中考几何证明经典题型

几何证明经典题型 提高 1 如图 10 1 四边形 ABCD 是正方形 G 是 CD 边上的一个动点 点 G 与 C D 不重合 以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG 连结 BG DE 我们探究下列图中线段 BG 线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系 1 请直接写出图 10 1 中线段 BG 线段 DE 的数量关系及所在直线的位置关系 将图 10 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针 或逆时针 方向旋转任意角度 得到如图 10 2 如图 10 3 情形 请你通过观察 测量等方法判断 中得到 的结论是否仍然成立 并选取图 10 2 证明你的判断 2 将原题中正方形改为矩形 如图 10 4 10 6 且 试判断 1 中得到的结论哪个kbCGkaCEbBCaAB 0 kba 成立 哪个不成立 并写出你的判断 不必证明 3 在图 10 5 中 连结 且 则 DGBE 2 1 2 4 kba 22 BEDG 答案 BG DE BG DE 中得到的结论仍然成立 BG DE 成立 BG DE 不成立 BE2 DG2 25 2 如图 1 ABC 中 ACB 90 AC BC BD 是中线 CE BD 于点 E 交 AB 于点 F 求证 ADF CDE 简证 过点 A 作 AG AC 交 CF 的延长线于点 G 因为 90 AC BC 所以 CAG BCD ASA RtRt 所以 AG CD AD G CDE 因为 45 AF AF 所以 ADF AGF SAS 所以 ADF G CDE 3 如图 四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于点 E AE AD AB 1 2 求证 ADC ABC 180 简证 过点 C 作 CF AD 交 AD 的延长线于点 F 因为 AC AC 所以 ACF ACE AAS RtRt 所以 CF CE AF AE 因为 AD AB AE AB AE EB 所以 EB AE AD 因为 FD AF AD 所以 EB FD 所以 CEB CFD SAS RtRt 所以 ABC 5 所以 ADC ABC ADC 180 4 已知 平分 MAN ACMAN 在图 1 中 若 120 90 MAN ABC ADC 填写 ABADAC 在图 2 中 若 120 180 则 中的结论是否仍MAN ABC ADC 然成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 在图 3 中 若 60 180 判断 与的数量关系 MAN ABC ADC ABADAC 并说明理由 若 0 180 180 则 MAN ABC ADC ABAD 用含 的三角函数表示 直接写出结果 不必证明 AC 23 解 1 AB AD AC N M C D B A M N D B A C N M AB D C 图 1图 2图 3 1 分 2 仍然成立 证明 如图 2 过 C 作 CE AM 于 E CF AN 于 F 则 CEA CFA 90 AC 平分 MAN MAN 120 MAC NAC 60 又 AC AC AEC AFC AE AF CE CF 在 Rt CEA 中 EAC 60 ECA 30 AC 2AE AE AF 2AE AC ED DA AF AC ABC ADC 180 CDE ADC 180 CDE CBF 又 CE CF CED CFB CED CFB ED FB FB DA AF AC AB AD AC 3 AB AD AC 3 证明 如图 3 方法同 2 可证 AGC AHC AG AH MAN 60 GAC HAC 30 AG AH AC AG AH AC 2 3 3 GD DA AH AC 3 N M A C B D F E M N A D C BH G 图 3 图 2 方法同 2 可证 GDC HBC GD HB HB DA AH AC 3 AD AB AC 3 AB AD AC 2 cos2 5 如图所示 四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片 点 O 与坐标原点 重合 点 A 在 x 轴上 点 C 在 y 轴上 OC 4 点 E 为 BC 的中点 点 N 的坐标为 3 0 过点 N 且平行于 y 轴的直线 MN 与 EB 交于点 M 现将纸片折叠 使顶点 C 落在 MN 上 并与 MN 上的点 G 重合 折痕为 EF 点 F 为折痕与 y 轴的交点 1 求点 G 的坐标 2 求折痕 EF 所在直线的解析式 3 设点 P 为直线 EF 上的点 