2016年高考数学理试题分类汇编：立体几何(含答案)

2016 年高考数学理试题分类汇编 立体几何 一、选择题 1、（ 2016 年北京高考） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ ） 【答案】 A 2、（ 2016 年山东高考） 有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为 （ A） 32+31（ B） 32+31（ C） 62+31（ D） 62+1【答案】 C 3、（ 2016 年全国 I 高考） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 83 ，则它的表面积是 （ A） 17 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 28 【答案】 A 4、（ 2016 年全国 I 高考） 平面 过正方体 1顶点 A， /平面 I 平面 m，I 平面 1=n，则 m， n 所成角的正弦值为 （ A） 32（ B） 22（ C） 33（ D） 13【答案】 A 5、（ 2016 年全国 考） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ A） 20 （ B） 24 （ C） 28 （ D） 32 【答案】 C 6、（ 2016 年全国 考） 如图，网格纸上小正方形的 边长 为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （ A） 18 36 5 （ B） 54 18 5 （ C） 90 （ D） 81 【答案】 B 7、（ 2016 年全国 考） 在封闭的直 三棱柱1 1 1A B C A B C内有一个体积为 V 的球，若 C ， 6，8， 1 3，则 V 的最大值是 （ A） 4 （ B） 92（ C） 6 （ D） 323【答案】 B 二、填空题 1、（ 2016 年上海高考） 如图，在正四棱柱 1111 中，底面 边长为 3，1该正四棱柱的高等于 _ 【答案】 22 2、（ 2016年四川高考） 已知三棱锥的四个面都是腰长为 2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 _ 【答案】 333、（ 2016 年天津高考） 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m），则该四棱锥的体积为 _【答案】 2 4、（ 2016 年全国 考） ,是两个平面， ,下列四个 命题： （ 1）如果 , , / /m n m n ，那么 . （ 2）如果 , / / ，那么 . （ 3）如果 / / , m ，那么 /m . （ 4）如果 / / , / /，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 . 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 【答案】 5、（ 2016 年浙江高考） 某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的表面积是 积是 【答案】 72 32 6、（ 2016 年浙江高考） 如图，在 ， C=2， 20 的点 P 和线段 的点 D，满足 A， A，则四面体 体积的最大值是 . 【答案】 12三、解答题 1、（ 2016 年北京高考） 如图，在四棱锥 P 中，平面 平面 D ， D ，D ， 1， 2， 5A C C D. （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值； （ 3）在棱 是否存在点 M ，使得 /面 若存在，求 不存在，说明理由 . 【解】 面 D面 面面 D 又 面 取 结O5C D ，如图建系 易知(001)， ，(110)B， ，(0 10)D ， ，200)C ， ， 则( 1 1)， ，(0 1 1) ， ，2 0 1) ，( 0) ， ，设00( , )n x y ，0 1 1,120n P D C ，则 1 1132c 31 1 1 34n P B 假设存在 M面， 0, , y 2）知 0,1,0A， 0,0,1， 0, 1,1， 1 ,0B， 0, 1, AM y z有 0 ,1 ,M A P M 1, , 0BM n即1 02 1=4 综上，存在 即当14， 2、（ 2016 年山东高考） 在如图所示的圆台中， 下底面圆 O 的直径， 上底面圆 O 的直径， 圆台的一条母线 . （ I）已知 G,H 分别为 中点，求证： 平面 （ 知 B=123， 的余弦值 . 解】 ( )连结 取 中点 M ，连结 ， 因为 上底面内， 在上底面内， 所以 上底面，所以 平面 又因为 面 面 所以 平面 所以平面 平面 由 面 所以 平面 ( ) 连结 原点，分别以 A, 为 zy,x, 轴， 建立空间直角坐标系 2 ， 3)( 22 于是有 )0,0,3A(2 ， )0,0,3C( )0,3B(0,2 ， )3,3F(0, ， 可得平面 的向量 )3,( 30, ， )0,( 3232 , 于是得平面 一个法向量为 )1,3,3(1 n ， 又平面 一个法向量为 )1,0,0(2 n ， 设二面角 ， 则7771c o 二面角 余弦值为77 E F B A C G H E F B A C O， O x y z 3、（ 2016 年上海高考） 将边长为 1 的正方形11其内部）绕的1图， 3，11其中1 在平面11 （ 1）求三棱锥111C O A B的体积； （ 2）求异面直线1 【解析】 试题分析：（ 1）由题意可知，圆柱的高 1h ，底面半径 1r 确定1 1 1 3 计算1 1 1S后即得 . （ 2）设过点1的母线与下底面交于点 ，根据11/ ，知1C 或其补角为直线1C与1所成的角确定 ， 得出1C 4 试题解析：（ 1）由题意可知，圆柱的高 1h ，底面半径 1r 由11的长为3，可知1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 