CH6《现代控制理论》讲稿.doc

第六章 最优控制.(侯媛彬)要点： 1变分法与最优控制的概念 2 最大值原理 3 线性最优控制器的设计难点： 线性最优控制器的设计 6-1 变分法与最优控制一、基本概念1泛函变量，如果对于某一类函数中的每一个函数，都有一个确定的值与之对应，那么就称为依赖于函数的泛函，记为 或简记为。根据函数定义，泛函可理解为“函数的函数”，即泛函的值是由函数的选取而定的。例如， 是一个泛函，因为的值是由函数的选取而定的。其中函数称为泛函的宗量。2泛函的变分在泛函极值问题中，泛函的变分是解决问题的一种重要方法，下面讨论泛函的变分及相关的概念。（1）宗量的变分 泛函的宗量的变分，是指两个函数间的差，记作（2）泛函的连续性 若对于函数的微小变化，泛函的变换也很微小，那么就说泛函是连续的。（3）宗量函数的相近度 当函数与之差的绝对值，即 （6-1）对于函数的定义域中的一切值均很小时，就说函数 与是相差微小或相近的。当两个函数之差的绝对值和它们的导数之差的绝对值，即 和 （6-2）同时很小时，就说函数 与是相差微小或相近的。为了区别上面两种情况，把满足式（6-1）的两个函数称为具有零阶相近度，满足式（6-2）的两个函数称为具有一阶相近度，具有一阶相近度的函数必然具有零阶相近度，反之，则不一定。根据一阶相近度的概念，很容易推广，即当 （6-3）均很小时，称函数具有K阶相近度。 （4）空间距离定义在区间上连续函数的全体是一个函数的空间，记为，其中对应的每个函数都是这个空间的一点，定义中两点的距离为 （6-4） 若定义上连续且具有连续K阶导函数的函数的全体是一个空间，记为，定义中两点的距离为 (6-5)显然，由式（6-4）和式（6-5）定义的距离可用来定量刻划两个函数的零阶和K阶相近度。如果对于任意给定的一个函数，可以找到这样的一个，当时，就有 那么就说泛函在点处是连续的。当按式（6-4）或（6-5）定义时，相应称为零阶连续或K阶连续。（5）泛函的变分如果连续泛函的增量表达式为 （6-6）应用泰勒公式将（6-6）在x点展开，得 （6-7）当很小时，式（6-7）右边是关于的线性连续泛函，而其余均为的高阶无穷小。若用线性连续泛函和高阶无穷小之和表示泛函的增量，即有 （6-8） 那么，就把第一项称为泛函的变分，记为 当一泛函具有变分时，也称泛函是可微的。泛函的变分还可以写成另一种形式，即 （6-9）（6）泛函的极值 若泛函在的邻域内，即 （6-10）其增量 或 ，则称泛函在点处有极大值或极小值。 当距离定义为，泛函在点处达到极值，称为弱极值。 具有强极值的泛函必有弱极值，反之不然。（7）泛函极值存在的条件泛函在点处达到极值的必要条件是泛函在点的变分为零，即 （6-11） 二、 欧拉方程有了6-1的概念，可以进一步讨论如何确定函数，使泛函达到极值的问题。解决这一问题必须依赖一个重要的关系式，这一关系式称欧拉方程。在最优控制系统中，其性能指标就是泛函J，因此用变分求解泛函极值的问题，也就是求解最优控制的过程。由于控制的多样性，其变分问题也各不相同，现分别讨论。1、 点固定的情况 设泛函为 （6-12） 且 （6-13） 式中，均为常数。设是满足边界条件式（6-13），使式（6-12）泛函J达到极值的最优函数。设是邻域内的一个函数，它与满足下列关系 （6-14）式中，是一个数值很小的参数，是任一有连续导数且满足条件的函数。这样端点固定的条件得到了保证，即显然，不管函数如何选，当时，恒有 即获得了最优函数。现将式（6-13）代入式（6-11），得 （6-15） 比较式（6-12）和（6-15）。当式（6-12）在时达到极值，相当于式（6-15）在时取极值。应用式（6-11），要使取极值，必有 要使上式在任何时均成立，只有 （6-16） 所以，在用式（5-16），即可使取极值。 （注：设具有二阶连续偏导数，故求导和积分可交换顺序。）