是否存在这样的点 P 使得以 P F G 为顶点的三角 形为等腰三角形 若存在 请直接写出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 1 四边形 ABCO 是正方形 BC OA 4 E 为 CB 中点 EB 2 MN y 轴 N 3 0 MN EB 且 MB NA 1 EM 1 而 EGM 30 MG EG cos30 G 3 2 EGM 30 MEG FEG CEF 60 CF CE tan60 FO F 0 E 2 4 设直线 EF 的解析式为 M K G F B C D A E M K G F B C D A E 折痕 EF 所在直线解析式为 3 如图所示 6 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC B AD AB 2 点 E 是 AB 边上一动点 点 E90 不与点 A B 重合 连结 ED 过 ED 的中点 F 作 ED 的垂线 交 AD 于点 G 交 BC 于点 K 过点 K 作 KM AD 于 M 1 当 E 为 AB 中点时 求的值 DM DG 2 若 则的值等于 1 3 AE AB DM DG 3 若 n为正整数 1AE ABn 则的值等于 用含n的式子表示 DM DG 答案 1 连接 GE KM AD KG 是 DE 的垂直平分线 KMG DFG 90 GKM GDF MK AB AD KMG DAE 90 KMG DAE MG AE E 是 AB 中点 且 AB AD 2 AE MG 1 KG 是 DE 的垂直平分线 GE GD 设 GE GD x 则 AG 2 x 在 Rt AEG 中 EAG 90 由勾股定理得 2 x 2 12 x2 x DM GD GM 2 3 4 5 4 1 5 1 DG DM 5 2 1 1 2 2 n n 7 如图所示 等腰 Rt ABC 的直角边 AB 2 点 P Q 分别从 A C 两点同时出发 以相 同速度做直线运动 已知点 P 沿射线 AB 运动 点 Q 沿边 BC 的延长线运动 PQ 与直线 AC 相交于点 D 1 设 AP 的长为 x PCQ 的面积为 S 求出 S 关于 x 的函数关系式 2 当 AP 的长为何值时 3 作 PE AC 于 E 当点 P Q 运动时 线段 DE 的长度是否改变 证明你的结论 答案 1 当点 P 在线段 AB 上时 如图 1 所示 AP CQ x PB 2 x 即 当点 P 在 AB 延长线上时 如图 2 所示 AP CQ x PB x 2 即 2 令 即 此方程无实根 令 即 解得 舍去负值 故当 AP 的长为时 3 作 PF BC 交 AC 的延长线于 F 则 AP PF CQ AE EF DF CD 当点 P 在线段 AB 上时 m M O FE D C B A 当点 P 在 AB 的延长线上时 DE EF FD 故当 P Q 运动时 线段 DE 的长度保持不变 始终等于 8 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 经过证明我们可得三角形重心具备 下面的性质 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为 2 1 请你 用此性质解决下面的问题 已知 如图 点为等腰直角三角形的重心 直线过点 过OABC 90 CABmO 三点分别作直线的垂线 垂足分别为点 CBA mFED 1 当直线与平行时 如图 1 请你猜想线段和三者之间的数量mBCCFBE AD 关系并证明 2 当直线绕点旋转到与不平行时 分别探究在图 2 图 3 这两种情况下 mOBC 上述结论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 线段三者之CFBEAD 间又有怎样的数量关系 请写出你的结论 不需证明 答案 1 猜想 BE CF AD 证明 如图 延长 AO 交 BC 于 M 点 点为等腰直角三角形的重心OABC AO 2OM 且 AM BC m O F E D C B A A B C D E F O mm A B C D EF O 图 1 图 2 图 3 又 EF BC AM EF BE EF CF EF EB OM CF EB OM CF EB CF 2OM AD 2 图 2 结论 BE CF AD 证明 联结 AO 并延长交 BC 于点 G 过 G 做 GH EF 于 H 由重心性质可得 AO 2OG ADO OHG 90 AOD HOG AOD GOH AD 2HG O 为重心 G 为 BC 中点 GH EF BE EF CF EF EB HG CF H 为 EF 中点 HG EB CF 2 1 EB CF AD 3 CF BE AD 9 已知 如图所示 梯形 ABCD 中 AB CD C 90 AB