数学北师大版九年级下册第三章圆第三节垂径定理.docx

垂径定理教学设计教师：魏学成 工作单位：银川市第四中学1、背景分析（1）学习任务分析。本节课主要探索学习圆的垂径定理、逆定理及简单应用。垂径定理是圆的轴对称性的详细体现。借助垂径定理，可以完成对圆中相等线段，相等角，弧相等、直径和弦垂直关系的证明，同时也为进行圆的有关计算提供了方法和依据，是完成对圆的学习的重要基础。完整的探索、猜想、证明、应用对学生几何学习有着引导作用。在学习过程中渗透转化、数形结合、方程模型等数学思想和方法。所以我将本节课的教学重点定为：垂径定理及逆定理的探索、理解和证明。（2）学生情况分析。学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性, 三角形全等的知识，在前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示，圆心角和所对的弧、弦相等等知识，具备一些探索证明几何定理的基本技能。我校以往学生的情况是基础薄弱，学习习惯、思维习惯、动手动脑能力都较弱，逻辑思维能力不强，难以将概括的数学结论提升到公理化定理化的层面，同时对证明过程的书写存在困难，我将本节课的教学难点定为：垂径定理及其逆定理的证明，证明过程中如何添加辅助线2、教学目标设计学生在课堂上学习新内容，获得基本知识、基本技能、培养学习数学的基本数学思想方法，积累数学活动经验，培养学生推理能力，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。因此本节课的教学目标是：1经历利用圆的轴对称性探索垂径定理及其逆定理；理解并能证明垂径定理及其逆定理，利用这两个定理解决简单问题2经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法 3. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神3、课堂结构设计本节课要经历观察、猜想、动手实验、概括、推理、应用来完成对本节课的学习，所以我将本节课的课堂结构做了如下的设计：巩固已知，做好铺垫创设情境，引入新课探求新知，概括论证联系实际，应用新知归纳小结，布置作业4、教学媒体设计借助多媒体抛出问题，运用几何画板动态演示垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，在黑板上完整的书写出定理的证明过程，用实物展台展示学生的练习题解题过程。5、教学过程设计第一环节，巩固已知，做好铺垫判断：（1）、圆是轴对称图形，圆的直径是对称轴.（ ）（2）、如果两个圆心角相等，那么它们所对的两条弧也相等.（ ）【说明】：在新课的学习过程中，会用到圆的对称性，以及圆心角、弧之间相等关系的定理。通过两道简单的判断题，让学生自己完成，相互评价，达到了回顾已有的知识，为即将学习的内容做好铺垫。第二环节，创设情境，引入新课工人为了做如图所示圆弧形蔬菜大棚骨架，需要知道弧所在的圆的半径长。已知大棚宽度是16m，顶到地面的高度（圆弧的中点到地面的距离）为4米，求弧所在的圆的半径长。若学生计算出来，追问，这个结论是怎么得到的吗？若学生用垂径定理解出，再追问：这位同学所使用的依据有道理吗？就让我们带着这样的疑问一同进入今天的学习。【说明】：师生合作把实物抽象成几何图形，学生如果能够完成这道题目，就让学生来进行讲解，由学生和老师共同来评价，我们可以用新知识能较为简便的计算出来。教师提出让我们一起来探究学习垂径定理，引出课题。通过实际问题引入，让学生感受到数学来源于生活，又能带着问题学习新的内容，激发学生的求知欲，进一步培养数学学习兴趣。第三环节，探求新知，概括论证1、如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？说说你是怎么得到的.（2）你能图中有哪些相等线段、相等的弧？说一说你是怎么得到的（3）思考：若圆的直径和弦垂直，你能得到哪些结论呢？【说明】：第（1）小问学生根据目测会说出这是一个轴对称图形，也能说出对称轴。在课前，教师给一个小组发一张圆形纸片，学生肯定会通过折纸的方法来说明对称轴。设计的目的是为后面的第（2）小问埋下伏笔，同时渗透“折叠”是研究几何图形的一种方法。给学生一定的时间，小组合作完成第（2）小问。第（2）小问学生会说是通过折叠后，发现是重合得到的，也有可能会说是通过度量或说理等其它方法得到的。及时渗透“度量”、“说理”、“证明”等都是研究几何图形的方法。第（2）小问就是一个承上启下的作用，让学生发现弦被平分，弧也被平分。第（3）小问就是第（2）小问的总结，得出直径和弦垂直，就会有弦和弦所对的弧被直径平分。