2016年新课标Ⅱ高考数学理科试题含答案(Word版)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页 . 生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 . 在本试题上无效 . 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 . 第卷 一 . 选择题：本 题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）已知 ( 3 ) ( 1 ) iz m m 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 （ ） （ A） ( 31)， （ B） ( 13)， （ C） (1, )+ （ D） ( 3)- ， （ 2）已知集合 1, A 2,3 ， | ( 1 ) ( 2 ) 0 , B x x x x Z，则 （ ） （ A） 1 （ B） 12， （ C） 0123， ， ， （ D） 1 0 1 2 3 ， ， ， ， （ 3）已知向量 (1 , ) ( 3 , 2 )m， =a b ，且 ()a+ m=（ ） （ A） 8 （ B） 6 （ C） 6 （ D） 8 （ 4）圆 22 2 8 1 3 0x y x y 的圆心到直线 10ax y 的距离为 1，则 a=（ ） （ A） 43 （ B） 34 （ C） 3 （ D） 2 （ 5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （ ） （ A） 24 （ B） 18 （ C） 12 （ D） 9 （ 6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ A） 20 （ B） 24 （ C） 28 （ D） 32 （ 7）若将函数 y=2x 的图像向左平移 12个单位长度，则 平移 后 图像 的对称轴为 （ ） （ A） x= 6 (k Z) （ B） x= 6 (k Z) （ C） x= 12 (k Z) （ D） x=12 (k Z) （ 8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图 输入的x=2， n=2，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的 s=（ ） （ A） 7 （ B） 12 （ C） 17 （ D） 34 （ 9）若 4 )= 35，则 =（ ） （ A） 725 （ B） 15 （ C） 15 （ D） 725 （ 10）从区间 0,1 随机抽取 2n 个数 1x , 2x ， ， 1y ， 2y ， ， 构成 n 个数对 11, 22, ， ,其中两数的平方和小于 1的数对共有 用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 （ ） （ A） 4 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 2（ 11）已知 ： 221的左，右焦点，点 上， M x 轴垂直， 3M F F,则 E 的离心率为 （ ） （ A） 2 （ B） 32（ C） 3 （ D） 2 （ 12）已知函数 ( )( )f x x R 满足 ( ) 2 ( )f x f x ，若函数 1与 ()y f x 图像 的交点为1 1 2 2( , ) , ( , ) , , ( , ) ,y x y x y则1()m （ ） （ A） 0 （ B） m （ C） 2m （ D） 4m 第 本卷包括必考题和选考题两部分 13)题 第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 2)题 第 (24)题 为 选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 (13) 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 =45， = 513， a=1，则 b= . (14)、 是两个平面， m、 n 是两条直线，有下列四个命题： （ 1）如果 m n， m ， n ，那么 . （ 2）如果 m ， n ，那么 m n. （ 3）如果 ， m ，那么 m . （ 4）如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 . 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） （ 15）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 。 （ 16）若直线 y=kx+b 是曲线 y= 的切线，也是曲线 y=x+1）的切线，则 b= 。 三 答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 . 17.（本 小 题满分 12 分） n 项和，且17=1 2 8 记 = 中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0 0 9 = 1， . （ I）求1 11 101b b b， ，； （ 数列 000 项和 . 18.（本 小 题满分 12 分） 某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 a a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 . 