BC 4 CD 6 1 点 E 为 BC 边上一点 EF AD 交 CD 边于点 F FG EA 交 AD 边于点 G 若四边形 AEFG 为矩形 求 BE 的长 图 1 H G A B C D E F O m 图 2 m O F E D C B A 图 3 2 如图所示 将 1 中的 AEF 绕 E 点逆时针旋转为 交 CD 边于 点 且点与 D 点不重合 射线交 AB 边于点 M 作N 交 AD 边于点 N 设 BM 为 x 中 边上的高为 y 求 y 关于 x 的函数解析式及自变量 x 的取值 范围 答案 1 作 AH CD 于点 H 如图所示 四边形 AEFG 为矩形 AEF 90 1 3 90 C 90 2 3 90 1 2 EF AD 2 D 1 D AB BC CH 4 HD CD CH 2 tan 1 BE 2 即 E 为 BC 的中点 2 如图所示 作 NP CD 于点 P 则 PN y 可得 4 5 6 它们的正切值相等 即 即 整理 得 当点与点 D 重合时 如图所示 BEM EDC tan BEM x 的取值范围为 10 在中 AC BC 点D为AC的中点 ABC 90ACB 1 如图 1 E为线段DC上任意一点 将线段DE绕点D逆时针旋转 90 得到线段 DF 连结CF 过点F作 交直线AB于点H 判断FH与FC的数量关系并加FHFC 以证明 2 如图 2 若E为线段DC的延长线上任意一点 1 中的其他条件不变 你在 1 中得出的结论是否发生改变 直接写出你的结论 不必证明 答案 1 FH与 FC的数 量关系是 FHFC 证明 延长交于点G DFAB 由题意 知 EDF ACB 90 DE DF DG CB 点D为AC的中点 点G为AB的中点 且 1 2 DCAC DG为的中位线 ABC 1 2 DGBC AC BC DC DG DC DE DG DF 即EC FG EDF 90 FHFC 1 CFD 90 2 CFD 90 1 2 11 如图 1 在 ABCD中 AE BC于E E恰为BC的中点 2tan B 1 求证 AD AE 2 如图 2 点P在BE上 作EF DP于点F 连结AF H F 图 2 图 1 H F E BC D A E D B C A 2 1 H G F E BC D A 求证 AFEFDF2 3 请你在图 3 中画图探究 当P为射线EC 上任意一点 P不与点E重合 时 作 EF DP于点F 连结AF 线段DF EF与AF之间有怎样的数量关系 直接写 出你的结论 答案 1 在 Rt ABE中 AEB 90 2tan BE AE B BEAE2 E为BC的中点 BEBC2 AE BC ABCD是平行四边形 AD BC AE AD 2 在DP上截取DH EF 如图 8 四边形ABCD是平行四边形 AE BC EAD 90 EF PD 1 2 ADH AEF 图 1 E BC A D 图 3 EBC AD 图 2 E CB A D F P H E CB AD F P 2 1 图 8 E C B A F P D 图 9 H AD AE ADH AEF HAD FAE AH AF FAH 90 在 Rt FAH中 AH AF AFFH2 AFEFFDHDFDFH2 即 AFEFDF2 3 按题目要求所画图形见图 9 线段DF EF AF之间的数量 关系为 AFEFDF2 12 小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形 1 如图 所示 ABC DBE 两直角边交于点F 过点F作FG BC交AB于点 G 连结BF AD 则线段BF与线段AD的数量关系是 直线BF 与直线AD的位置关系是 并求证 FG DC AC 2 如果小华将两块三角板 ABC DBE如图 所示摆放 使三点在一条DBC 直线上 AC DE的延长线相交于点F 过点F作FG BC 交直线AE于点G 连结AD FB 则FG DC AC之间满足的数量关系式是 3 在 2 的条件下 若AG DC 5 将一个 45 角的顶点与点B重合 7 2 并绕点B旋转 这个角的两边分别交线段FG于P Q两点 如图 线段DF 分别与线段BQ BP相交于M N两点 若PG 2 求线段MN的长 12 1 12 2 12 3 答案 1 结论 则线段于线段的数量关系是 相等 直线于直线的位置关BFACBFAC 系是 互相垂直 证明 是等腰直角三角形 ABC BDE GF E DC B A G F E D C B A 45BDEBACABC BCAD 45CFD CFCD BCFG 45ABCAGF AFFG FCAFAD DCFGAD 2 FG DC AD 之间满足的数量关系式是 DCADFG 3 过点作垂足为 过点P作垂足为 BFGBH HAGPK K 在一条直线上 BCFG CDB 可证 是等腰直角三角形 AFG DCF 5 27 CDAG 