《数据结构》-树和二叉树

第六章 树和二叉树,2,3,File Documents,4,树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构,5,树(Tree)：是包括n(n=0)个结点的有限集T。当T非空时，满足：（1）有且仅有一个特别标出的称为根的 结点；（2）除根结点外，其余结点可分为m（m=0） 个互不相交非空的有限集T1, T2, , Tm, 其中 每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树 (Subtree)。,树的递归定义：,空树：不包括任何结点的树。,根,子树,7,树(Tree)的例子：一个家族,A有子女B,C； B和 C分别有子女D,E,F和G,H;E有 子女I , J。T=(N,R) ,其中N=A, B, C, D, E, F, G, H, I, J R= A, B, A, C, B, D , B, E, B, F, C, G, C, H, E, I, E, J ,8,树的表示方法：,(b ) 凹入表,（a）树形表示,A,B,C,D,E,F,I,J,G,H,9,(A(B(D)(E(I)(J)(C(G)(H)(d) 嵌套括号表示法,C,D,E,I,J,F,G,H,A,B,(c) 文氏图,基本术语结点(node)表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支结点的度(degree)结点拥有的子树数叶子(leaf)度为0的结点孩子(child)结点子树的根称为该结点的孩子双亲(parents)孩子结点的上层结点叫该结点的双亲兄弟(sibling)同一双亲的孩子树的度一棵树中最大的结点度数结点的层次(level)从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层深度(depth)树中结点的最大层次数森林(forest)m(m0)棵互不相交的树的集合,结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0,叶子：K，L，F，G，M，I，J,结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F,结点I的双亲：D结点L的双亲：E,结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟,树的度：3,结点A的层次：1结点M的层次：4,树的深度：4,结点A的层次：1结点M的层次：4,12,无序树、有序树(ordered tree)对子树的次序不加区别的树叫作无序树。对子树之间的次序加以区别的树叫作有序树。,12,(a) 树t (b) 树t ,对比树型结构和线性结构的结构特点,线性结构,树型结构,第一个数据元素 (无前驱),根结点 (无前驱),最后一个数据元素 (无后继),多个叶子结点 (无后继),其它数据元素(一个前驱、 一个后继),其它数据元素(一个前驱、 多个后继),树的基本操作：,查 找 类,插 入 类,删 除 类,Root(T) / 求树的根结点,查找类：,Value(T, cur_e) / 求当前结点的元素值,Parent(T, cur_e) / 求当前结点的双亲结点,LeftChild(T, cur_e) / 求当前结点的最左孩子,RightSibling(T, cur_e) / 求当前结点的右兄弟,TreeEmpty(T) / 判定树是否为空树,TreeDepth(T) / 求树的深度,TraverseTree( T, Visit() ) / 遍历,InitTree(&T) / 初始化置空树,插入类：,CreateTree(&T, definition) / 按定义构造树,Assign(T, cur_e, value) / 给当前结点赋值,InsertChild(&T, &p, i, c) / 将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树,ClearTree(&T) / 将树清空,删除类：,DestroyTree(&T) / 销毁树的结构,DeleteChild(&T, &p, i) / 删除结点p的第i棵子树,6.2 二叉树定义定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒,基本形态,二叉树性质性质1：,证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1j1),性质2：深度为k的二叉树至多有 个结点(k1),证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是,性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1,证明：n1为二叉树T中度为1的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 (1) 又因为在二叉树中，除根结点外，其余结点都只 有一个分支进入 设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点射出， B=n1+2*n2 于是，n=B+1=n1+2*n2+1 (2) n1+2*n2+1 =n0+n1+n2 n0=n2+1,几种特殊形式的二叉树满二叉树定义：,特点：每一层上的结点数都是最大结点数,完全二叉树,定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为,特点叶子结点只可能在层次最大的两层上出现对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左分支下子孙的最大层次必为l 或l+1,性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2n +1.