谈二次函数学习中数学意识

谈二次函数学习中 数学意识 数学思想 图象性质的强化与完备 安徽省安庆市宜秀区五横初中 戴向阳 邮编 246051 电话二次函数是初中数学重点中的 重点 在北师大版数学教材中 二次函数学习是初中 函数学习的最后一站 在上海科技版中 反比例函数也不过是函数学习的一个补充 学生 的数学意识 数学思想方法以及对图象 精 准 灵活 的驾驭能力 都是在二次函数的 学习中提高 强化和完备的 二次函数的学习 涉及整个初中代数绝大多数内容 它是建 立在整式 函数有关知识的基础之上的 是一次函数 方程 不等式等诸内容的延伸 同 时也为高中函数的继续学习储备数学意识 思想方法 驾驭图象的能力 并为高中后续学 习提供了探究方向和手段 函数学习中数学意识的强化与完备函数学习中数学意识的强化与完备 函数的学习一直是初中生数学学习生涯中的难点 很多学生有 恐函症 尤其在二次 函数学习中更为明显 究其原因 其中之一是数学意识薄弱 数学意识是指 根据文字或 图形信息自发映射出相关知识的 联想 和相应的 数学行为 数学意识 它独立并高于 具体的数学技能 是对信息的宏观 常规把握 因此它也不同于具体的解题思路 解题思 路是思维综合分析的产物 是有意识思维活动的结果 数学意识 是学生在数学学习过程 中经验 体会的积累 并在以后的学习中通过条件反射的形式 出现在解题思路里 在二 次函数的学习过程中 教师应加大 加强数学意识的渗透 树立以下数学意识 完善学生 函数学习中的代数意识形态 1 已知自变量 或点的横坐标 x 的值 代入函数解析式可求函数 或点纵坐标 y 的值 2 已知函数 或点的纵坐标 y 的值 通过解相应方程可求自变量 或点横坐标 x 的值 3 已知点的坐标 将坐标代入函数解析式寻求问题的解答思路 4 求交点坐标 想到解两个图象的联立方程组 5 已知交点坐标 可分别将交点坐标代入两个图象所代表 的解析式中 探求问题的出路 6 函数图象与 y 轴交点纵坐标即是函数标准解析式中的常 数项 7 求与 y 轴交点 想到令自变量 x 0 代入解析式计算 y 值 8 求图象与 x 轴交 点 想到令函数 y 0 解函数解析式 0 的方程 9 函数解析式右边 0 的不等式的解集 对应于横轴 x 轴 上方图象所对自变量的取值范围 10 函数解析式右边0 开口向上 a0 B 4a 2b c 0 C 2a b4ac E b2 4ac 1 a 0 易得 C 正确 根据意识 4a 2b c 是 x 2 时对应的函数值 观察图象显然有 4a 2b c 0 A 选项关键是判断 a b c 的符号 由意 识 不难判断 A 选项正确 D 选项与 a b c 有关 且具有 4ac b2 4a 成份 由意识 自然联想到顶点纵坐标公式 经整理 D 选项得 4ac b2 4a0 所以函数图象是开口向上的抛物线 于是 关于 x 的方程 x2 m 1 x m 4 0 有两 个不相等的实根 且一根大于 另一根小于 2 这相当于抛物线与 x 轴有两个交点 且一点在点 2 0 的左边 另一点在点 2 0 的右边 如图 2 即相当于 x 2 时 y 0 因 22 m 1 2 m 4 0 图 2 所以 m 10 3 数形结合思想 数形结合是指把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起 来 使代数问题几何化或几何问题代数化 从而将抽象的思维与形象思维结合的一种思想方 法 函数是初中数学中数形结合的典型内容 运用函数的图象和性质能直观地反映数学问题 中 数 与 形 之间的内在联系 正所谓 数缺形时少直观 形少数时难入微 数形结合 百般好 隔离分家万事休 二次函数学习是树立 数形结合思想 观念的最佳时期 关键 时期 数形的辩证统一 体现了数学的和诣美 统一美 例 3 求使得不等式 x2 px q 2 当 x 时恒成立的实数对 p q 解 对于函数 y x2 当 x 的值连续增加 时 要使函数值的变化幅度不大于 只 能使 x 从 变到 2 如图 3 所示 令 y x2 px q 因它与 y x2的图象形状相同 位置不 同 所以由平移可知 当 x 时 要使 x2 px q 2 恒成立 y x2 px q 的图象只 能如图 4 所示 此时抛物线的顶点坐标为 3 2 p 2 3 32 3p q 2 解得 p 6 q 7 故所求的实数对只有 6 7 4 2 2 1 1 3 3 5 5 2 2 2 图 3 图 4 函数思想 是指从函数的视角审察问题 建立函数模型 解决方程 不等式 几 何问题 实际问题 方案设计与面积问题等 下面是一道中考题 大多考生是通过相似建 立等量关系 再用二次函数求最值 解答比较复杂 但是用下面函数方法要简洁 明了的 多 例 5 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 5 所示 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 E A F A M P B M P B D N C D N 图 5 图 6 解解 如图 6 所示建立直角坐标系 设矩形 PNDM 面积为 S 因 P 点在线段 AB 上运动 令 P x y 则 y 是 x 的一次函数 