05 （ I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （ 一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； （ 续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 . 19.（本小题满分 12 分） 如图，菱形 对角线 于点 O， ， ，点 E,F 分别在 D 上， F=54， D 于点 到 的位置， 10 . （ I）证明： 平面 （ 二面角 B D A C的正弦值 . 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 E: 2213的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点，点 N 在E 上， （ I） 当 t=4， N 时，求 面积； （ 当 2 N 时，求 k 的取值范围 . （ 21）（本小题满分 12 分） (I)讨论函数 x ) 证明当 x 0 时， ( 2 ) 2 0 ;xx e x (明：当 0,1)a 时，函数2x = ( 0 )xe a x （ ）有最小值 .设 g（ x）的最小值为 ()求函数 ()的值域 . 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4几何 证明选讲 如图，在正方形 E,G 分别在边 C 上（不与端点重合），且 G，过 D 点作 足为 F. (I) 证明： B,C,G,F 四点共圆； ( ， E 为 中点，求四边形 面积 . （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直 角 坐标系 ， 圆 C 的 方程为 （ x+6） 2+5. （ I） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （ 线 l 的 参数方程是 = ， = ， （ t 为参数） ,l 与 C 交于 A、 B 两点 ， =10，求 l 的 斜率 。 （ 24）（本小题满分 10 分），选修 4 5：不等式选讲 已知函数 1122f x x x ， M 为不等式 f(x) 2 的解集 . （ I） 求 M； （ 证明： 当 a,b M 时 ， a+b 1+。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案 第卷 一 （ 1） 【答案】 A （ 2） 【答案】 C （ 3） 【答案】 D （ 4） 【答案】 A （ 5） 【答案】 B （ 6） 【答案】 C （ 7） 【答案】 B （ 8） 【答案】 C （ 9） 【答案】 D （ 10） 【答案】 C （ 11） 【答案】 A （ 12） 【答案】 B 第卷 二、填空题 (13)【答案】 2113(14) 【答案】 （ 15） 【答案】 1 和 3 （ 16） 【答案】 1 三 17.（本题满分 12 分） 【答案】 （）1 0b，11 1b ， 101 2b ； （） 1893. 【解析】 试题分析：（）先求公差、通项根据已知条件求1 11 101b b b， ，； （）用分段函数表示由等差数列的前 n 项和公式求 数列 000 项和 试题解析：（）设 d ，据已知有 7 21 28d，解得 所以 1 1 1 0 1 l g 1 0 , l g 1 1 1 , l g 1 0 1 2 .b b b （）因为0 , 1 1 0 ,1 , 1 0 1 0 0 ,2 , 1 0 0 1 0 0 0 ,3 , 1 0 0 0 所以数列 000项和为 1 9 0 2 9 0 0 3 1 1 8 9 3 . 考点：等差数列的的性质，前 n 项和公式，对数的运算 . 【结束】 18.（本题满分 12 分） 【答案】 （）根据互斥事件的概率公式求解；（）由条件概率公式求解； （ ） 记续保人本年度的保费为X ，求 X 的分布列， 再 根据期望公式求解 . 【解析】 试题解析：（）设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1，故 ( ) 0 . 2 0 . 2 0 . 1 0 . 0 5 0 . 5 5 （）设 B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60% ”，则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3，故 ( ) 0 . 1 0 . 0 5 0 . 1 5 又 ( ) ( )P B ，故 ( ) ( ) 0 . 1 5 3( | ) .( ) ( ) 0 . 5 5 1 1P A B P A P A P A 因此所求概率为 ）记续保人本年度的保费为 X ，则 X 的分布列为 X a 2a P 0 . 8 5 0 . 3 0 0 . 1 5 1 . 2 5 0 . 2 0 1 . 5 0 . 2 0 1 . 7 5 0 . 1 0 2 0 . 0 51 . 2 3E X a a a a a 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望 . 【结束】 19.（本小题满分 12 分） 【答案】 （）详见解析；（） 2 9525. 【解析】 试题分析： （）证 /F ，再证 D H ，最后证 D H A B C D 平 面 ；（）用向量法求解 . 试题解析： （ I）由已知得 D ， D ，又由 F 得 D，故 /F . 因此 D ，从而 H , 6得 2204D O B A B A O . 由 /C 得 14O H A A D， 3D H D H. 于是 2 2 2 2 23 1 1 0D H O H D O ， 故 D H . 