证明:假设深度为k,则根据性质2和完全二叉树的定义有: 2k-1-1n 2k-1 等价于: 2k-1 n 2k k-1 log2n k k= log2n +1,性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是i/2 (2) 如果2in，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i (3) 如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1,28,i,2i,2i+1,i/2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,29,性质5的证明：对于（2）和（3） 当i=1时， 2i=2 n ，左子女结点的序号为2。2i+1=3 n， 右子女结点的序号为3。 假设对于序号为j的结点，命题成立。 对于i=j+1，其左子女结点的序号等于j的右子女结点的序号加1，即：2j+1+1=2(j+1) 其右子女结点的序号等于：2(j+1)+1根据（2）和（3），知的父结点为i/2. 完全二叉树的层次序列，反映了它的结构。,30,1,2,3,j,j+1,2j 2j+1 2(j+1) 2(j+1)+1,31,i,2i+1,2i+2,(i-1)/2,0,1,2,3,4,5,6,7,8,从编号？,二叉树的存储结构顺序存储结构实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素特点：结点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树,链式存储结构二叉链表,typedef struct BiTNode TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; BiTNode , *BiTree;,在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域?,三叉链表,typedef struct BiTNodeTElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild, *parent; BiTNode, *BiTree;,6.3 遍历二叉树和线索二叉树遍历树遍历按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列,顺着某一条搜索路径巡访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。,问题的提出,“访问”的含义可以很广，如：输出结点的信息等。,“遍历”是任何类型均有的操作，对线性结构而言，只有一条搜索路径(因为每个结点均只有一个后继)而二叉树是非线性结构，每个结点有两个后继，则存在如何遍历即按什么样的搜索路径进行遍历的问题,对“二叉树”而言，可以有三种搜索路径：,1先上后下的按层次遍历；2先左（子树）后右（子树）的遍历；3先右（子树）后左（子树）的遍历。,二、先左后右的遍历算法,先（根）序的遍历算法,中（根）序的遍历算法,后（根）序的遍历算法,根,左子树,右子树,根,根,根,根,根,若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。,先（根）序的遍历算法：,若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。,中（根）序的遍历算法：,若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。,后（根）序的遍历算法：,二叉树的遍历方法先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点,D L R,先序遍历序列：A B D C,先序遍历:,L D R,中序遍历序列：B D A C,中序遍历:,L R D,后序遍历序列： D B C A,后序遍历:,先序遍历：,中序遍历：,后序遍历：,层次遍历：,练习：,先序序列：,中序序列：,后序序列：,A B C D E F G H K,B D C A E H G K F,D C B H K G F E A,遍历算法递归算法非递归算法,void PreorderTraverse(T) if(T) printf(%dt,T-data); preorder(T-lchild); preorder(T-rchild); ,返回,返回,返回,返回,A,C,B,D,返回,先序序列：A B D C,非递归算法：中序,Status InOrderTraverse(BiTree T, Status (*Visit)(ElemType) / 算法6.3 / 采用二叉链表存储结构，Visit是对数据元素操作的应用函数。 / 中序遍历二叉树T的非递归算法，对每个数据元素调用函数Visit。 stack S; BiTree p; InitStack(S); p = T; while (p | !StackEmpty(S) if (p) Push(S, p); p = p-lchild; / 非空指针进栈，继续左进 else / 上层指针退栈，访问其所指结点，再向右进 Pop(S, p); if (!Visit(p-data) return ERROR; p = p-rchild; return OK; / InOrderTraverse,遍历算法的应用举例,2、建立二叉树的存储结构,1、查询二叉树中某个结点,1.查询二叉树中某个结点,1. 在二叉树不空的前提下,和根结点的元素进行比较,若相等,则找到返回 TRUE;,2. 否则在左子树中进行查找,若找到,则返回 TRUE;,3. 