2012高考数学总复习 第三十四讲 基本不等式及其应用 新人教版

用心 爱心 专心 1 第三十四讲第三十四讲 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后的 括号内 1 a 0 且b 0 是 的 a b 2ab A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 2 设a b R R 且a b 4 则有 A B 1 1 ab 1 2 1 a 1 b C 2 D ab 1 a2 b2 1 4 解析 由a b R R 且a b 4 得 2 4 2 又由 abab 1 ab 1 4 即 由此可知 A C D 都不正确 则只有 B 正确 故选 B 1 a2 b2 1 a b 2 2 1 4 1 a2 b2 1 4 答案 B 3 设 0 xb c 0 则 2a2 10ac 25c2的最小值是 1 ab 1 a a b A 2 B 4 C 2 D 5 5 解析 原式 a2 a2 10ac 25c2 a2 a 5c 1 ab 1 a a b 1 b a b 2 a2 0 4 当且仅当b a b a 5c且a2 即a 2b 5c 时 都成立 4 a2 4 a22 故原式的最小值为 4 选 B 答案 B 6 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小值是 A 3 B 4 用心 爱心 专心 3 C D 9 2 11 2 解析 依题意得 x 1 2y 1 9 x 1 2y 1 2 6 x 2y 4 当且仅当x 1 2y 1 即x 2 y 1 时取等号 故 x 1 2y 1 x 2y的最小值是 4 选 B 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线 上 7 在 1 中的 处分别填上一个自然数 使它们的和最小 并求出其和的 49 最小值 分析 本题条件 结论皆开放 可设所要填写的两数分别为x y 再利用均值定理去 探索 解析 设这两个自然数分别为x y 则有x y x y 13 13 2 25 4 x 9 y 4y x 9x y 4y x 9x y 当且仅当 且 1 即x 10 y 15 时等号成立 故分别填 10 和 15 其和 4y x 9x y 4 x 9 y 的最小值为 25 答案 10 15 25 评析 本题解答的关键是将已知中的 1 代换 应用均值定理求函数的最值时 必须 注意 一正二定三相等 8 若a b是正常数 a b x y 0 则 当且仅当 时 a2 x b2 y a b 2 x y a x b y 取等号 利用以上结论 可以得到函数f x x 的最小值为 取 2 x 9 1 2x 0 1 2 最小值时x的值为 解析 f x 25 22 2x 32 1 2x 2 3 2 2x 1 2x 用心 爱心 专心 4 当且仅当 即x 时上式取最小值 即 f x min 25 2 2x 3 1 2x 1 5 答案 25 1 5 9 精选考题 重庆 已知t 0 则函数y 的最小值为 t2 4t 1 t 解析 依题意得y t 4 2 4 2 此时t 1 即函数y t 0 1 t t 1 t t2 4t 1 t 的最小值是 2 答案 2 10 精选考题 浙江 若正实数x y满足 2x y 6 xy 则xy的最小值是 解析 由基本不等式得xy 2 6 令 t得不等式t2 2t 6 0 解得 2xyxy2 t 舍去 或者t 3 故xy的最小值为 18 22 答案 18 三 解答题 本大题共 3 小题 11 12 题 13 分 13 题 14 分 写出证明过程或推演步 骤 11 设a b c为正数 求证 a b c bc a ca b ab c 分析 通过观察可得 c2 b2 a2 bc a ca b bc a ab c ca b ab c 从而利用基本不等式即可 证明 a b c均是正数 均是正数 bc a ca b ab c 2c 2a 2b bc a ca b ca b ab c ab c bc a 三式相加得 2 2 a b c bc a ca b ab c 用心 爱心 专心 5 a b c bc a ca b ab c 评析 先局部运用基本不等式 再利用不等式的性质 注意限制条件 通过相加 乘 合 成为待证的不等式 既是运用基本不等式时的一种重要技能 也是证明不等式时的一种常用 方法 12 设函数f x x x 0 a x 1 1 当a 2 时 求函数f x 的最小值 2 当 0 a0 0 所以f x 2 1 2 x 12 当且仅当x 1 即x 1 时 f x 取得最小值 最小值为 2 1 2 x 122 2 因为f x x x 1 1 此时再利用 1 的方法 等号取不到 a x 1 a x 1 设x1 x2 0 则f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 a x1 1 a x2 1 1 a x1 1 x2 1 由于x1 x2 0 所以x1 x2 0 x1 1 1 x2 1 1 所以 x1 1 x2 1 1 而 0 a 1 所以0 a x1 1 x2 1 即f x1 f x2 所以f x 在 0 上单调递增 所以f x min f 0 a 评析 2 问中因等号不能取到 所以考虑使用函数单调性 由此提醒我们时刻注意三 个条件 在变形时拆分项及配凑因式是常用的方法 13 某厂为适应市场需求 投入 98 万元引进世界先进设备 并马上投入生产 第一年 需各种费用 12 万元 从第二年开始 每年所需费用会比上一年增加 4 万元 而每年因引入 用心 爱心 专心 6 该设备可获得年利润为 50 万元 请你根据以上数据 解决以下问题 1 引进该设备多少年后 开始盈利 2 引进该设备若干年后 有两种处理方案 第一种 年平均利润达到最大值时 以 26 万元的价格卖出 第二种 盈利总额达到最大值时 以 8 万元的价格卖出 问哪种方案较为合算 解 开始盈利就是指所获利润大于投资总数 据此建立不等式求解 所谓方案最合理 就是指卖出设备时的年平均利润较大 因此只需将两种方案的年平均利润分别求出 进行比 较即可 1 设引进该设备x年后开始盈利 盈利额为y万元 则y 50 x 98 2x2 40 x 98 令y 0 得 10 x 10 12x x x 1 2 4 51 x N N 3 x 17 即引进该设备三年后开始盈利 51 2 第一种 年平均盈利为 2x 40 2 40 12 当且仅当 2x y x y x 98 x 2x 98 x 即x 7 时 年平均利润最大 共盈利 12 7 26 110 万元 98 x 第二种 盈利总额y 2 x 10 2 102 当x 10 时 取得最大值 102 即经过 10 年 盈利总额最大 共计盈利 102 8 110 万元两种方案获利相等 但由于方案二时间长 所以 采用方案一合算 评析 用基本不等式解决实际问