浙江省杭州外国语学校2019届高三下学期五月份考试数学试题

浙江省杭州外国语学校 2019 届高三下学期五月份考试 数学试题 考生须知 1 全卷分试卷和答题卷 考试结束后 将答题卷上交 2 试卷共 4 页 有 3 大题 22 小题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 3 答题前 请务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答 题纸规定的位置上 4 请将答案做在答题卷的相应位置上 写在试卷上无效 作图时先使用 2B 铅笔 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑 选择题部分 共 40 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 2 3 130 ABx xxxZAB 则 A l B l 2 C D 012 3 1012 3 2 设复数 i 是虚数单位 则的虚部为 2 1 i z i z A iB C D 1i 1 3 已知某四面体的三视图如图所示 则在该四面体中所有的棱长 的 最大值是 A B C D 2 52 62 74 2 4 如图 若程序输出的结果为 132 则判断框中应填 A B 10 i 11 i C D 11 i 12 i 5 已知 则 2 0log 2 1 3 0 b a A B C D 221 ba422 ba524 ba625 ba 6 已知是坐标原点 点 若点为平面区域上的一个动点 O 1 1A M x y 2 10 01 1 xy x y 则的取值范围是 AO OM A B C D 2 0 2 0 0 2 0 2 7 有红 蓝 黄三种颜色的球各 7 个 每种颜色的 7 个球分别标有数字 1 2 3 4 5 6 7 从中任取 3 个标号不同的球 这 3 个颜色互不相同且所标数字 互不相邻的取法种数为 A 42 B 48 C 54 D 6 8 已知正三棱锥的底面是面积为的正三角形 高为 则其内切球的表ABCS 322 面积为 A B C D 3 16 3 8 9 16 9 8 9 已知椭圆的左右焦点分别为 是椭圆上一点 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 21 F FP 是以为底边的等腰三角形 且 则该椭圆的离心率的 21F PF PF2 0 21 0 12060 FPF 取值范围是 A B C D 1 2 13 2 1 2 13 1 2 1 2 1 0 10 函数的导函数满足在上恒成立 且 则下列判断 xf x f xfxf Ref 1 一定正确的是 A B C D 1 0 f 0 1 ff 0 0 f 0 1 ff 非选择题部分 共 110 分 2 填空题 本大题共 7 小题 多空题每题 6 分 单空题每题 4 分 共 36 分 11 计算 2 3 lg252lg28 12 若实数满足则的最小值为 x y 6 32 yx xy yx 5zxy 13 已知 则 sin3cos0 cos 2 2 14 设函数 若函数有四个零点 则实数的取 2 f xx 2 3g xfxmf xm m 值范围为 15 已知等差数列的通项公式为 前项和为 若不等式 n a n an n n S 恒成立 则的最小值为 2 1322 2N nn SM naan M 16 在锐角三角形 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c a 1 且 bc 2 cosA accosB 1 b2 则 ABC 面积的最大值为 17 已知函数的图像与函数的图像在内有两个公共点 则的取 x m ye 3 yx 0 27m 值范围是 三 解答题 本大题共 5 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c C 2B 1 求证 bcos A 2b a cos B 2 若 b 5 c 6 求 ABC 的面积 19 已知正项数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 且 t 1 Sn a 3an 2 t R 2 n 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 b1 1 bn 1 bn an 1 求数列的前 n 项和 Tn 1 2bn 7n 20 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是直角梯形 AB DC ABC 90 BC CD AB 平面 PAD 平面 ABCD 1 2 1 求证 PD BD 2 若 AD PD PDA 120 且 S PAB 求四棱锥 P ABCD 的体积 15 2 21 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 若圆 x2 y2 a2被直线 x2 a2 y2 b2 2 2 x y 0 截得的弦长为 2 2 1 求椭圆 C 的标准方程 2 已知点 A B 为动直线 y k x 1 k 0 与椭圆 C 的两个交点 问 在 x 轴上是否存 在定点 M 使得 为定值 若存在 试求出点 M 的坐标和定值 若不存在 请说 MA MB 明理由 22 已知函数 f x ekx k x k 0 1 当 k 2 时 求 y f x 在 x 1 处的切线方程 2 对任意 x R f x 恒成立 求实数 k 的取值范围 1 k 数学参考答案数学参考答案 1 5 BCCBB 6 10 BDDBA 11 6 