又 D H ，而 O H E F H， 所以 D H A B C D 平 面 . （ 图，以 H 为坐标原点， 方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系 H ，则 0, 0, 0H ， 3, 1, 0A ， 0, 5,0B ， 3, 1,0C ， 0,0,3D ， (3, 4 , 0 ) ， 6, 0, 0 ， 3,1, 3 1 1 1,m x y z是 平面 法向量 ，则00m D ，即 111 1 13 4 03 3 0y z ，所 以可以 取 4, 3, 5m 2 2 2,n x y z 是平面 法向量，则00n D ，即 22 2 2603 3 0xx y z ，所以 0, 3,1n 4 7 5c o s , 255 0 1 0 ， 2 9 5s i n ,25 D A C的正弦值是 2 9525. 考点：线面垂直的判定、二面角 . 【结束】 20.（本小题满分 12 分） 【答案】 （） 14449；（） 3 2,2 . 【解析】 试题分析： （）先求直线 方程，再求点 M 的纵坐标，最后求 的面积；（）设 11,M x y，将直线 方程与椭圆方程组成方程组，消去 y ，用 k 表示1x，从而表示 |同理用 k 表示 |再由 2 N 求 k . 试题解析： （ I）设 11,M x y，则由题意知1 0y ，当 4t 时， E 的方程为 22143， 2,0A . 由已知及椭圆的对称性知，直线 倾斜角为4M 的方程为 2 . 将 2代入 22143得 27 1 2 0y 或 127y，所以1 127y . 因此 的面积1 1 2 1 2 1 4 42 2 7 7 4 9 . （ 题意 3t ， 0k ， ,0. 将直线 方程 ()y k x t代入 2213得 2 2 2 2 23 2 3 0t k x t t k x t k t . 由 221 233t k 得 21233t ，故 221 26213 x t . 由题设，直线 方程为 1y x ，故同理可得 22613k t ， 由 2 N 得22233k t，即 3 2 3 2 1k t k k . 当 3 2k 时上式不成立， 因此 33 2 12. 3t 等价于 232332132 022k ， 即32 02 ，或32020，解得 3 22k . 因此 k 的取值范围是 3 2,2 . 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 . 【结束】 （ 21）（本小题满分 12 分） 【答案】 （）详见解析；（） 21( , 【解析】 试题分析： （）先求定义域，用导数法求函数的单调性， 当 (0, )x 时， ( ) (0)f x f 证明结论 ；（）用导数法求函数 ()最值 ，在构造新函数 00h ( ) 2x ，又用 导数法求解 . 试题解析： （） () , 2 ) ( 2 , ) . 222( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 0 ,( 2 ) ( 2 )x x xx x e x e x 且仅当 0x 时， ( ) 0，所以 () , 2 ) , ( 2 , ) 单调递增， 因此当 (0, )x 时， ( ) ( 0 ) 1,f x f 所以 ( 2 ) ( 2 ) , ( 2 ) 2 0e x x e x （ 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) ( ( ) ) ,xx e a x xg x f x 由（ I）知， ()f x a 单调递增，对任意 0 , 1 ) , ( 0 ) 1 0 , ( 2 ) 0 ,a f a a f a a 因此，存在唯一0 (0, 2,x 使得0( ) 0,f x a即0( ) 0 当00 时， ( ) 0 , ( ) 0 , ( )f x a g x g x 单调递减； 当0， ( ) 0 , ( ) 0 , ( )f x a g x g x 单调递增 . 因此 ()0取得最小值，最小值为 00 00 0 00 220 0 0( 1 ) + ( ) ( 1 )( ) xe a x e f x x x x 于是 00h ( ) 2x ，由 2( 1 )( ) 0 ,2 ( 2 ) 2x x xe x e ex x x 单调递增 所以，由0 (0, 2,x 得 00 2 201 ( ) 2 2 2 2 4xe e e 因为2调递增，对任意 21( , ,24e 存在唯一的0 (0, 2,x 0( ) 0 , 1 ) ,a f x 使得 ( ) , 所以 ()值域是 21( , ,24 0,1)a 时， () 最小值 () ()值域是 21( , 函数的单调性、极值与最值 . 【结束】 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号 （ 22）（本小题满分 10 分） 选修 4何证明选讲 【答案】 （）详见解析；（） 12. 【解析】 试题分析： （）证 ,D G F C B F 再证 , , ,B C G F 四点共圆 ；（）证明 ,R t B C G R t B F G 四边形面积 S 是 面积 的 2 倍 . 试题解析：（ I）因为 C ,所以 ,D E F C D F 则有 ,D F D E D F D E F F C C D C B 所以 ,D G F C B F 由此可得 ,D G F C B F 因 此 01 8 0 ,C G F C B F 所以 , , ,B C G F 四点共圆 . （ , , ,B C G F 四点共圆， B 知 B ，连结 由 G 为 斜边 中点，知 C ,故 ,R t B C G R t B F G 因此四边形 面积 S 是 面积 2 倍，即 1 1 12 2 1 2G C 考点： 三角形相似、全等，四点共圆 【结束】 （ 23）（本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 【答案】 （） 2 1 2 c o s 1 1 0 ；（） 153. 【解析】 试题分析：（ I）利用 2 2 2， 可得 C 的极坐