根据勾股定理得 25 7 FDFGAF 2 BCAC 3 BD FGBH CFBH 90BHF BCFG 四边形是矩形 CFHB 2 5 FHBH BCFG 45G 5 BHHG25 BG AGPK 2 PG 2 KGPK 24225 BK 45 45HGBPBQ 45GBH 21 AGPK FGBH 90BKPBHQ BQH BPK BH BK QH PK QH 4 5 4 3 FQ BCFG FQMDBMMFQD FQM DBM 24 DM FNPDNBMFQD BDN PFN PF BD FN DN 8 215 DN 8 217 8 215 24 MN 13 1 已知 如图 1 中 分别以 为一边向 外作正方形ABCABACABC 和 直线于 若于 于 ABGEACHFAN BCNEPAN PFQAN Q 判断线段的数量关系 并证明 EPFQ 2 如图 2 梯形中 分别以两腰 为一边向梯形 ABCDADBCABCDABCD 外作正方形和 线段的垂直平分线交线段于点 交ABGEDCHFADADM 于点 若于 于 1 中结论还成立吗 请说明BCNEPMN PFQMN Q 理由 图 2 F F 图 1 H N Q G H M P E P Q G E D CB A NCB A 答案 1 线段的数量关系为相等 EPFQ EPAN ANBC 90PANB 1390 又 四边形是正方形 ABGE 90EAB AEAB 1290 32 EPA ANB EPAN A BCN E G Q P H 1 2 图 1 3 F 同理可证 FQAN EPFQ 2 过点作 交于 交于 AJKADEPJBCK 过点作 交于 交于 DRTADFQRBCT 于 PNADM JKPN ADBC 四边形为平行四边形 AKNM AKMN 同理可得 DTMN AKDT 又 EPMN JKPNADBC JKEP JKBC 同 1 的证明可得 EJAKFRDT EJFR 由平行四边形和可知 JAMPQMDR JPAMQRMD 又 AMMD JPQR EJJPQRRF EPFQ 与都是等腰直角三角形 DEF ADG DEF DGA 45 CEF FGH 135 CEF FGH CF FH 2 FH与FC仍然相等 图 2 G E P Q A M BNC H F D K J R T F E Q P N M D CB A A BC D M 2 1 H G Q P N M D CB A 14 如图 正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 M 正方形 MNPQ 与正方形 ABCD 全等 射线 MN 与 MQ 不过 A B C D 四点且分别交 ABCD 的边于 E F 两点 1 求证 ME MF 2 若将原题中的正方形改为矩形 且 其他条件不变 探索线段24BCAB ME 与线段 MF 的数量关系 答案 过点 M 作 MG BC 于点 G MH CD 于点 H MGE MHF 0 90 M 为正方形对角线 AC BD 的交点 MG MH 又 1 GMQ 2 GMQ 0 90 1 2 在 MGE 和 MHF 中 1 2 MG MH MGE MHF MGE MHF 2 1 H G F E Q P N A BC D M F 2 1 H G E Q P N B D M C A ME MF 2 解 当 MN 交 BC 于点 E MQ 交 CD 于点 F 时 过点 M 作 MG BC 于点 G MH CD 于点 H MGE MHF 0 90 M 为矩形对角线 AC BD 的交点 1 GMQ 2 GMQ 0 90 1 2 在 MGE 和 MHF 中 1 2 MGE MHF MGE MHF MH MG MF ME M 为矩形对角线 AB AC 的交点 MB MD MC 又 MG BC MH CD 点 G H 分别是 BC DC 的中点 24BCAB BCMHABMG 2 1 2 1 2 1 MF ME 当 MN 的延长线交 AB 于点 E MQ 交 BC 于点 F 时 过点 M 作 MG AB 于点 G MH BC 于点 H MGE MHF 0 90 M 为矩形对角线 AC BD 的交点 1 GMQ 2 GMQ 0 90 4 3 2 1 H F E Q P N B D M C A 1 2 在 MGE 和 MHF 中 1 2 MGE MHF MGE MHF MH MG MF ME M 为矩形对角线 AC BD 的交点 MB MA MC 又 MG AB MH BC 点 G H 分别是 AB BC 的中点 24BCAB ABMHBCMG 2 1 2 1 2 MF ME 当 MN MQ 两边都交边 BC 于 E F 时 过点 M 作 MH BC 于点 H MHE MHF NMQ 0 90 1 3 2 4 MEH FEM FMH FEM MEMH FEFM FMMH FEEM M 为正方形对角线 AC BD