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循着问题的台阶“且问且行” 基于瓶子的容积一课教学的思考青海省海北州刚察县泉吉乡民族寄宿制完全小学 扎西昂秀在人教版教材中，解决问题是教师关注与讨论的热点，从对方法的教学到策略的理解乃至数学思想方法的渗透，都是教学研讨的聚焦点。“求瓶子的容积”这个例题是在学生学习了“圆柱的体积”之后安排解决的“非常规”问题。面对这样一个新教学内容，我们带着诸多问题进行了思考。一、设计问题的台阶，教学目标凸显什么“求瓶子的容积”这一“非常规”问题，学生经验体系里是否有“瓶子倒置”的想法？对于在“瓶子倒置”之后，还能继续怎样思考？带着这样的问题，我们分析了教材的例题，同时也检索了不同版本的设计、杂志上的文章等，使我们对教材的意图与教学的目标逐渐清晰起来。从众多文章中梳理，我们发现许多教师侧重在引导学生观察思考中体会变与不变、转化、推理的数学思想。我们更倾向于“非常规”的问题不以计算为目的，我们认为这和其他的以数量关系为基础的解决问题属于不同地位，虽然策略特殊，但是它在经历解决问题的整个过程中培养学生“四能”的价值更明显：问题在哪里？可以提出什么问题？怎样设计解决问题方案？怎样回顾反思？这些都体现了让学生经历问题解决的进程，这对学生解决不完整圆柱的容积问题乃至更为“非常规”的解决问题能力发展起着至关重要的作用。因此我们在教学中有意识地关注，一方面要与解决问题的一般过程和方法建立起联系，同时又要在具体问题解决的进程与台阶中，将特殊的解决问题的经验与能力适度提炼，化为一般的思想方法或思维模式。基于以上思考和分析，我们对教学目标的定位体现在本节课的两个挑战性问题上：1.不借助其他任何容器，你们还有办法求出瓶子的容积吗？（设计方案）2.水的体积（圆柱体）加上空气的体积就是瓶子的容积了吗？为什么？本节课使学生认识到之前的解决问题方法需要改进，改进为解决问题的方案，让方案设计变为学习的需要。我们把“问题解决”看成一种创造性的活动，即在问题解决的过程中，学生尝试寻找答案时，不是简单地利用已知信息，而是对信息进行加工，重新组织若干已知的规则，形成新的高级规则，这些活动涉及到了“高级”的思考过程,学生应在解决问题中，找出对当前问题适用的对策，这便形成了对“策略”的需求。二、发现并提出问题，材料怎样设计不同的教材都向学生展示了正放与倒放的图示，用意何在？我们想不能仅仅是让学生读懂教材呈现的两种状态，因为这不能很好地呈现伴随思考的过程。所以在材料设计时采用想象的方式，不过早呈现结果状态，而是以挑战性任务呈现，更有利于学生发现问题与提出假设。师：（出示一个装满水的瓶子）你会想到什么？生：计算体积可把水倒入一个量杯中，看刻度。师：还有办法求出瓶子的容积吗？如何在没有量杯的情况下也能测出容积呢？师：（教师现场喝掉一部分水，引导学生思考）现在你们有想法了吗？愿不愿意接受这个挑战？【思考：随着问题提出去解决不断产生的新问题，这是“解决问题”教学的最佳状态，即以问题驱动学习。以“求一个装满水的瓶子的容积”问题驱动，直面任务，使得问题更加开放。同时在学生已有经验的基础上，在探究解决问题策略多样化的同时，引发学生思考，材料的动态化设计变得很有价值。】三、分析并解决问题，方案的价值在哪里解决问题的非常规思考法作者迈克尔卡莱特强调，面对问题“还有没有更好的解决办法？”当我们的大脑在经验的驱使下习惯于固定的思维时，意味着我们已陷于平庸。面对一时无法解决的问题，我们需要摆脱自动化思维，充分利用创造性、假设性、非真实性等批判性思维重新发现问题、分析原因、汇总结论，得出蕴含更多可能的解决方案。“求瓶子的容积”方法上的特殊性正好有利于产生方案的需要。（一）方案设计，挑战性任务体现策略特征课件出示活动要求：设计一个“求瓶子的容积”的解决方案：【思考：方案的设计是理清思路、培养学生思维的一个很好的载体。设计方案的意图在于方法的特殊有利于方案的需要，需要以步骤的形式把思考推理的过程记录下来，并且这样的记录适合后续的交流活动，可以在了解学生原生态的思维上加以分析和引导，可以将策略意图逐步明显揭示。】（二）方案交流，探讨策略的可行性组织反馈，重点交流两个问题：1.你是怎样求得瓶子的容积的？2.水的体积加上空气的体积就是瓶子的容积了吗？为什么？