12 13 14 12 3 5 3 2 15 16 17 6 259 ln3 3 3e 18 1 证明 在 ABC 中 C A B C 2B 所以 A B 2B sin A B sin 2B sin Acos B cos Asin B 2sin Bcos B 由正弦定理 得 acos B bcos A 2bcos B a sin A b sin B 即 bcos A 2b a cos B 2 解 由正弦定理 得 c sin C b sin B 6 sin 2B 5 sin B 所以 cos B 3 5 由余弦定理 b2 a2 c2 2accos B 得 25 a2 36 a 36 5 即 5a2 36a 55 0 所以 a 5 或 a 11 5 当 a 5 时 又 b 5 所以 A B 又 C 2B A B C 所以 A B C 明 4 2 显不符合题意 所以 a 又 sin B 11 51 cos2B 4 5 所以 ABC 的面积 S acsin B 6 1 2 1 2 11 5 4 5 132 25 19 解 1 因为 a1 S1 1 且 t 1 Sn a 3an 2 2 n 所以 t 1 S1 a 3a1 2 所以 t 5 2 1 所以 6Sn a 3an 2 2 n 当 n 2 时 有 6Sn 1 a 3an 1 2 2n 1 得 6an a 3an a 3an 1 2 n2n 1 所以 an an 1 an an 1 3 0 因为 an 0 所以 an an 1 3 又因为 a1 1 所以 an 是首项 a1 1 公差 d 3 的等差数列 所以 an 3n 2 n N 2 因为 bn 1 bn an 1 b1 1 所以 bn bn 1 an n 2 n N 所以当 n 2 时 bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 an an 1 a2 b1 3n2 n 2 又 b1 1 也适合上式 所以 bn n N 3n2 n 2 所以 1 2bn 7n 1 3n2 n 7n 1 3 1 n n 2 1 6 1 n 1 n 2 所以 Tn 1 6 1 1 3 1 2 1 4 1 n 1 n 2 1 6 3 2 1 n 1 1 n 2 3n2 5n 12 n 1 n 2 20 1 证明 如图 在直角梯形 ABCD 中 取 AB 的中点 M 连接 DM 由条件知四边 形 BCDM 为正方形 DM AM BM BD AD 平面 PAD 平面 ABCD BD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD BD 平面 PAD PD 平面 PAD PD BD 2 解 方法一 过点 P 作 PE AD 交 AD 的延长线于点 E 平面 PAD 平面 ABCD PE 平面 PAD 平面 PAD 平面 ABCD AD PE 平面 ABCD 设 BC CD a 则 AB 2a AD PD BD a 2 PB 2a PD2 BD2 PDA 120 PE a PA 2PDsin 60 a 6 26 S PAB PA a2 1 2 AB2 PA 2 2 15 2 15 2 a 1 VP ABCD PE S梯形 ABCD 1 2 1 1 3 1 3 6 2 1 2 6 4 方法二 设 BC CD a 则 AD PD BD a 2 PB 2a PD2 BD2 PDA 120 PA 2PDsin 60 a 6 S PAB PA a2 1 2 AB2 PA 2 2 15 2 15 2 a 1 S PAD sin 120 1 222 3 2 S ABD 2S BCD S梯形 ABCD S ABD S BCD S ABD 3 2 VP ABCD VP ABD VB PAD BD S PAD 3 2 3 2 3 2 1 3 3 2 1 32 3 2 6 4 21 解 1 圆 x2 y2 a2的圆心 0 0 到直线 x y 0 的距离 d 1 2 0 2 2 2 2 解得 a2 2 又 a2 b2 c2 a2 12 c a 2 2 联立解得 a2 2 c 1 b 椭圆 C 的标准方程为 y2 1 x2 2 2 假设在 x 轴上存在定点 M m 0 使得 为定值 MA MB 设 A x1 y1 B x2 y2 联立Error 化为 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 则 x1 x2 x1 x2 4k2 1 2k2 2k2 2 1 2k2 x1 m y1 x2 m y2 MA MB x1 m x2 m y1y2 x1 m x2 m k2 x1 1 x2 1 1 k2 x1 x2 m k2 x1 x2 m2 k2 1 k2 m k2 m2 k2 2k2 2 1 2k2 4k2 1 2k2 k2 2m2 4m 1 m2 2 2k2 1 令 2m2 4m 1 2 m2 2 解得 m 5 4 因此在 x 轴上存在定点 M 使得 为定值 5 4 0 MA MB 7 16 22 解 1 当 k 2 时 f x e2x 2 x f x 2e2x 2 x e2x e2x 3 2x f 1 e2 又 f 1 e2 所求的切线方程为 y e2 e2 x 1 即 y e2x 2 方法一 ekx k x 1 k 当 x k 时 0 即 k 0 1 k 对任意 x R k k x e kx恒成立 设 g x e kx kx k2 g x ke kx k k 1 e kx 当 x 0 时 g x 0 时 g x 0 g x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 g x min g 0 1 k2