否则继续在右子树中进行查找,若找到,则返回 TRUE,否则返回 FALSE;,Status Preorder (BiTree T, ElemType x, BiTree &p) / 若二叉树中存在和 x 相同的元素，则 p 指向该结点并返回 OK,/ 否则返回 FALSE ,if (T) if (T-data=x) p = T; return OK, /if else return FALSE;,else if (Preorder(T-lchild, x, p) return OK; else return(Preorder(T-rchild, x, p) ;/else,2.建立二叉树的存储结构,不同的定义方法相应有不同的存储结构的建立算法,以字符串的形式 “根 左子树 右子树”定义一棵二叉树,空树要显式表示,例如:,以空白字符“#”表示,A(B(# ,C(# , # ),D(# , # ),空树,只含一个根结点的二叉树,A,以字符串“A # #”表示,以下列字符串表示,Status CreateBiTree(BiTree / CreateBiTree,A B # C # # D # #,A,B,C,D,上页算法执行过程举例如下:,A,T,B,C,D,scanf(,遍历算法应用按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表，已知先序序列为： A B C # # D E # G # # F # # #,由二叉树的非空结点的先序和中序序列建树,练习,一棵二叉树的先序遍历序列为ABCDEFG，它的中序遍历序列可能是( )A.CABDEFG B.ABCDEFGC.DACEFBG D.ADCFEGB一棵二叉树的先序遍历序列为EFHIGJK，它的中序遍历序列为HFIEJKG，则该二叉树根节点的右孩子为( )A.EB.FC.GD.H,B, D,C,一棵二叉树的先序遍历序列为ABCDEF，它的中序遍历为CBAEDF，则后序遍历序列为( )A.CBEFDAB.FEDCBAC.CBEDFAD.不确定一棵二叉树的后序遍历序列为DABEC，中序遍历序列为DEBAC，则先序遍历序列为( )A.ACBEDB.DECABC.DEABCD.CEDBA,D,A,任何n个不同结点的二叉树,都可由它的中序序列和先序序列唯一确定任何n个不同结点的二叉树,都可由它的中序序列和后序序列唯一确定,仅知二叉树的先序序列“abcdefg” 不能唯一确定一棵二叉树，,如果同时已知二叉树的中序序列“cbdaegf”,则会如何？,二叉树的先序序列,二叉树的中序序列,左子树,左子树,右子树,右子树,根,根,a b c d e f g,c b d a e g f,例如:,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,f,f,g,g,a,b,c,d,e,f,g,先序序列,中序序列,void CrtBT(BiTree else / / CrtBT, ,if (!(T= new BiTNode) exit(OVERFLOW);T-data = preps;if (k=is) T-Lchild = NULL;else CrtBT(T-Lchild, pre, ino, ps+1, is, k-is );if (k=is+n-1) T-Rchild = NULL;else CrtBT(T-Rchild, pre, ino, ps+1+(k-is), k+1, n-(k-is)-1 );,作业,已知二叉树的中序遍历序列char ino以及后序遍历序列char post，请用算法生成该二叉树（用二叉链表的形式存储）。,线索二叉树,线索二叉树定义：遍历二叉树以一定规则将二叉树中的结点排列成一个线形序列,在二叉树的先序、中序或后序遍历序列中两个相邻的结点互称为前驱与后继线索：指向前驱或后继结点的指针称为线索二叉树：加上线索的二叉链表表示的二叉树叫线索化：对二叉树按某种遍历次序使其变为线索二叉树的过程叫实现在有n个结点的二叉链表中必定有n+1个空链域在线索二叉树的结点中增加两个标志域lt :若 lt =0, lc 域指向左孩子；若 lt=1, lc域指向其前驱rt :若 rt =0, rc 域指向右孩子；若 rt=1, rc域指向其后继结点定义：,lc lt data rt rc,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,二叉排序树,二叉排序树定义：二叉排序树或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值它的左、右子树也分别为二叉排序树,二叉排序树二叉排序树的插入插入原则：若二叉排序树为空，则插入结点应为新的根结点；否则，继续在其左、右子树上查找，直至某个结点的左子树或右子树为空为止，则插入结点应为该叶子结点的左孩子或右孩子二叉排序树生成：从空树出发，经过一系列的查找、插入操作之后，可生成一棵二叉排序树,插入算法,例 10， 18， 3， 8， 12， 2， 7,10,中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列,Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree / 在右子树中继续查找 / SearchBSTSearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p)在T为根的二叉树中查找关键字等于key的数据元素(f指向T的双亲),查找成功,返true,p指向该节点,否则p指向查找路径上的最后一个节点,返回false,Status InsertBST(BiTree SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p)在T为根的二叉树中查找关键字等于key的数据元素(f指向T的双亲),查找成功,返true,p指向该节点,否则p指向查找路径上的最后一个节点,返回false,二叉排序树的删除要删除二叉排序树中的p结点，分三种情况：p为叶子结点，只需修改p双亲f的指针f-lchild=NULL f-rchild=NULLp只有左子树或右子树p只有左子树，用p的左孩子代替p (1)(2)p只有右子树，用p的右孩子代替p (3)(4)p左、右子树均非空沿p左子树的根C的右子树分支找到S，S的右子树为空，将S的左子树成为S的双亲Q的右子树，用S取代p (5)或者用C代替p, p的右孩子成为S的右孩子。