依次呈现上述方法，并请学生加以解释，在讨论中分析、补充，认识方案的合理性与可行性。（三）方案整理，突出策略的作用师：在同学们的讨论中，老师知道了：要求瓶子的容积，先求出水的体积，再加上空气的体积，因为空气的体积不规则，想到了把瓶子倒过来，转化成规则的圆柱体，在转化后空气的形状变了，但体积没有变。（四）落实方案，比较策略的适用性1.给出数据，计算并反馈。师：现在如果要精确地求出这个瓶子的容积，你认为至少需要测量哪些数据？生：需要测量圆柱的底面直径，水的高度和倒过来后空气的高度。小结：同学们真厉害，想到了把瓶子倒过来这个巧妙的办法，求得了瓶子的容积。2.展示不同，计算并反馈。师：刚才还有一个小组的方案不一样，你们能看懂吗？生：水很少的时候，水的体积2中间的圆柱的体积=瓶子的容积。生：水比较多的时候，水的体积2原重叠的圆柱的体积=瓶子的容积。（请一位学生上来边演示边说）师：大家能想象吗？用这个方法也能算出瓶子的容积，但没有直接用水的体积加空气体积简便。【思考：方案的梳理是学生思维的梳理，在这个过程中学生通过讨论，从“不知”到“知了”，从“有困难”到“成功解决”，从“没道理”到“有道理”是学生经历解决问题的整个过程、积累活动经验的过程，同时学生在体验数学问题的探究性和挑战性中也获得了成功的喜悦。最后一种方案的呈现是对知识的提升与串联，意图让学生感受策略的适用性与转化的普遍性。】四、过程回顾与反思，作何串联与提升本环节，在问题解决的教学中强调策略的意义，是为了促成学生学会“数学地思考”。其一，在解决问题的过程中因成功解题的需要而形成选择相关策略的意识，体验具体策略的优越性。这可以归结为我们教学中的“举一”。其二，将形成的策略映射到解决问题的过程中去，运用具体的策略解决问题，完成对具体策略的重新建构。这一过程可归结为我们教学中的“反三”。（一）经历问题解决的过程，培养策略意识1.课件出示题目：一瓶装满的矿泉水，小明喝了一些后，剩下水的高度是 10 厘米。他把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分的高也正好是 10 厘米。瓶子内直径是 6 厘米。师：根据这些信息，你能解决哪些问题呢？请你自己提出问题，并列式计算出答案。师：你们用（62）（62）10=90（立方厘米）这个算式解决了什么问题？生：我用这个算式知道了水的体积。生：我用这个算式知道了空气的体积。生：我还知道了倒过来之后水的体积是不变的，所以倒过来水的体积也是90立方厘米。【思考：在经历了之前探究过程后，让学生自主地在练习过程中去发现问题、提出问题并解决问题，是让学生从头到尾地进行思考，并在“巧合”中进一步巩固“变与不变”，让学生对于策略的特征、策略的实用性进一步理解，同时也培养学生学会区别不同的问题采用不同的策略。】（二）展开大背景，纳入转化思想体系如上图，一个底面面积为20 平方厘米的圆柱体，如果从中间斜着截去一段后，它的体积会是多少呢？师：请大家想办法解决这个问题，写在纸上。组织反馈：生：找一个一模一样的木头，拼在上面，拼成一个底面积为20 平方厘米、高为 10 厘米的圆柱再除以 2，就是木头的体积。生：我可以把4 厘米上面的这段不规则的切掉，再把切掉的部分从中间横切成两半，把其中的一半拼上去，变成一个高为 5 厘米的圆柱。全课小结：把不规则的转化成了规则的，像这样的方法我们在以前的学习中就用到过，你能举个例子吗？生：求平行四边形的面积时，我们把平行四边形转化成了长方形。生：求圆的面积的时候，我们把圆转换成了一个长方形。师：求梨的体积，将它沉入水中，转化为水上升的体积；求三角形的面积，将它先转化成学过的平行四边形的面积，再除以2；还有我们今天的求瓶子的容积。（课件依次呈现）师：在以后的生活和学习中，我们还会遇到很多这样的问题，希望同学们能像今天一样，学会运用数学的思考方法找到解决问题的办法。【思考：回顾这节课学生经历解决问题的过程，从“发现问题寅方案设计寅方案梳理寅回顾反思”这四个环节，它与波利亚在怎样解题中提出的四个步骤“弄清问题拟订计划实现计划回顾反思”不谋而合，关键要在弄清问题和拟订计划这两个环节中，引导学生找到解决问题的突破口，抽象出解决数学问题的基本模型；这四个环节更是与课标倡导的“四能”同步紧密，因此“且问且行”，即以问题驱动学习，随着