对上式第二项进行分步积分，及 则 根据拉格朗日定理：若连续函数，对于任意，在区间满足 则在一定有，所以有 （6-17）将方程展开，得 （6-18）式（6-17）或（6-18）常常称为欧拉方程。因此，函数满足欧拉方程使式（6-12）即泛函取极值的必要条件。 三、含有多个未知函数的泛函为讨论多未知函数变分问题简单化，常采用向量表达式，此时泛函可记为 （6-19）其中，是的数量函数，是维向量函数。采用和数量函数情况相同的推论方法，可得向量形式的欧拉方程， （6-20）上式中数量函数对向量函数得导数，定义为 （6-21）设端点A是固定得，端点B可沿曲线 变动，此时B点得横截条件为 （6-22） 四、条件极值的变分在控制理论中常遇到目标函数J依赖的函数需要满足一定约束条件的情况，在这种情况下使J达到极值得变分问题，类似函数条件极值问题。解决这类变分通常采用所谓的拉哥郎日乘子法，即构造一个常有乘子的辅助函数 （6-23） 式中是乘子，它通常是时间的函数；是泛函变量需满足的第个约束方程。则泛函为 （6-24）这样就得到了一个无条件限制的泛函。下面分两种约束形式进行讨论。1.几何约束现有泛函 求它在几何约束条件 下的极值。设，应用乘子构造函数为 （6-25） 简记 （6-26） 则式（6-25）可写成 然后，求泛函的无条件极值，写出欧拉方程 （6-27） 将约束方程和欧拉方程联立求解，即可求得和3个未知函数。利用端点边界条件可确定欧拉方程中积分后4个任意常数。 2.运动约束当约束方程中含有函数导数项时，我们称此时得约束条件为运动约束，其一般表达式为 在这种约束条件下求泛函极值的方法，与求几何约束泛函极值的方法完全一致。6-2 最大值原理最大值原理是又一种求解最优控制问题的方法。它是庞特里雅金等人提出的。这种方法是古典变分学的延伸，但能成功古典变分法不易解决的问题。定理： 设是一个容许控制，是相应于的轨线，是相应于和得共态变量，则和为最优控制和最优轨线的必要条件是： 对于在区间上得每一个值，作用的函数必在点处达最大值。此定理就是“最大值原理”。例6-1 有如下二阶系统 且，试求出最优控制使系统在终态自由的情况下使泛函取极值。解： 先构造H函数 据一般形式最优控制问题中的泛函形式可知，本例中 根据哈密顿正则方程，得 又根据的终点条件，即 有 下面解方程组 对上式两边积分有 代入终点条件,得 即 将式代入，有 解方程 则 通解为 代入终点条件，有 现利用最大值原理，为了使变量的函数H在的约束条件下达到最大值，即达最大值， 只有取 又因为在区间内，由式可见，所以应取 在时，没有定义。 故将和初始条件代入系统方程，可得最优轨线方程为 由此可求出J得极小值 *应当注意得一点是，最大值原理仅是泛函取最小值得必要条件，并不充分，所以求得的解是否为极小值还要进行验证。易证明，本例中确使达到了极小值。 6-3 线性最优控制系统一、 二次型性能指标得最优控制问题 当性能指标泛函具有形为 （6-28）的时候称为二次型性能指标。其中和是半正定对称矩阵，是正定对称矩阵。上式中第一项中系数是为了简化计算。 下面是关于有限时间的调节器的问题。设n阶系统 （6-29） 现在需要确定使性能指标 （6-30） 取极小值得最优控制 其中是固定的，终态没有约束。 （6-31） 求解里卡拉方程，并代入，得 （6-32）上式为能够成状态反馈闭环系统的最优控制表达式。现在把二次型性能指标的调节器问题求解过程写成如下定理 定理： 若给定线性系统 其中控制u没有约束，和是连续的，且性能指标泛函为 （6-33） 其中是连续、半正定、对称矩阵，是连续、正定、对称矩阵，则使泛函J取最小值的最优控制为 （6-34） 而最优控制性能指标函数为 （6-35） 其中，矩阵是矩阵里卡拉方程 满足终点条件的解。 两点说明： 若把（6-33）式右边的舍去，则只相应地把（6-35）右边的舍去即可； 若泛函J取更一