113s i ， 1 1 1 1 1 1 1 2 （ 2）设过点1的母线与下底面交于点 ，则11/ ， 所以1C 或其补角为直线1C与1所成的角 C 1A A 1B 由 C 长为 23，可知 2 ， 又1 1 1 3 ，所以 ， 从而 C 为等边三角形，得 因为1平面 C ，所以1 C 在1C 中，因为1 C 2 ， ，1 1，所以1C 4 ， 从而直线1C与1所成的角的大小为4 4、（ 2016年四川高考） 如图，在四棱锥 P 中， /C ， 90A D C P A B ， 12B C C D A D，面直线 0 . （ I）在平面 ，使得直线 /面 并说明理由； （ 二面角 P 的大小为 45 ，求直线 平面 【解】 （ I） 延长 交直线 点 M ， E 为 点， 1=2A E E D A D， 1=2B C C D A D， C ， /C 即 /C ， 四边形 平行四边形， /D ， D M ， M ， /E ， 面 / M ， 面 M 面 故在面 可找到一点 M 使得 / （ 过 A 作 C 交 点 F ，连结 过 A 作 F 交 点 G ， 90 ， 成角为 90 ， B ， D ， =D M ， ， 面 C ， F 且 P A ， 面 面 E ， F 且 F A ， 面 为所求 面 成的角， 面 =90即 C . 为二面角 P 所成的平面角 , 由题意可得 =45，而 =90, D , D ,四边形 平行四边形， =90， 四边形 正方形， 45 ， = 4 5A E F B E C ， 90 ， 2=2E， 2 24t a n = =4 P A P ， 13 5、（ 2016 年天津高考） 如图，正方形 中心为 O，四边形 矩形，平面 面 G 为 中点， E=2. （ I）求证： 面 （ 二面角 正弦值； （ H 为线段 的点，且 3直线 平面 成角的正弦值 . 【解析】（ ）证明：找到 点 I ，连结 矩形 B G 、 I 是中点， 的中位线 D 且 12D O 是正方形 心 12D I 且 I= 四边形 平行四边形 I 面 面 （ ） O 正弦值 解：如图所示建立空间直角坐标系 O 0 2 0B ， ， ， 2 0 0C ， ， ， 0 2 2E ， ， ， 0 0 2F ， ， 设面 法向量 1n x y z ， ， 110 2 0 2 02 0 2 2 2 0n E F x y z F x y z x z ， ， ， ， ， ， ，得： 201 1 2 0 1n ， ， 面 面 法向量 2 1 0 0n ， ，1212122 6c o ，21263s i n 133 ，（ ） 23F 2 2 2 2 42 0 2 05 5 5 5A H A F ， ， ， ，设 H x y z， ， 2 2 42055A H x y z ， ， ， ，得：325045 3 2 4255， ，12164755c o n ， 6、（ 2016 年全国 I 高考） 如图，在 以 A， B， C， D， E， F 为顶点的五面体中，面 正方形， 0，且二面角 与二面角 都是 60 （ I）证明 ： 平面 平面 （ 二面角 的余弦值 【解析】 正方形 F 90 F =F F 面 面 平面 平面 由 知 60D F E C E F F 平面 平面 平面 平面 面 D D , F 四边形 等腰梯形 以 E 为原点，如图建立坐标系，设 FD a 0 0 0 0 2 0E B a， ， ， ， 30 2 2 022aC a A a a， ， ， ， 0 2 0E B a ， ， ， 3222 a a， ， 2 0 0A B a ， ， 设面 向量为 m x y z ， ， . 00m C ，即 11 1 12032022x a y a z 1 1 13 0 1x y z ， ， 3 0 1m ， ， 设面 向量为 2 2 2n x y z ， ，=00n B 223202220a x a y a 2 2 20 3 4x y z ， ， 0 3 4n ， ， 设二面角 E 的大小为 . 4 2 1 9c o 3 1 6 二面角 E 的余弦值为 2 19197、（ 2016 年全国 考） 如图，菱形 对角线 于点 O ， 5, 6A B A C，点 ,D 上， 54A E C F， 点 H 将 沿 到 位置， 10 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 B D A C的正弦值 【解析】 证明： 54E A D， C 四边形D， D， ， 6 3 又5O 4 1 ， 3 H， 2 2 2O D O H D H ， D H 又 O I， 建立如图坐标系H 5 0 0B ， ，1 3C ， ， 3D ， ，1 3 0A ， ， 4 0 ， 1 3 3 ，060u ， ， 设面 1n x y z ， ， 由1100n 得4 3 03 3 0y z ，取345， 1 3 4 5n ， 同理可得面2 3 0 1n ， 121295 75c 10 ur 2 955 8、（ 2016 年全国 考） 如图，四棱锥 P 中， 地面 C ， 3A B A D A C ，4C， M 为线段 一点， 2D ， N 为 中点 （ I）证明 面 （ 直线 平面 成角的正弦值 . 设 ),( 为平面 法向量，则00即0225042可取)1,2,0(n ， 于是2558|,c 9、（ 2016 年浙江高考） 如图 ,在三棱台 中 ,平面 平面 =90,F=,. (I)求证： 面 (二面角 平面角的余弦值 . （ 法一： 过点 F 作 ，连结 Q 因为 F平面 C，所以 F ，则 平面 ，所以 Q 所以， 是二面角 的平面角 在 中， ， ，得 3 13 在 F 中， 3 13 ，得 3c o s Q 所以，二面角 的平面角的余弦值为 34 10、 (2016 江苏省高考 )如图，在直三棱柱 ， D， E 分别为 中点，点 F 在侧棱 ，且11B 1 1 1B. 求证：（ 1）直线 平面 （ 2）平面 平面 证明：（ 1）在直三棱柱 1 1 1， 11/，因为 D,E 分别为 C 的中点 . 所以/C，于是 11/E E平面 1 1 1 1,C F 平面 11E/平面