复变函数入门 1ppt课件.ppt

1 1复数 1 复数域 2 复平面 3 复数的模与辐角 4 复数的乘幂与方根 5 复数的应用举例 1 2 1 复数域 1 1虚单位 对虚数单位的规定 3 虚数单位的特性 4 1 2复数的代数形式的定义 i 虚单位满足 i2 1 虚部记做 Imz x 实部记做 Rez x 5 例1 解 令 6 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等 复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0 说明两个数如果都是实数 可以比较它们的大小 如果不全是实数 就不能比较大小 也就是说 设 z1 x1 i y1z2 x2 i y2 复数不能比较大小 7 1 3复数的代数运算 1 两复数的和 2 两复数的积 3 两复数的商 注解 复数的减法运算是加法运算的逆运算 复数的除法运算是乘法运算的逆运算 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致 8 定理 全体复数关于上述运算做成一个数域 称为复数域 用C表示 即 9 1 4共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数 例2 解 10 5 共轭复数的性质 以上各式证明略 11 例3 解 12 例4 解 13 例5 解 14 例6 解 15 例7 证 16 1 5复数的Hamilton 代数对 形式的定义 1835年 Hamilton给出如下定义 称一个有序数对z x y 为一个复数 其中x y为实数 要注意 因为复数是 有序数对 所以一般地 x y y x x y x iy实部Rez x虚部 Imz y虚单位 0 1 i数零0 0 0 0 0i 17 复数的四则运算 18 2 复平面 复数的向量表示法 19 结论 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 20 附录 向Hamilton学习 Hamilton WilliamRowan 威廉 罗万 哈密儿顿 1805 1865 爵士 无疑是使爱尔兰人在数学领域中享有盛益的最伟大的人物 同时也是有名望的物理学家和天文学家 他1805年生于都柏林 除了短时间外出访问外 一生都是在这里度过的 他才一岁时 被委托给一位叔叔教育 这位叔叔的热心在于给他侧重语言上的教育 不久之后 他就成了孤儿 Hamilton是个神童 3岁时能阅读英文 5岁时能阅读 21 翻译拉丁 希腊和希伯莱文 8岁就会讲意大利语和法语 而且能用拉丁文描写美丽的爱尔兰江山 12岁就读完了用拉丁文写的Euclid的 几何原理 据说他到十三岁时就掌握了十三种语言 在14岁时 有波斯大使到达他的家乡都柏林访问 他还用波斯文写了一篇欢应词 这使得他逐步喜爱上了古典文学 沉醉于诗的写作之中 他成为当时的伟大诗人WillamWordsworth的亲密朋友和相互赞赏者 然而遗憾的是却没有什么真正的成就 22 直到十五岁 哈密尔顿的兴趣才转变 爱上了数学 这个变化是由于他认识美国的心算专家ZerahColburn 科尔伯恩 引起的 这位计算家虽然只是个小孩子 但是他在都柏林表演了他的快速计算能力 不久之后Hamilton偶然间见到Newton的 通用算术 的抄本 他贪婪地读它 然后又掌握了解析几何和微积分 并接着读了欧洲大陆的数学巨著 他读了Laplace的 天体力学 MecaniqueC leste 后 指出了其中的一个数学错误 1823年 他写了一篇关于这件事的论文 受到相当的注意 第二年 他进了都柏林的三一学院 Hamilton的大学经历也是独一无二的 他在1827年 当他二十二岁还是一个大学生时 就无异 23 议地被任命为爱尔兰的皇家天文学家 邓辛克天文台台长 和大学的天文学教授 不久之后 仅从数学理论方面 预见到二轴晶体中圆锥形的折射 后来 有物理学家们戏剧般地从试验上加以肯定 在物理学中常见到的Hamilton的名字有Hamilton原理 最小作用量原理 1829 Hamilton数 哈数 和动力学的Hamilton Jacobi微分方程等 从1833年起 他转而研究代数 并于 24 1835年写成了 共轭函数或者代数对的理论 的有价值的论文 并把它呈交给爱尔兰科学院 在这篇文章中 详细谈到了形如x iy的复数把它当做实数对来研究 这是Hamilton的伟大成就之一 继他的这篇论文之后 Hamilton用许多年的时间断断续续地考虑实数的有序三元组和有序四元组的代数 但总是在如何定义乘法 使得能够保持人们所熟悉的运算率上处于困境 25 最后在1843年 一闪年间 他直觉地想到 要求的太多了 必须牺牲交换率 于是 第一个四元数的代数 第一个非交换代数 就这样突然诞生了 关于四元数 有一种说法 这是他在经过十年无效的苦思冥想之后 当他在黄昏前 和他的妻子一道 沿着都柏林附近的皇家运河散步时突然想到的 并把这种想法刻在了步老姆桥 BroughmBridge 的石柱上在生命的最后二十年中 Hamilton花费了大量时间和精力推演其四元数 他认为这将在数学物理中引起巨大的变革 1853年发表了他的伟大巨著 论四元数 TreatiseonQuaternious 在这之后 他准备写一本扩展了的四元数原理 26 但不幸的是 1865年他在都柏林死于酒精中毒 据说这是由于不愉快的婚姻带给他的潦倒生活所致 使这项工作未能完成 1866年 其遗著 四元数的理论基础 出版 虽然 由于后来有了美国物理学家和数学家 耶鲁大学的吉步斯 JosiahWillardGibbs1839 1903 的更方便的向量分析 格拉斯曼 HermanGiintherGrassman 的更一般的有序n元组 是四元数的理论被淹没成为数学史上一件有趣的古董 但他在数学史上的重要性在于 27 Hamilton1843的创造 把代数学从受束缚于实数算术的传统中解放出来 并且因而打开了现代抽象代数的闸们 Hamilton在其他数学领域也有许多贡献 如矩阵论中的Hamilton Cayley定理 方程和多项式 图论中的Hamilton博弈问题等 一生共发表了140余篇论文 28 Hamilton一生受到的荣益也是很高的 他是新成立的美国国家科学院选作的第一个外籍院士 1835年被封为爵士 1845年他还得到了一个罕有的荣誉 那年 他参加了不列颠协会的第二次剑桥会议 被安排在三一学院的那间神圣的房子里住了一个星期Newton就是在那间房子里撰写其 原理 的 1943年爱尔兰政府为纪念四元数发表一百周年 特别发行了以他的头像为图案的邮票 并在都柏林的Broughm桥上立了一个石碑 上面写道 29 这里在1843年10月16日 当WilliamRowanHamilton爵士走过时 天才的闪 光发现了四元数的乘法基本公式 i2 j2 k2 ijk 1 他把这结果刻在这桥的石柱上 向哈密尔顿学习 30 三 小结与思考 本课学习了复数的有关概念 性质及其运算 重点掌握复数的运算 它是本节课的重点 31 例8 解 32 33 思考题 复数为什么不能比较大小 34 思考题答案 由此可见 在复数中无法定义大小关系 放映结束 按Esc退出 35 虚数符号的由来 许凯是最先考察负数开平方运算的人 在1484年 他在解方程4 x2 3x时得到的x值 如以现代的符号表示他的成果 即 由于 是负数 所以他认为不可能解这方程 而第一个对负数开方运算进行研究并得到虚数及其运算方法的人是卡尔达诺 在1545年 在他所著的 大术 中 记载了以下的乘法运算 36 当中相等于根号 是减 即负 表示 15 这就是最早表示虚数的方法 当时 他称负数的平方根为 诡辩量 并且怀疑运算这些数的合理性 因此 卡尔达诺称正数的根为真实的根 realroot 负数的根为虚构的根 fict