 16 10 已知 a 0 函数 3 x a 在 1 上是单调增函数 则 a 的最大值为 A 0 B 1 C 2 D 3 11 已知 xf 2 3 x 6 2 x m m 为常数 在 2 2 上有最大值 3 则此函数在 2 2 上 的最小值为 用心 爱心 专心2 A 37 B 29 C 5 D 11 12 已知 xf x 3 x 且 x1 x2 0 x2 x3 0 x3 x10 B f x1 f x2 f x3 0 C f x1 f x2 f x3 0 D f x1 f x2 f x3 符号不能确定 二 填空题 每小题 4 分 13 过抛物线 y xf上一点 A 1 0 的切线的倾斜角为 45 则 1 f 14 函数 xf 3 x 3x的递减区间是 15 过点 P 1 2 且与曲线 3 2 x 4x 2 在点 M 1 1 处的切线平行的直线方程是 16 函数 xf x 1 2 x 在 0 1 上的最大值为 三 解答题 17 已知函数 xf a 4 x b 2 x c 的图像经过点 0 1 且在x 1 处的切线方程是 y x 2 求 xf的解析式 12 分 18 证明 过抛物线 y a x x1 x x2 a 0 x10 处有极值 且 1 2 1 x x 5 求 a 的取值范围 12 分 21 已知函数 xf ax3 cx d a 0 在 R 上满足 xf xf 当 x 1 时 xf取得极值 2 1 求 xf的单调区间和极大值 2 证明 对任意 x1 x2 1 1 不等式 21 xfxf 1 V 14 分 答案答案 1 A2 D3 C4 B5 C6 D7 A8 B9 B10 D11 A12B13 1 1 14 1 1 1 1 15 2x2x y 4 0y 4 0 16 9 32 提示 1 A f 1 f 0 0 最大 2 D S 4t 1 当 t 1 时的瞬时速度为 5 米 秒 3 选 xf 2 x 1 f 1 即 tan 1 135 4 选 B y 2 3 2 x 0 3 6 x0 即 a 3 2 x要使 af 2 f 2 m 3 用心 爱心 专心4 最小值为 f 2 37 故选 A 12 B xf 3 2 x 1 xf 0 xf在上是增函数 且 xf是奇函数 f x1 f x2 f x2 f x3 f x3 f x1 f x1 f x2 f x3 f x1 f x2 f x3 即 f x1 f x2 f x3 0 tan 2 a x2 x1 a x2 x1 0 11 分 tan 1 tan 2 12 分 19 解 xf 3a 2 x 2bx c 3 分 xf在 x 1 时取得极值 x 1 是 xf 0 即 3a 2 x 2bx c 0 的两根 6 分 2 023 1 023 cba cba f 1 1 a b c 1 3 用心 爱心 专心5 由 1 2 3 得 a 2 1 b 0 c 2 3 9 分 xf 2 1 3 x 2 3 x xf 2 3 x 1 x 1 当 x1 时 xf 0 当 1 x 1 时 xf0 故结论成立 2 分 当 a 0 时 x f min 1 f 1 a 0 a 1 即 0 a 1 4 分 当 a 0 时 x f 在 0 上不恒大于或等于 0 故舍去 5 分 综上得 a 的取值范围是 0 a 1 2 令 x f ax2 2ax 1 0 由题知其二根为 x1 x2且 x1 x2 2 x1x2 a 1 7 分 1 2 1 x x 5 x1 2 x2 5x1 3 1 x1 1 9 分 x1 2 x2 a 1 a 1 x1 1 2 1 11 分 9 5 a 1 1 10 则 xf在 1 上是增函数 5 分 在 x 1 1 时 x f 0 则 xf在 1 上是增函数 7 分 1 f 2 为极大值 9 分 用心 爱心 专心6 2 由 1 知 xf xx3 3 在 1 1 上是减函数 且 xf在 1 1 上的最大值 M 1 f 2 在 1 1 上的最小值 m f 2 2 12 分 对任意的 x1 x2 1 1 恒有 21 xfxf M m 2 2 4 14 分 22 