于是 S xy 显然 S 是 x 的二次函数 不妨设 S ax2 bx c 当 P 点在 A 点 即 x 2 时 S 2 4 8 当 P 点在 B 点 即 x 4 时 S 4 3 12 当 P 点在 AB 的中点 即 x 3 时 S 3 3 5 10 5 从而有 4a 2b c 8 a 0 5 16a 4b c 12 解得 b 5 所以 S 0 5x2 5x 2 x 4 9 a 3 b c 10 5 c 0 此二次函数的图象开口向下 对称轴为 x 5 当 x 5 时 函数的值是随 x 的增大而增 大 对 2 x 4 来说 当 x 4 时 S 有最大值 S最大 1 2 42 5 4 12 另解另解 如图 6 所示建立直角坐标系 则有 A 2 4 B 4 3 于是 AB 的解析式为 y 0 5x 5 故令 DN x 时 DM 0 5x 5 若设矩形 PNDM 面积为 S 于是 S x 0 5x 5 0 5x2 5x 2 x 4 此二次函数的图象 开口向下 对称轴为 x 5 当 x 5 时 函数的值是随 x 的增大而增大 对 2 x 4 来 说 当 x 4 时 S 有最大值 S最大 1 2 42 5 4 12 教学中要强化并完备二次函数图象的性质教学中要强化并完备二次函数图象的性质 全面系统的归纳抛物线性质 理解并掌握图象特点 达到灵活 巧妙地运用 使学生 对二次函数图象特点有个整体的全局的认识 培养解题能力 提高解题技巧 赢得解题时 间 一 一 利用增减性利用增减性 例 6 已知 a 1 点 a 1 y1 a y2 a 1 y3 都在 y x2的图象上 则 A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y2 y1 y3 解 由解析式 y x2知 抛物线开口向上 对称轴为 y 轴 又由 a 1 知 a 1 0 故 a 1 a a 1y2 y3 因而选 C 二 利用对称性二 利用对称性 例 7 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 由图象可 知关于的一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根分别是 x1 1 3 和 x 2 1 1 2 解 由顶点坐标易知 抛物线的对称轴为直线 x 1 又因为抛物线是轴对称图形 所以图象与 x 轴的两个交点关于 x 1 对称 根据题意已知一个交点 1 3 0 故其关 于 x 1 的对称点是 3 3 0 想到抛物线与一元二次方程的联系 得知方程另一根为 x 2 3 3 例 8 二次函数 y ax2 bx c 的不部分对应值如下表 X 3 2 0 1 3 5 y 7 0 8 9 5 7 二次函数 y ax2 bx c 图象的对称轴为 x x 2 对应的函数值 y 分析 抛物线是轴对称图形 抛物线上点关于其对称轴对称的充要条件是纵坐标相等 由表格可知抛物线经过 3 7 5 7 点 从而对称轴为 x 1 2 3 5 1 根据表格 易知图象上 2 m 点关于 x 1 的对称点是 0 8 所以 m 8 即 x 2 时 y 8 三 利用增减性和对称性三 利用增减性和对称性 例 9 已知二次函数 y 3 x 1 2 k 的图象上有三个点 A 2 y1 B 2 y2 C 5 y3 则 y1 y2 y3的大小关系是 A y1 y2 y3 B y2 y1 y3 C y3 y1 y2 D y3 y2 y1 解 由解析式知抛物线对称轴为 x 1 C 点关于 x 1 的对称点 D 坐标是 5 1 y3 由于 1 2 20 抛物 线开口向上 在对称轴右侧函数的值是随 x 的增大而增大 因此 y1 y2 y3 所以 D 正确 四 利用平移知识四 利用平移知识 例 10 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x1 2 且二次函数 y a x2 b x c 的对称轴是直线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 解 令 y1 ax2 bx c 3 据 ax2 bx c 3 的一个根为 x1 2 即 ax2 bx c 3 0 的一个 根为 x1 2 换言之 y1 ax2 bx c 3 与 x 轴交点为 2 0 又由解析式知函数 y 与 y1的对 称轴相同 即 y1的对称轴是 x 2 故 y1的顶点为 2 0 而 y 可看成 y1 保持对称轴不 变向上平移 3 个单位得到的 所以其顶点坐标为 2 3 五 利用翻折知识五 利用翻折知识 求抛物线关于 y 轴或 x 轴或其它直线翻折后的解析式 抓住顶点 的变化 会使问题轻松 易解 例 11 如图 已知抛物线 C1 C2关于 x 轴对称 C3 C1 抛物线 C1 C3关于 y 轴对称 如果抛物线 C2 的解析式是 y 3 4 x 2 2 1 那么 抛物线 C3的解析式是 C2 解 根据 C2 的解析式知 C2的顶点为 2 1 由于 C1与 C2关于 x 轴对称 故 C1的 顶点为 2 1 又由 C1与 C3关于 y 轴对称 则有 C3的顶点为 2 1 因为翻折不改 变抛物线的形状大小 且由 C3开口向上知其二次项系数为 3 4 综