初中培优竞赛_第12讲_函数与图象.docx

一、选择题1.（2007年浙江省竞赛题）抛物线y=x2+x+P(P0)的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是 ( ) A.(0,-2)B.(12,-94)C.(-12,94)D.(-12,-94)2.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛题）设0k1，关于x的一次函数y=kx+1k(1-x)，当1x2时的最大值是 ( ) A.kB.2k-1kC.1kD.k+1k3.（2007浙江省竞赛题）直线l： y=Px（p是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有 ( ) A.6条 B.7条 C.8条 D.无数条4.（2007浙江省竞赛题）若ab+c=bc+a=ca+b=t，则一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限是 ( ) A.第一、二象限 B.第一、二、三象限C.第二、三、四象限 D.第三、四象限5.（2007浙江省竞赛题）函数y=-1|x|图象的大致形状是 ( ) 6.（2006年全国初中数学竞赛海南赛区初赛题）如图12 -6所示，正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是 ( ) 7.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区赛题）作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2再将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2-1，则抛物线Cl所对应的函数解析式是 ( ) A.y=2(x+3)2-2 B.y=-2(x+3)2+2C.y=2(x-1)2-2 D.y=-2(x-1)2+28.（2007年山东省竞赛题）如图12 -7所示，一次函数y=kx+b的图象过点P(l，4)，且分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点O为坐标原点.当AOB面积最小时，k，b的值为 ( ) A.k=-4,b=8 B.k=-4,b=4 C.k=-2,b=4 D.k=-2,b=2 9.（2006年全国初中数学竞赛题）若函数y=(k+1)x2+x+k2+3k-2的图象与y 轴交点的纵坐标为-4，则k的值是 ( ) A. -1 B.-2 C.-1或2 D.-1或-2 10.（2006年全国初中数学竞赛题）RtABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h，则 ( ) A.h1 B.h=1 C.1h211.（第41届美国高中数学考试题）已知fx=ax2-2,a为一个正常数，如果f(f(2)=-2，则a的值为 ( ) A.2-22 B.12 C.2-2 D.22 E.2+22二、填空题12.（1996年上海市初中数学竞赛题）已知函数y=(a-2)x-3a-1，当自变量x的取值范围为3x5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围为_13.（2006年太原市初中数学竞赛题）不论m取何值，抛物线y=x2+2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是_ . 14.（1999年黄冈初中数学竞赛题）如图12 -8所示，直线y=-2x+10与x轴，y轴分别交于A，B两点，把AOB沿AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标是_ . 15.（2007年周报杯竞赛题）已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0).若二次函数y=x2+(a-3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是_16.（2007年数学周报杯竞赛题）如图12 -9所示，点A，C都在函数y=33x(x0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得OAB，BCD都是等边三角形，则点D 的坐标为_ 17.（2006年全国初中数学竞赛题）函数y=x2-2006|x|+2008的图象与x轴交 点的横坐标之和为_ 18.（2005年全国初中数学竞赛题）在直角坐标系中，抛 物线y=x2+mx-43m2(m0)与x轴交于A，B两点，若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB-1OA=23，则m=_19.（1999年全国初中数学竞赛题）如图12 - 10所示， 正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP 与AB的交点为F.设DP=xcm，EFB与四边形AFPD的面积和为y cm2，那么y与x之间的函数关系式是_(0x10).三、解答题20.（1997年江苏省初中数学竞赛题）求证：不论k为何值，一次函数(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的图象恒过一定点. 21.（1993年江苏省初中数学竞赛题）已知mm是两位数，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2. (1)求证： 00.构造函数y;当yAyB时，设y=yA；当yAyB时，设y=yB.若自变量x在-2x1的范围内变化，求函数y的最大值与最小值. 25.（2005年全国初中数学联赛题）设点A，B是抛物线y=2x2+4x-2上的点，原点位于线段AB的中点处.试求A，B两点的坐标. 26.（2007年全国初中数学竞赛题）设m，n为正整数，且m2.如果对一切实数t二 次函数y=x2+(3-mt)x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值.答案与解析1.D 由题意得P2+P+P=0，解得P1=-2,P2=0（舍去）.当P=-2时，抛物线是y=x2+x-2，求得顶点坐标是(-12,-94)2.A y=(k-1k)x+1k.因为0k1，所以k-1k=(k+1)(k-1)k0时， y=-1x，图象在第四象限；当x0时， y=1x，图象在第三象限. 所以原函数的图象在第三、四象限. 6.B s=1-412x(1-x)=2x2-2x+1(0x1).本题也可从选项来判断， 选项A中AE为负是不可能的，从而排除选项A；如果从极端情况看，当E无限接近于点A时， S=1而不是s=0，从而排除选项C；对于如图所示的面积显然是关于x的二次函数，而选项D的图象是折线段而不是二次函数的图象，从而排除选项D. 