实际问题与二次函数.doc

实际问题与二次函数教学目标： 1复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。2使学生掌握已知抛物线的顶点坐标，与x轴的两个交点或对称轴等条件求出函数的关系式。重点难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。教学过程：一、知识准备 1如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?2已知二次函数的图象经过A(0，2)，B(1，5)，C(1，1）。 (1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。答案：(1)yx22x2，(2)图略，(3)对称轴x1，顶点坐标为(1，1)。 3二次函数yax2bxc的对称轴，顶点坐标各是什么? 对称轴是直线xb/2a，顶点坐标是(b/2a，(4ac- b2)/4a )二、教材导学 探究问题一已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数yax2bxc通过配方可得ya(xh)2k的形式称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： ya(x8)29 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。 请同学们完成本例的解答。 练习：已知一个二次函数的图象过点(2，1)，它的顶点坐标是(1，0)，求这个二次函数的关系式。探究问题二.已知抛物线对称轴是直线x2，且经过(3，1)和(0，5)两点，求二次函数的关系式。 解法1：设所求二次函数的解析式是yax2bxc，因为二次函数的图象过点(0，5)，可求得c5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x2，可以得 解这个方程组，得： 所以所求的二次函数的关系式为y2x28x5。 解法二；设所求二次函数的关系式为ya(x2)2k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，5)两点，可以得到 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)23，即y2x28x5。 探究问题三.已知抛物线的顶点是(2，4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 解法1：设所求的函数关系式为ya(xh)2k，依题意，得ya(x2)24 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(02)244，解得a2。所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)24，即y2x28x4。解法2：设所求二次函数的关系式为yax2bxc?依题意，得解这个方程组，得： 所以，所求二次函数关系式为y2x28x4。探究问题四. 已知一个二次函数的图象与x轴的交点为（1,0），（3,0）且过点（-1,3），求函数的关系式。解法1：设所求二次函数的解析式是yax2bxc，因为二次函数的图象过点(1,0)，（3,0），（-1，8）得三个方程，解出a=1,b=-4,c=3. 即yx2-4x3解法二；设所求二次函数的关系式为ya(x1)(x-3)，由于二次函数的图象经过(-1，8)可以得到 8=a(-1-1)(-1-3) 解这个方程组得a=-1,即yx2-4x3三、课堂练习 1. 已知二次函数当x3时，有最大值1，且当x0时，y3，求二次函数的关系式。 解法1：设所求二次函数关系式为yax2bxc，因为图象过点(0，3)，所以c3，又由于二次函数当x3时，有最大值1，可以得到： 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为yx2x3。 解法2：所求二次函数关系式为ya(xh)2k，依题意，得ya(x3)21 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3a(03)21 解得a 所以，所求二次函数的关系为y44/9(x3)21，即yx2x3 小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2已知二次函数yx2pxq的图象的顶点坐标是(5，2)，求二次函数关系式。 简解：依题意，得 解得：p10,q23 所以，所求二次函数的关系式是yx210x23。四、课堂小结1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? 三种类型：(1)一般式：yax2bxc (2)顶点式：ya(xh)2k，其顶点是(h，k) （3）两点式：y=a(x-x1)(x-x2)其中点（x1,0）,(x2,0)是图像与x轴的交点 2如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述三个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。五、作业： 1. 已知抛物线的顶点坐标为(1，3)，与y轴交点为(0，5)，求二次函数的关系式。 2函数yx2pxq的最小值是4，且当x2时，y5，求p和q。 3若抛物线yx2bxc的最高点为(1，3)，求b和c。 4已知二次函数yax2bxc的图象经过A(0，1)，B(1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是_。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是_。 