教案：棱锥的体积.doc

9.4 棱锥的体积教学目标：1. 理解等底等高的两个棱锥的体积相等2. 掌握棱锥的体积公式教学重点难点：重点：棱锥的体积公式难点：用割补法推导棱锥的体积公式教具：利用PowerPoint和几何画板制作课件教学过程：一、 复习、引入在生产实际中，人们经常遇到体积的计算问题，如古埃及人建造金字塔时，需要计算建材数量和体积。师：金字塔可以抽象地看作怎样的多面体？学：可以看作棱锥。师：人们要求金字塔的体积这样的实际问题，可以抽象成怎样的数学问题？学：可以看作是求棱锥的体积问题。师：这就是今天这节课所要研究的问题：如何计算棱锥的体积。二、 探求棱锥的体积公式（一） 三棱锥的体积公式三棱锥是最基本的棱锥，其地位犹如多边形中的三角形，任意一个多边形总可以分解成若干个三角形，任意一个多面体总可以分解成若干个三棱锥，所以先探求三棱锥的体积公式。师：大家回忆一下，棱柱的体积可以怎样求？学：棱柱的体积等于底面积乘以高。师：那么，棱柱的体积公式又是怎样推得的？学：利用长方体体积公式和祖暅原理，可推得棱柱的体积公式。师：三棱锥的体积公式又可以怎样推导呢？学：可以利用棱柱的体积公式来推导。师：很好。大家思考一下，如何将三棱锥与棱柱建立起一定的联系呢？学：可以添加一些辅助线。过A作ABD且A=BD,ABC且A=BC,连、，则将三棱锥补成一个三棱柱。师：大家观察一下，原来的三棱锥与现在的三棱柱之间体积有怎样的关系？学：这个三棱锥与三棱柱的底面积是相同的，高也是相等的。师：由三棱锥补成三棱柱，在这个过程中，补上了怎样的一个多面体？学：四棱锥。师：既然四棱锥的体积公式是未知的，是否能将四棱锥进一步转化为三棱锥呢？学：可以连接，将四棱锥割成两个三棱锥。 师：很好。同学们分析一下，这个三棱柱是由那些多面体组成的，这些多面体之间又有怎样的联系？请大家画出这些多面体。学：在这个三棱柱中的多面体有：三棱锥、三棱锥、三棱锥。 师：它们有怎样的关系？学：三棱锥与三棱锥是等底等高的三棱锥。师：那么它们的体积又有怎样的关系呢？大家猜测一下。学：可能相等。（二）证明命题：等底等高的两个棱锥的体积相等。师：要证明两个几何体的体积相等，我们可以利用什么原理来证明？学：祖暅原理。师：祖暅原理是怎样表述的？学：祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。老师展示课件，请大家看两个截面面积会怎样变化呢？ 学：在平面平行于平面运动的过程中，两个截面面积始终相等。师：已知：两个棱锥底面积都是S，高都是h求证：两个棱锥的体积相等证明：把两个棱锥的底面放在平面内。任意作平行于的平面去截两个棱锥，设平面与两个棱锥顶点都相距，所得截面面积为、大家想，可以如何证明两个截面面积相等呢？学：可以利用棱锥的性质：棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面面积和底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。师：根据棱锥的性质，得，所以，。由祖暅原理可知两个棱锥体积相等。因此，等底等高的两个棱锥，它们的体积相等。（三）进一步探求三棱锥体积公式师：刚才同学已经发现三棱锥与三棱锥是等底等高的三棱锥，于是它们的体积怎样？学：相等。师：其余几个三棱锥又有些什么关系？学：三棱锥和三棱锥有公共顶点A，它们的底面积相等，高都为点A到平面的距离，所以。由此这三个棱锥的体积相等。师：那么，一个棱锥的体积占这个棱柱体积的几分之几？学：三分之一。师：如果棱柱的底面积为S，高为h，那么棱柱体积为什么？学：V=Sh师：此时，棱柱体积为什么？学：师：这就是三棱锥的体积公式（四）棱锥的体积公式师：经过推理，我们一起得到了三棱锥的体积公式，如何进一步推广，得到棱锥的体积公式？学：任意一个棱锥总能找到一个与其等底等高的三棱锥，又因为等底等高的两个棱锥，它们的体积相等，所以如果一个棱锥的底面积为S，高是h，那么它的体积是 （五）分析推导棱锥体积过程中的重要思路1.补多面体 最初希望利用棱柱的体积来推导棱锥的体积，如何将棱锥转化为棱柱，就要恰当的补多面体。2.分割多面体 补上一个四棱锥，为进一步分析问题，可以再将其分割为两个三棱锥。3.可以从多个角度研究三棱锥 根据需要，可将点A看作顶点，也可将点C看作顶点。三、 棱锥体积公式的应用例解 设正方体的棱长为a，则正方体体积为 所以三棱锥B-EFG的体积占正方体体积的四、思考题例 已知正四面体的棱长为a，