解 1 设切去的正方形边长为x 则焊接成的盒子的底面边长为 4 2x 高为x 所以 1 V 4 2x 2 x 4 3 x 4 2 x 4x 0 x 2 5 分 1 V 4 3 2 x 8x 4 6 分 令 1 V 0 得 x1 3 2 x2 2 舍去 而 1 V 12 x 3 2 x 2 又当x0 当 3 2 x 2 时 1 V 1 V故此方案符合要求 14 分 高中新课标数学选修 高中新课标数学选修 2 22 2 综合测试题 综合测试题 一 选择题一 选择题 1 函数 2 xy 在区间 2 1 上的平均变化率为 A 2 B 3 B 4 D 5 答案 B 2 曲线 3 xy 在点 1 1 处的切线与x轴 直线2 x所围成的三角形的面积为 A 3 8 B 3 7 C 3 5 D 3 4 答案 A 3 已知直线kxy 是xyln 的切线 则k的值为 用心 爱心 专心7 A e 1 B e 1 C e 2 D e 2 答案 A 4 设aibbia 1是一等比数列的连续三项 则ba 的值分别为 A 2 1 2 3 ba B 2 3 2 1 ba C 2 1 2 3 ba D 2 3 2 1 ba 答案 C 由 2 1 2 3 2 22 2 b a aab bba biaaib 5 方程 04 4 2 Raaixix 有实根b 且biaz 则 z A i 22 B i 22 C i 22 D i 22 答案 A 由 2 2 0 044 2 a b ab bb 则iz22 6 已知三角形的三边分别为cba 内切圆的半径为r 则三角形的面积为as 2 1 rcb 四面体的四个面的面积分别为 4321 ssss 内切球的半径为R 类比三角形 的面积可得四面体的体积为 A RssssV 2 1 4321 B RssssV 3 1 4321 C RssssV 4 1 4321 D RssssV 4321 答案 B 7 数列 4 4 4 4 3 3 3 2 2 1的第50项是 A 8 B 9 C 10 D 11 答案 C 8 在证明12 xxf为增函数的过程中 有下列四个命题 增函数的定义是大 前提 增函数的定义是小前提 函数12 xxf满足增函数的定义是小前提 函 数12 xxf满足增函数的定义是大前提 其中正确的命题是 用心 爱心 专心8 A B C D 答案 C 9 若Rba 则复数ibbaa 62 54 22 表示的点在 A 在第一象限 B 在第二象限 C 在第三象限 D 在第四象限 答案 D 由01 2 54 22 aaa 05 1 62 22 bbb 知在第四象限 10 用数学归纳法证明不等式 2 24 13 2 1 2 1 1 1 n nnn 时的过程中 由kn 到1 kn时 不等式的左边 A 增加了一项 1 2 1 k B 增加了两项 1 2 1 12 1 kk C 增加了两项 1 2 1 12 1 kk 又减少了 1 1 k D 增加了一项 1 2 1 k 又减少了一项 1 1 k 答案 C 11 如图是函数dcxbxxxf 23 的大致 图象 则 2 2 2 1 xx 等于 A 3 2 B 3 4 C 3 8 D 3 12 答案 C 提示 由图象过 0 2 0 1 0 0 知 2 1 xxxxf经比较可得 0 2 3 dcb 即xxxxf23 23 由263 2 xxxf得 3 2 2 21 21 xx xx 12 对于函数 23 3 xxxf 给出下列四个命题 xf是增函数 无极值 xf是减函数 有极值 xf在区间 0 及 2 上是增函数 xf有极大 值为0 极小值4 其中正确命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 用心 爱心 专心9 答案 B 其中命题 与命题 是正确的 二 填空题二 填空题 13 函数13 3 xxxf在闭区间 0 3 上的最大值与最小值分别为 答案 17 3 14 若iz31 1 iz86 2 且 21 111 zzz 则z的值为 答案 iz 5 22 5 4 提示 由iz31 1 得i