高一数学概念(上)

第 1 章 集合和命题 1 1 集合 我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合集合 简称集 集合中的各个对象叫做这个集合的元素元素 集合常用大写字母表示 集合中的元素用小写字母表示 如果是集合的元素 就记作 读作 属于 aAAa aA 如果不是集合的元素 就记作 读作 不属于 aAAa aA 数的集合简称数集 常用大写的字母表示 全体自然数组成的集合 即自然数集记作 N 不包括零的自然数组成的 集合 记作 N 全体整数组成的集合即整数集 记作 Z 全体有理数组成的集合即有理数集 记作 Q 全体实数组成的集合即实数集 记作 R 含有有限个元素的集合叫做有限集有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集无限集 规定空集不含元素 记作 集合的表示方法常用列举法和描述法 将集合中的元素一一列举出来 并且写在大括号内 这种表示集合的方 法叫做列举法列举法 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式 再划一条竖线 在竖线 后面写上集合中元素所共同具有的特性 即 这种表示集 pxxA满足性质 合的方法叫做描述法描述法 1 2 集合之间的关系 如果集合 A 中任何一个元素都属于集合 B 那么 A 叫做集合 B 的子集子集 记作或 读作 A 包含于 B 或 B 包含 A BA AB 对于两个 A 和 B 如果且 那么叫做集合 A 与集合 B 相等 BA AB 记作 A B 读作 集合 A 等于集合 B 对于两个集合 A B 如果 并且 B 中至少有一个元素不属于 A BA 那么集合 A 叫做集合 B 的真子集真子集 记作或 读作 A 真包含于AB BA B 或 B 真包含 A 1 3 集合的运算 一般地 由集合 A 和集合 B 的所有公共元素组成的集合叫做 A 与 B 的交交 集集 记作 读作 A 交 B 集合 A B 没有公共元素 即交集为空集 BA 由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合 A B 的 并集并集 记作 读作 A 并 B BA 在研究集合与集合之间的关系时 这些集合往往是某个给定集合的子集 这个确定的集合叫做全集 常用符号 U 表示 设 U 为全集 A 是 U 的子集 则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做集合 A 在全集 U 中的补集补集 记作 读作 A 补 A U C 1 4 命题的形式及等价关系 可以判断真假的语句叫做命题命题 正确的命题叫做真命题真命题 错误的命题叫 做假命题假命题 一个数学命题用条件 结论表示就是 如果 那么 如果把结 论与条件互相交换 就得到一个新命题 如果 那么 我们把这个命题 叫做原命题的逆命题逆命题 一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定 我们把这样两个命题叫做逆否命题逆否命题 如果其中一个叫原命题 那么另一个命题 就叫做原命题的否命题 如果我们把 的否定分别记作 那么命题 如果 那么 的否命题就是 如果 那么 如果 A B 是两个命题 那么 A B 叫做等价命题 原 AA 命题与逆否命题就是等价命题 1 5 充分条件 必要条件 一般地 用 分别表示两个命题 如果命题成立 可以推出命题 也成立 即 那么叫做的充分条件充分条件 叫做的必要条件必要条件 1 6 子集与推出关系 设 A B 是非空集合 A B 则 具有性质aa 具有性质bb 与等价 A 第 2 章 不等式 2 1 不等式的基本性质 a b 的充要条件是 a b 0 a b 的充要条件是 a b 0 a b 的充要每件是 a bb b c 那么 a c 性质 2 如果 a b 那么 a c b c 性质 3 如果 a b c 0 那么 ac bc 如果 a b c 0 那么 ac bc 2 2 一元二次不等式的解法 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是二次 这样的不等式叫做 一元二次不等式一元二次不等式 它的一般形式是 或 0 2 cbxax0 2 cbxax0 a 一般地 设一元二次不等式为 或 0 2 cbxax0 2 cbxax0 a 当对应的一元二次方程的根式判别式时 0 2 cbxax04 2 acb 先求出方程的两个实数根 不妨设 于是不等式 21 xx 21 xx 的解集为0 2 cbxax 21 xxxxx 或 不等式的解集为0 2 cbxax 21 xxxx 设 都为实数 并且 规定 abba 1 集合叫做闭区间闭区间 表示为 bxax ba 2 集合叫做开区间开区间 表示为 bxax ba 3 集合或叫做半开半闭区间半开半闭区间 分别表示为 bxax bxax 或 ba ba 4 把实数集 R 表示为 把集合 axx axx 和分别用区间 和表示 与也 bxx bxx a a b b 叫做区间的端点区间的端点 读作 正无穷大 读作 负无穷大 当判别式时 所以不等式的解集为实数集 R 不等式0 0 2 cbxax 的解集为空集 0 2 cbxax 当时 所以不等式的解集为0 a b xx 2 21 0 2 cbxax 不等式的解集为空集 22 a b a b 0 2 cbxax 2 3 其他不等式的解法 型如或 其中 为整式且的不等式称0 x xf 0 x xf xf x 0 x 为分式不等式分式不等式 2 4 基本不等式及其应用 基本不等式 1 对任意实数和 有 当且仅当时等ababba2 22 ba 号成立 基本不等式 2 对任意正数 有 当且仅当时等号abab ba 2 ba 成立 把和分别叫做正数 的算术平均数算术平均数和几何平均数几何平均数 2 ba abab 第 3 章 函数的基本性质 3 1 函数的概念 在某个变化过程中有两个变量 如果对于在某个实数集合 D 内的xyx 每一个确定的值 按照某个对应法则 都有唯一确定的实数值与它对应 fy 那么就是的函数函数 记作 叫做自变量自变量 叫做因变量因变量 yxDxxfy xy 的取值范围 D 叫做函数的定义域函数的定义域 和的值相对应的的值叫做函数值函数值 函xxy 数值的集合叫做函数的值域值域 当函数的变量之间的对应关系不适合或者难以用解析式刻画时 图或表 是有效的表示函数的方法 当一个函数可用分段的解析式表示时 把这个函数叫做分段函数分段函数 3 2 函数关系的建立 当我们要用数学方法解决实际问题时 首先要把问题中的有关变量及其 关系用数学的形式表示出来 通常 这个过程叫做建模建模 3 3 函数的运算 一般地 已知两个函数 设 1 Dxxfy 2 Dxxgy 并且 D 不是空集 那么当时 与都有意 21 DDD Dx xfy xgy 义 于是把函数叫做函数与的和 Dxxgxfy xfy xgy 3 4 函数的基本性质 一般地 如果对于函数的定义域 D 内的任意实数 都有 xfy x 那么就把函数叫做偶函数偶函数 函数定义域 D 关于原点对 xfxf xfy 称是这个函数为偶函数的必要非充分条件 如果函数是偶函数 Dxxfy 那么函数的图像关于轴成轴对称图形 反过来 如果一个函数的图 xfy y 像关于轴成轴对称图形 那么这个函数必是偶函数 y 如果对于函数的定义域 D 内的任意实数 都有 xfy x xfxf 那么就把函数叫做奇函数奇函数 如果函数是奇函数 那么函 xfy Dxxfy 数的图像关于原点成中心对称图形 反过来 如果一个函数的图 xfy AB 像关于原点成中心对称图形 那么这个函数必是奇函数 第 4 章 幂函数 指数函数和对数函数 上 4 1 幂函数的性质与图像 一般地 函数 为常数 叫做幂函数 k xy kQk