连结PO（见图1-3）. A(k-4k,0)，得y=0B（0，4-k），令，得x=0.令7.D 将抛物线C再变回到抛物线Cl，即将抛物线y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y = 2(x-l)2 -2 ，其关于x轴对称的抛物线是y=-2(x-1)2+2.SBOA=SBOP+SPOA=1214-k+124k-4k=4-12k+16k.显然， k0,v0，且uv=16.所以SBOA=4+12(u+v)=4+12(u-v)2+2uv当且仅当u=v，即k=-u=-4时.上式取等号，SBOA取最小值8.此时b=4-(-4)=8.9.D 由函数图象与y轴交点的纵坐标为-4，可知k2+3k-2=-4，进而求得k的值为-1或-2.本题易错之处：学生往往认为它是一个二次函数而人为约定k+10,从而错误地选择B，忽略了它作为一个一次函数也符合题意. 10.B 设点A的坐标为(a,a2)，点C的坐标为(c,c2)(|c|c2，所以a2-c2=1，即斜边AB 上高h=a2-c2=1.11.D 因为f(x)=ax2-2，所以f(2)=2a-2.f(f(2)=f(2a-2)=a(2a-2)2-2.又因为f(f(2)=-2，所以a(2a-2)2=0.因为a为正常数，所以2a-2=0，即a=2212. a8(1)当a2时，一次函数y随x的增大而增大，由题意得(a-2)3-3a-15，解得a8.(2)当a5(a-2)5-3a-13.解集为集所以a的取值范围是a8.13. y=-x-1将二次函数变形为y=(x+m)2+m-1，可知抛物线的顶点坐标为x=-my=m-1，消去m得x+y=-1,所以y=-x-1.说明 对于二次函数，其中基本认识之一是函数的标准写法. 14.(8，4) 直线y=-2x+10与x轴交点A的坐标为A(5，0)，与y轴交点B的坐标为B(0，10)，则OA=5,OB=10.连结OC交AB于M，则AB垂直平分OC.在RtAOB中，易得OM=25,因为OB：OA =2:1，所以M到y轴的距离等于到x轴距离的2倍，所以可以得M(4，2)，由中点坐标公式得C(8，4). 15.分两种情况：(1)因为二次函数y=x2+(a-3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0)，所以12+(a-3)1+322+(a-3)2+30.解得-1a-12.由12+(a-3)1+3=0得a=-1.此时x1=1,x2=3,符合题意.由22+(a-3)2+3=0得a=-12此时x1=2,x2=32，不符合题 意. (2)今x2+(a-3)x+3=0，由判别式=0得a=323.当a=3+23时， x1=x2=-3，不合题意；当a=3-23时,x1=x2=3,符合题意.综上所述，a的取值范围是-1a12或a=3-23.16.(26,0)如图1-4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F.设OE=a,BF=b,则AE=3a,CF=3b,所以点A，C的坐标分别为(a,3a),(2a+b,3b).所以3a2=333b2a+b=33解得a=3b=6-3.因此点D的坐标为(26,0).17.0 原问题可转化为求方程x2-2006|x|+2008=0的所有实根之和.若实数x0为方程的根，则其相反数一x0也为方程的根.所以方程的所有实根之和为0，即函数的图象与x轴交点的横坐标之和等于0. 18.2 设方程x2+mx-34m2=0的两根分别为x1，x2，且x1x2，则有x1+x2=-m0,x1x2=-34m20.所以x10.由1OB-1OA=23可知OAOB.又因为m0，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA=|x1|=-x1,OB=x2所以1x2+1x1=23,x1+x2x1x2=23，故-m-34m2=23，解得 m=2.19.由DP=x得PC=10-x,FB=12(10-x)，所以y=121012(10-x)+1210-12(10-x)+x10.即y=5x+50,0x10.20.解法1 既然不论k取何值，于是我们取k=1,k=2得x-4y+10=03x-5y+9=0，解得x=2y=3.把x=2,y=3代人(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0，发现(2，3)就是该一 次函数图象上的点，即该一次函数恒过定点(2，3). 解法2 把(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0表达成(2x-y-1)k=x+3y-11因为k可取任何值，即关于k的方程有无穷多解，故2x-y-1=0x+3y-11=0，解得x=2y=3因为点(2，3)是的解，当然也适合原一次函数，故2k-1x-k+3y-(k-11)=0恒过定点(2，3). 21.(1)设y=x2+mx+n的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),x1x2,则x1,x2为方程x2+mx+n=0的两个不同的实根，所以x1+x2=-m,x1x2=n.又因为0|x1-x2|2,即0(x1+x2)2-4x1x24,也即0m2-4n4.(2)因为m，n为数码(m0)，所以m2-4n=1,2,3,4,而m2被4除余0或1，故m2-4n被4除也余0或1，从而只能有m2-4n=1或m2-4n=4.解这两个不定方程得m=1n=0或m=2n=2或m=5n=6或m=2n=0或m=4n=3或m=6n=8，所以所求的两位数mn为10， 32,56,20,43,68. 22.(1)设函数y的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程a(a+1)x2-(2a+1)x+1=0的两个实根.由a(a+1)x2-(2a+1)x+1=0得(ax-1)(a+1)x-1=0，所以x1=1a,x2=1a+1所以|AB|=|x1-x2|=1a-1a+1=1a(a+1)因此所求线段的长为1a(a+1)（a为正整数） (2)当a依次取1，2，2005时，所截得的线段长分别为|A1B1|=1-12,|A2B2|=12-13,|A2005B2005|=12005-12006故|A1B1|+|A2B2|+|A2005B2005|=(1-12)+(12-13)+(12005-12006)=1-12006=2005200623.(1)当0t1时， h乙=0.5t；当1t5时， h乙=0.5；当5yB)2x2+6mx-2(yAyB).易看出，已知的两个二次函数的图象皆开口向上，有共同的对称轴x=-32m0，在直线y=-2上有两个交点，其中一点坐标为（0，-2），描绘函数yA=x2+3mx