若C无右子树，用C取代p (6),p只有左子树，用p的左孩子代替p,p只有右子树，用p的右孩子代替p,p左、右子树均非空沿p左子树的根C的右子树分支找到S，S的右子树为空，将S的左子树成为S的双亲Q的右子树，用S取代p (5)或者用C代替p, p的右孩子成为S的右孩子。若C无右子树，用C取代p (6),删除算法,Status DeleteBST(BiTree / DeleteBST,Status Delete(BiTree / Delete,树和森林,6.4 树和森林树的存储结构双亲表示法实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域：数据域：存放结点本身信息双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置特点：找双亲容易，找孩子难,typedef struct PTNode /节点结构 TElemType data; int parent;PTNode;typedef struct /树结构 PTNode nodesMAX_TREE_SIZE int r,n;,-1,0,1,1,2,4,4,4,0,如何找孩子结点,孩子表示法多重链表：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度d,孩子链表：每个结点的孩子结点用单链表存储，再用含n个元素的结构数组指向每个孩子链表,孩子结点：typedef struct CTNode int child; /该结点在表头数组中下标 struct CTNode *next; /指向下一孩子结点 *ChildPtr;表头结点：typedef struct TElemType data; /数据域 *ChildPtr firstchild; /指向第一个孩子结点 CTBox ; typedef struct /树结构 CTBox nodesMAX_TREE_SIZE ; int r,n; CTree;,data,fc,如何找双亲结点,带双亲的孩子链表,孩子兄弟表示法（二叉树表示法）实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点特点操作容易破坏了树的层次,typedef struct CSNode TElemType data; struct CSNode *firstchild, *nsib; CSNode;,树与二叉树转换,将树转换成二叉树加线：在兄弟之间加一连线抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系旋转,树转换成的二叉树其右子树一定为空,将二叉树转换成树加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线调整：将结点按层次排列，形成树结构,森林转换成二叉树将各棵树分别转换成二叉树将每棵树的根结点用线相连以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构,二叉树转换成森林抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树还原：将孤立的二叉树还原成树,树的遍历,森林的遍历,树的遍历可有2条搜索路径:,按层次遍历:,先根(次序)遍历:,后根(次序)遍历:,若树不空，则先访问根结点，然后依次先根遍历各棵子树。,若树不空，则先依次后根遍历各棵子树，然后访问根结点。,若树不空，则自上而下自左至右访问树中每个结点。,层次遍历时顶点的访问次序：,先根遍历时顶点的访问次序：,A B E F C D G H I J K,后根遍历时顶点的访问次序：,E F B C I J K H G D A,A B C D E F G H I J K,1。森林中第一棵树的根结点；,2。森林中第一棵树的子树森林；,3。森林中其它树构成的森林。,可以分解成三部分：,森林,若森林不空，则访问森林中第一棵树的根结点;先序遍历森林中第一棵树的子树森林;先序遍历森林中(除第一棵树之外)其 余树构成的森林。,先序遍历,森林的遍历,即：依次从左至右对森林中的每一棵树进行先根遍历。,先序遍历:BEFCDGHIJK,中序遍历,若森林不空，则中序遍历森林中第一棵树的子树森林;访问森林中第一棵树的根结点;中序遍历森林中(除第一棵树之外)其 余树构成的森林。,即：依次从左至右对森林中的每一棵树进行后根遍历。,中序遍历:EFBCIJKHGD,树的遍历和二叉树遍历的对应关系 ？,先根遍历,后根遍历,树,二叉树,森林,先序遍历,先序遍历,中序遍历,中序遍历,二叉树的应用哈夫曼树(Huffman),6.6 二叉树的应用哈夫曼树(Huffman)带权路径长度最短的树定义路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的路径长度：路径上的分支数树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和,Huffman树设有n个权值w1,w2,wn，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子的权值为wi,则wpl最小的二叉树叫,例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4