z10 3 10 11 1 又由iz86 2 得i z50 4 50 31 2 那么 50 112111 12 i zzz 15 用火柴棒按下图的方法搭三角形 按图示的规律搭下去 则所用火柴棒数 n a与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 答案 12 nan 16 物体 A 的运动速度v与时间t之间的关系为12 tv v的单位是sm t的单 位是s 物体 B 的运动速度v与时间t之间的关系为tv81 两个物体在相距为405 m的同一直线上同时相向运动 则它们相遇时 A 物体的运动路程为 答案 m72 提示 设运动ts时两物体相遇 那么405 81 12 00 dttdtt tt 得9 t 由于72 12 9 0 dtt 得相遇时 A 物体运动m72 三 解答题三 解答题 17 已知复数 21 z z满足 21 2 2 2 1 2510zzzz 且 21 2zz 为纯虚数 求证 21 3zz 为实数 证明 由 21 2 2 2 1 2510zzzz 得05210 2 221 2 1 zzzz 即0 2 3 2 21 2 21 zzzz 那么 2 21 2 21 2 21 2 2 3 izzzzzz 由于 21 2zz 为纯虚数 可设 0 2 21 bRbbizz且 所以 22 21 3 bzz 从而bzz 21 3 用心 爱心 专心10 故 21 3zz 为实数 18 求由xysin 与直线 3 22x y 所围成图形的面积 解 由 2 2 4 3 22 sin y x x y xy 或 0 0 y x 或 2 2 4 3 y x 本题的图形由两部分构成 首先计出 0 4 3 上的面积 再计算出 4 3 0 上的面积 然后两者相加即可 于是 xx x dx x xdxx x Scos cos 3 2 3 22 sin sin 3 22 0 4 3 24 3 0 0 4 3 8 238 16 3 2 4 3 0 2 x 19 用总长m 8 14的钢条做一个长方体容器的框架 如果所做容器的低面的一边长比另 以一边长多m5 0那么高是多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 解 设该容器低面矩形边长为xm 则另一边长为mx 5 0 此容器的高为 xxxh22 3 5 0 4 8 14 于是 此容器的容积为 22 3 5 0 xxxxVxxx6 12 22 23 其 中6 10 x 由06 14 46 2 xxxV 得1 1 x 15 4 2 x 舍去 因为 xV在 6 1 0 内只有一个极值点 且 1 0 x时 0 xV 函数 xV递 增 6 1 1 x时 0 xV 函数 xV递减 所以 当1 x时 函数 xV有最大值 3 8 1 122 3 5 01 1 1 mV 即当高为m2 1时 长方体容器的容积最大 最大容积为 3 8 1 米 用心 爱心 专心11 20 已知0 a 函数 x eaxxxf 2 2 当x为何值时 xf取得最小值 证明你的结论 设 xf在 1 1 上是单调函数 求a的取值范围 解析 1 略 2 由 x eaxxf 22 2 1 2 2 22 axaxeeaxx xx 令0 xf 即02 1 2 2 axax 得 2 1 11aax 1 2 ax 2 1a 其中 21 xx 当x变化时 xf xf的变化情况如下表 x 1 x 1 x 21 xx 2 x 2 x xf 0 0 xf极大值极小值 当0 a时 0 1 21 xfxx 在 21 xx上单调递减 由此可得 xf在 1 1 上是单调函数的充要条件为1 2 x 即111 2 aa 解得 4 3 a 即所求a的取值范围为 4 3 21 若 3 2 1 0nixi 观察下列不等式 4 11 21 21 xx xx 9 111 321 321 xxx xxx 请你猜测 111 21 21 n n xxx xxx 将满足的不等式 并用数学归纳法加以证明 解 将满足的不等式为 2 111 2