结论：垂径定理：垂直于线的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。已知，如图，AB是O的一条弦，CD是O的一条直径，且CDAB，垂足为M求证：AM=BM，.【说明】：学生用符号语言写出定理证明的已知、求证，学生补充完善，教师帮助完善；教师不能替代学生来完成语言的转换，这样有助于培养学生用数学符号语言表达的意识。教师提问如何证明线段相等呢，学生可能会说我们经常是把它们放在三角形中，通过证明三角形全等来证。2、再解决引入新课时提出的问题工人为了做如图所示圆弧形蔬菜大棚骨架，需要知道弧所在的圆的半径长。已知大棚宽度是16m，顶到地面的高度（圆弧的中点到地面的距离）为4米，求弧所在的圆的半径长。【说明】：此时根据新探究出来的垂径定理，学生不难得出AD的长度，要想做出这道题目，运用勾股定理就能解出。学生在前面已获得了经验，在示意图中添加辅助线构造直角三角形，后运用垂径定理解决问题。同时教师与学生合作做好总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。通过新学知识解决实际生活中的问题，让学生感受到数学是为解决问题而存在，反过来又能促进学生对定理的进一步的理解，发展学生分析和解决问题的能力。3、垂径定理逆定理的探索如图，AB是O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点P.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？说说你是怎么得到的.（2）你能图中有哪些相等线段、相等的弧？说一说你是怎么得到的（3）思考：若圆的直径平分弦，你能得到哪些结论呢？结论：平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.【说明】：学生模仿垂径定理的探索过程，再一次经历观察、猜想、动手实验、概括这一系列的活动学习逆定理。辨析：“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对弧”如果该结论中被平分的弦换成直径，是否也能成立？ODBAC反例：【说明】：目的让学生明白，得出的结论需要经过仔细的斟酌，考虑到一些特殊情况是否成立，并通过举反例找出结论中对应缺失的条件，提高学生对定理的理解，使学生对定理的严谨性有更深的认识。垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.【说明】：学生模仿垂径定理的探索过程，表述逆定理的内容。学生用符号语言写出定理证明的已知、求证，让学生说说证明思路，然后将过程书写在黑板上，进一步发展学生数学符号语言表达能力。进一步培养几何证明的基本技能，发展推理能力。第四环节，联系实际，应用新知1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OECD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径2、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1米）【说明】：这两道题都是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去求解；渗透用代数中的方程思想方法解决几何问题。学生完成后借助实物展台展示学生的练习题解题过程，并由学生进行评价。第五环节，归纳小结，布置作业1、小结：（1）想想本节课的新学的知识，个人进行总结（2）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.【说明】：通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，通过（2）让学生掌握遇到这一类题目该如何去处理。培养学生养成归纳反思的学习习惯。2、布置作业必做题：课本76页习题3.3第1、2、3题选做题：习题3.3第4题【说明】：学生的认知基础，理解能力等因素都影响着学生的发展，教师要尊重差异的存在，为了保证各个层次学生都获得发展，特在这里实施了分层作业。必做题为基础题，用于巩固学生在课堂上学到的知识，并尝试引用；选做题为发展学生能力的题，题目难度相对较大，使得“尖子生”能“吃得饱”。 6、教学评价设计在本节课的教学过程中，教师要用口头语言、肢体语言及时对学生的学习情况进行评价，同时课堂上不能忽视学生对学生的评价，小组对小组的评价。为了能更好的评价学生，也为了能发挥评价的作用，特意制定了如下的评价表评价项目评 价 标 准得 分学习状态(30)参与学习程度，进取心是否强烈