5已知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次函数的关系式。 6如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?六、课后反思：学生对一般形应用的还好，顶点式应用一般，两点式较差，需要多练多做。等腰三角形的性质教学设计和体会教学目标：(1)认知目标：1、掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用它们进行有关的论证和计算。2、理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间的联系。(2)能力目标：1、定理的引入培养学生对命题的抽象概括能力，加强发散思维的训练。2、定理的证明培养大胆创新、敢于求异、勇于探索的精神和能力，形成良好的思维品质。3、定理的应用，培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。(3)情感目标：在教学过程中,引导学生进行规律的再发现，激发学生的审美情感，与现实生活有关的实际问题使学生认识到数学对于外部世界的完善与和谐，使他们有效地获取真知，发展理性。教学重点 ：等腰三角形的性质定理及其证明。教学难点 ：用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加。教学过程：一、复习提问1、什么样的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。首先教师提问了解前置知识掌握情况。动脑思考、口答。二、创设情境1、一般三角形有哪些性质？2、等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还有那些特殊性质？把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。本节课我们一起研究等腰三角形的性质。三、探究新课请同学们拿出准备好的等腰三角形，把两个三角形叠合在一起会有始么发现？问题通过观察，你发现了什么结论？结论等腰三角形的两个底角相等。可由学生从多种途径思考，纵横联想所学知识方法，为命题的证明打下基础。辨疑由观察发现的命题不一定是真命题，需要证明，怎样证明？问题1、此命题的题设、结论分别是什么？2、怎样写出已知、求证？3、怎样证明？电脑演示1投影学生证明过程，并由其讲述从而引出定理 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”），通过电脑演示，引导学生全面观察，联想，突破引辅助线的难关，并向学生渗透转化的数学思想。引出学生探究心理，迅速集中注意力，使其带着浓厚的兴趣开始积极探索思考。继续观察图形问题1、指出全等三角形中还有哪些对应边、对应角相等？2、等腰三角形的顶角的平分线又有什么性质？设问、质疑小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学材料的能力。 辨疑一般三角形是否具有这一性质呢？电脑演示2从而引出推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边. “三线合一”性质 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。填空根据等腰三角形性质定理的推论，在ABC中（1）AB=AC，ADBC，=，=；（2）AB=AC，AD是中线，=，；（3）AB=AC，AD是角平分线，=。通过电脑演示，引出推论1，并引入填空、强调推论1的运用方法。电脑演示给学生对推抡1留下深刻印象，并通过填空了解推论1的运用方法。五、变式训练，巩固提高达标练习一A组：根据等腰三角的形性质定理(1)等腰直角三角形的每一个锐角都等于多少度？(2)若等腰三角形的顶角为40，则它的底角为多少度?(3)若等腰三角形的一个底角为 40,则它的顶角为多少度?B组：根据等腰三角形的性质定理(1)若等腰三角形的一个内角为 40,则它的其余各角为多少度?(2) 若等腰三角形的一个内角为120,则它的其余各角为多少度?(3)等边三角形的三个内角有什么关系?各等于多少度?从而引出推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60，题目设计遵循由易到难的原则，引导学生拾阶而上。沟通等腰三角形的性质定理和三角形内角和定理的联系，并引出推论2。A组口答练习B组讨论后回答。掌握等腰三角形性质定理的应用，训练学生的类比思维，让学生获得从问题中探索共同的属性和规律的思维能力。达标练习二A组：等腰三角形斜边上的高把直角分成两个角，求这两个角的度数。B组：已知：如图，房屋的顶角 BAC=100。求顶架上B、C、BAD、CAD的度数。理论联系实际,充分体现数学解决实际问题的作用,培养学生的应用意识,提高数学修养。A组口答B组独立解答.加深理解定理及推论1，能初步灵活地运用它们进行计算和论证。布置作业：1、看书： 2、课本教学策列与反思本节课是在学生掌握了一般三角形基础知识和初步推论证明的基础上进行学习的，担负着训练学生会分析证明思路的任务，等腰三角形两底角相等的性质是今后论证两角相等的依据之一，等腰三角形底边上的三条主要线段重合的性质是今后论证两条线段相等、两个角相等及两条直线垂直的重要依据。因此设计时，我分别从几个方面作了精心策划：1、创设丰富的旧知环境，有利于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与形成新知相关的旧知，从而使学生的原认知结构对新知的学习具有某种“召唤力”。2、提供可探索性的问题，合理的设计实验过程，创造出良好的问题情境，不断地引导学生观察、实验、思考、探索，使学生感